天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 二次函數(shù)的應(yīng)用

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1、二次函數(shù)的應(yīng)用 一、選擇題 1. （2012四川資陽3分）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是【 】 A． B． C．且 D．或 【答案】D。 【考點】二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)的性質(zhì)。 【分析】利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結(jié)合圖象可得出的解集： 由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為（5，0）， ∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（－1，0）。 由圖象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5。故選D。 二、填空題 1. （2012浙江紹興5分）教練對小明推鉛球的錄像進行技術(shù)分

2、析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為，由此可知鉛球推出的距離是 ▲ m。 【答案】10。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用。 【分析】在函數(shù)式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴鉛球推出的距離是10m。 2. （2012湖北襄陽3分）某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=60x﹣1.5x2，該型號飛機著陸后滑行　 ▲ 　m才能停下來． 【答案】600。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用。1028458 【分析】根據(jù)飛機從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數(shù)的最大值。 ∵﹣1.5＜0，∴函數(shù)有最大

3、值。 ∴，即飛機著陸后滑行600米才能停止。 3. （2012山東濟南3分）如圖，濟南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為y=ax2+bx．小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 ▲ 秒． 【答案】36。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用 【分析】設(shè)在10秒時到達A點，在26秒時到達B， ∵10秒時和26秒時拱梁的高度相同， ∴A，B關(guān)于對稱軸對稱。 則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒。 ∴從O到D需要10+8=18秒?！鄰腛到C需要2×18=3

4、6秒。 三、解答題 1. （2012重慶市10分）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進行處理．某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進行．1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份x（1≤x≤6，且x取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表： 7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2（噸）與月份x（7≤x≤12，且x取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為y2=ax2+c(a≠0)．其圖象如圖所示．1至6月，污水廠處理每噸污水的費用：z1（元）與月份x之間

5、滿足函數(shù)關(guān)系式：，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用：z2（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：；7至12月，污水廠處理每噸污水的費用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用均為1.5元． （1）請觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，分別直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用； （3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計擴大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加

6、（a﹣30）%，為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔，財政對企業(yè)處理污水的費用進行50%的補助．若該企業(yè)每月的污水處理費用為18000元，請計算出a的整數(shù)值． （參考數(shù)據(jù)：≈15.2，≈20.5，≈28.4） 【答案】解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值， 則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系：。 將（1，12000）代入得：k=1×12000=12000， ∴（1≤x≤6，且x取整數(shù)）。 根據(jù)圖象可以得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，代入y2=ax2+c得： ，解得：。 ∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整數(shù)）。 （2）當1≤x≤6，

7、且x取整數(shù)時： =﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。 ∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴當x=5時，W最大=22000（元）。 當7≤x≤12時，且x取整數(shù)時： W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。 ∵a=﹣＜0，對稱軸為x=0，當7≤x≤12時，W隨x的增大而減小， ∴當x=7時，W最大=18975.5（元）。 ∵22000＞18975.5， ∴去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是22000元。 （3）由題意得：12000

8、（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000， 設(shè)t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。 ∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。 ∴a≈57。 答：a整數(shù)值是57。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程。 【分析】（1）利用表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系，求出即可。再利用函數(shù)圖象得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，求出二次函數(shù)解析式即可。 （2）利用當1≤x≤6時，以及當7≤x≤12時，分別求出處理污水的費用，即可得出答案

9、。 （3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，進而求出即可。 2. （2012安徽省14分）如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m。 （1）當h=2.6時，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍） （2）當h=2.6時，球能否越

10、過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由； （3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。 【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴ ∴當h=2.6時， y與x的關(guān)系式為y= (x－6)2+2.6 （2）當h=2.6時，y= (x－6)2+2.6 ∵當x=9時，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越過網(wǎng)。 ∵當y=0時，即 (18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球會過界。 （3）把x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h得。 x=9時，y= (9－6)2+h

11、＞2.43 ① x=18時，y= (18－6)2+h=≤0 ② 由① ②解得h≥。 ∴若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界， h的取值范圍為h≥。 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。 【分析】（1）利用h=2.6，將（0，2）點，代入解析式求出即可。 （2）利用h=2.6，當x=9時，y= (9－6)2+2.6=2.45與球網(wǎng)高度比較；當y=0時，解出x值與球場的邊界距離比較，即可得出結(jié)論。 （3）根據(jù)球經(jīng)過點（0，2）點，得到a與h的關(guān)系式。由x=9時球一定能越過球網(wǎng)得到y(tǒng)＞2.43；由x=18時球不出邊界得到y(tǒng)≤0。分別得出h的取值范圍，即可得出答案。 3. （2012浙江嘉興、舟山

12、12分）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據(jù)統(tǒng)計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元．設(shè)公司每日租出工輛車時，日收益為y元．（日收益=日租金收入一平均每日各項支出） （1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為　 　元（用含x的代數(shù)式表示）； （2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？ （3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？ 4. （2012浙江臺州12分）某汽車在剎車后行駛的距離s（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關(guān)系得部分數(shù)據(jù)如下表： 時間t（秒

13、） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行駛距離s（米） 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 … （1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標系中畫出相應(yīng)的點； （2）選擇適當?shù)暮瘮?shù)表示s與t之間的關(guān)系，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式； （3）①剎車后汽車行駛了多長距離才停止？ ②當t分別為t1，t2（t1＜t2）時，對應(yīng)s的值分別為s1，s2，請比較與的大小，并解釋比較結(jié)果的實際意義． 【答案】解：（1）描點圖所示： （2）由散點圖可知該函數(shù)為二次函數(shù)。設(shè)二次函數(shù)的解析式為：s=at2＋bt＋c， ∵拋物線經(jīng)過點（0，0）

14、，∴c=0。 又由點（0.2，2.8），（1，10）可得： ，解得：。 經(jīng)檢驗，其余各點均在s=－5t2+15t上。 ∴二次函數(shù)的解析式為：。 （3）①汽車剎車后到停止時的距離即汽車滑行的最大距離。 ∵，∴當t=時，滑行距離最大，為。 因此，剎車后汽車行駛了米才停止。 ②∵，∴。 ∴。 ∵t1＜t2，∴。∴。 其實際意義是剎車后到t2時間內(nèi)的平均速到t1時間內(nèi)的度小于剎車后平均速度。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，不等式的應(yīng)用。 【分析】（1）描點作圖即可。 （2）首先判斷函數(shù)為二次函數(shù)。用待定系數(shù)

15、法，由所給的任意三點即可求出函數(shù)解析式。 （3）將函數(shù)解析式表示成頂點式（或用公式求），即可求得答案。 （4）求出與，用差值法比較大小。 5. （2012江蘇常州7分）某商場購進一批L型服裝（數(shù)量足夠多），進價為40元/件，以60元/件銷售，每天銷售20件。根據(jù)市場調(diào)研，若每件每降1元，則每天銷售數(shù)量比原來多3件?，F(xiàn)商場決定對L型服裝開展降價促銷活動，每件降價x元（x為正整數(shù)）。在促銷期間，商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價多少元？每天最大銷售毛利潤為多少？（注：每件服裝銷售毛利潤指每件服裝的銷售價與進貨價的差） 【答案】解：根據(jù)題意，商場每天的銷售毛利潤Z=（60－40－x）（2

16、0＋3x）=－3x2＋40x+400 ∴當時，函數(shù)Z取得最大值。 ∵x為正整數(shù)，且， ∴當x=7時，商場每天的銷售毛利潤最大，最大銷售毛利潤為－3·72＋40·7+400=533。 答：商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價7元，每天最大銷售毛利潤為533元。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。 【分析】求出二次函數(shù)的最值，找出x最接近最值點的整數(shù)值即可。 6. （2012江蘇無錫8分）如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A．B．C．D四個頂點正好

17、重合于上底面上一點）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=BF=x（cm）． （1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V； （2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？ 【答案】解：（1）根據(jù)題意，知這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x， ∴x+2x+x=24，解得：x=6。則 a=6， ∴V=a3=（6）3=432（cm3）； （2）設(shè)包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a= x，， ∴S=4ah+a2=。 ∵0＜x＜12，∴當x=8時，S取得最大值384cm2。 【考點】二次函

18、數(shù)的應(yīng)用。 【分析】（1）根據(jù)已知得出這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V。 （2）利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數(shù)最值求出即可。 7. （2012江蘇鹽城12分） 知識遷移： 當且時，因為≥,所以≥,從而≥(當 時取等號).記函數(shù),由上述結(jié)論可知：當時,該函數(shù)有最小值為. 直接應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù), 則當_________時,取得最小值 為_________. 變形應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù),求的最小值,并指出取得該 最小值時相應(yīng)的的值. 實際應(yīng)用：已知某汽車的一次運輸成本包含

19、以下三個部分：一是固定費用,共元；二是燃油費,每 千米為元；三是折舊費,它與路程的平方成正比,比例系數(shù)為.設(shè)該汽車一次運輸?shù)穆烦虨榍? 求當為多少時,該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？ 【分析】直接運用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果： ∵函數(shù),由上述結(jié)論可知：當時,該函數(shù)有最小值為， ∴函數(shù)與函數(shù)，則當時，取得最小值為。 變形運用：先得出的表達式，然后將看做一個整體，再運用所給結(jié)論即可。 實際運用：設(shè)該汽車平均每千米的運輸成本為元，則可表示出平均每千米的運輸成本，利用所 給的結(jié)論即可得出答案。 8. （2012江蘇揚州12分）已知拋物線y＝ax2

20、＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸． (1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標； (3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)經(jīng)過拋物線y＝ax2＋bx＋c， ∴可設(shè)拋物線為y＝a（x＋1）（x－3）。 又∵C(0，3) 經(jīng)過拋物線，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴拋物線的解析式為y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2

21、x＋3。 （2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P。 則此時的點P，使△PAC的周長最小。 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b， 將B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：。 ∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－x＋3。 當x－1時，y＝2，即P的坐標(1，2)。 （3）存在。點M的坐標為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)。 【分析】（1）可設(shè)交點式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。 （2）

22、由圖知：A、B點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點。 （3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設(shè)出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解： ∵拋物線的對稱軸為： x=1，∴設(shè)M(1，m)。 ∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。 ①若MA＝MC，則MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。 ②若MA＝AC，則MA2＝AC2

23、，得：m2＋4＝10，得：m＝±。 ③若MC＝AC，則MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 當m＝6時，M、A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去。 綜上可知，符合條件的M點，且坐標為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。 9. （2012福建莆田8分）如圖，某種新型導(dǎo)彈從地面發(fā)射點Ｌ處發(fā)射，在初始豎直加速飛行階段，導(dǎo)彈上升的高度y(km)與飛行時間x(s)之間的關(guān)系式為 ．發(fā)射3 s后，導(dǎo)彈到達A點，此時位于與L同一水平面的R處雷達站測得AR的距離是2 km，再過3s后，導(dǎo)彈到達B點． (1)(4分)求發(fā)射點L與雷達站R之間的距離； (

24、2)(4分)當導(dǎo)彈到達B點時，求雷達站測得的仰角(即∠BRL)的正切值． 【答案】解：(1)把x＝3代入，得y＝1，即AL＝1。 在Rt△ARL中，AR＝2，∴　LR＝ 。 (2)把x＝3＋3＝6代入，得y＝3，即BL＝3 。 ∴tan∠BRL＝。 答：發(fā)射點L與雷達站R之間的距離為km，雷達站測得的仰角的正切值。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函數(shù)解析式，即可求得AL的長，在直角△ALR中，利用勾股定理即可求得LR的長。 （2）在解析式中，把x=6

25、代入函數(shù)解析式，即可求得AL的長，在直角△BLR中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解。 10. （2012湖北武漢10分）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和 矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，拋物線的頂點C到ED的 距離是11m，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系． (1)求拋物線的解析式； (2)已知從某時刻開始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離h(單位：m)隨時間t(單位：h)的變化滿足函數(shù) 關(guān)系且當水面到頂點C的距離不大于5m時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需

26、多少小時禁止船只通行？ 【答案】解：（1）設(shè)拋物線的為y=ax2+11，由題意得B（8，8），∴64a+11=8，解得。 ∴拋物線的解析式y(tǒng)= x2+11。 （2）畫出的圖象： 水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h≥6， 當h=6時，，解得t1=35，t2=3。 ∴35－3=32（小時）。 答：需32小時禁止船只通行。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系。 【分析】（1）根據(jù)拋物線特點設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標代入即可求解。 （2）水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函

27、數(shù)關(guān)系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時間。 11. （2012湖北黃岡12分）某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400 元，銷售單價 定為3000 元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種 新型產(chǎn)品不超過10 件時，每件按3000 元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10 件時，每多購買一件，所購 買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10 元，但銷售單價均不低于2600 元． (1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600 元? (2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x 件，開發(fā)公司所獲的利潤為y 元，求y(元)與x(件)

28、之間的函數(shù)關(guān)系式，并 寫出自變量x 的取值范圍． (3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變) 【答案】解：（1）設(shè)件數(shù)為x，依題意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。 答：商家一次購買這種產(chǎn)品50件時，銷售單價恰好為2600元。 （2）當0≤x≤10時，y=（3000－2400）x=600x； 當10＜x≤50時，y=x，即y=－10x2+700x； 當x＞50時，y=（

29、2600－2400）x=200x。 ∴。 （3）由y=－10x2+700x可知拋物線開口向下，當時，利潤y有最大值， 此時，銷售單價為3000－10（x－10）=2750元， 答：公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為2750元。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用。 【分析】（1）設(shè)件數(shù)為x，則銷售單價為3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價恰好為2600元，列方程求解。 （2）由利潤y=銷售單價×件數(shù)，及銷售單價均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式。 （3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售單價。

30、 12. （2012湖南岳陽10分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直接坐標系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如圖②，過點B作直線BE：y=x﹣1交C1于點E（﹣2，﹣），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的坐標； （3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點Q，使得△EB

31、Q的面積最大？若存在，求出Q的坐標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由． 【答案】解：（1）∵拋物線C1、C2都過點A（﹣3，0）、B（3，0）， ∴設(shè)它們的解析式為：y=a（x﹣3）（x+3）。 ∵拋物線C1還經(jīng)過D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。 ∴拋物線C1：y=（x﹣3）（x+3），即y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）。 ∵拋物線C2還經(jīng)過A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣ ∴拋物線C2：y=﹣（x﹣3）（x+3），即y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）。 （2）∵直線BE：y=x﹣1必過（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠

32、CBO=tan∠EBO=）。 ∵由E點坐標可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO， ∴它們的補角∠EOB≠∠CBx。 若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況： ①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC， 由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。 ∴3：=BP1：， 得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=?！郟1（，0） ②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即： ：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=?！郟2（﹣，0）． 綜上所述，符合條件的P點有：P1（，0）、P2（﹣，0）。 （3）如圖，作直線

33、l∥直線BE，設(shè)直線l：y=x+b。 ①當直線l與拋物線C1只有一個交點時： x+b=x2﹣3，即：x2﹣x﹣（3b+9）=0。 由△=（－1）2＋4（3b+9）=0。得。 此時，。 ∴該交點Q2（）。 過點Q2作Q2F⊥BE于點F，則由BE：y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率為－3， 設(shè)Q2F：y=－3x＋m。將Q2（）代入，可得。∴Q2F：y=－3x。 聯(lián)立BE和Q2F，解得?！郌（）。 ∴Q2到直線 BE：y=x﹣1的距離Q2F：。 ②當直線l與拋物線C2只有一個交點時：x+b=﹣x2+1，即：x2+3x+9b﹣9=0。 由△=32＋4（9b－9）=0。得。 此時，

34、?！嘣摻稽cQ1（）。 同上方法可得Q1到直線 BE：y=x﹣1 的距離：。 ∵， ∴符合條件的Q點為Q1（）。 ∴△EBQ的最大面積：。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式，點到直線的距離，平行線的性質(zhì)。 【分析】（1）已知A、B、C、D四點坐標，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式。 13. （2012四川達州8分）問題背景 若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設(shè)矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關(guān)系式為： ，利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.

35、提出新問題 若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析問題 若設(shè)該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（小）值了. 解決問題 借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，探索函數(shù)的最大（?。┲? （1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數(shù)的圖象： x ··· 1 2 3 4 ··· y （2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當x= 時，函數(shù)有最 值（填 “大”或“小”），是 . （3）推理論

36、證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)的最大值，請你嘗試通過配方求函數(shù)的最大（?。┲担宰C明你的猜想. 〔提示：當時，〕 【答案】解：（1）填表如下： x ··· 1 2 3 4 ··· y ··· 5 4 5 ··· （2）1，小，4。  （3）證明：∵，  ∴當時，y的最小值是4，即x =1時，y的最小值是4。 【考點】二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用。 【分析】（1）分別把表中x的值代入所得函數(shù)關(guān)系式求出y的對應(yīng)值填入表中，并畫出函數(shù)圖象即可。

37、 （2）根據(jù)（1）中函數(shù)圖象的頂點坐標直接得出結(jié)論即可。 （3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可。 14. （2012四川巴中9分）某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件。如果每 件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元）。設(shè)每件商品的售價上漲x元（x 為整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元， （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？ 【答案】解：（1）設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（60－50＋x

38、）元， 總銷量為：（200-10x）件， 商品利潤為：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。 ∵原售價為每件60元，每件售價不能高于72元，∴0＜x≤12。 （2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250， ∴當x=5時，最大月利潤y=2250。 答：每件商品的售價定為5元時，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤是2250元。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。 【分析】（1）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式。 （2）根據(jù)題意利用配方法得出二次函數(shù)的頂點形式（或用公式法），

39、從而得出當x=5時得出y的 最大值。 15. （2012遼寧錦州10分）某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元. 設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元. （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍. （2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？ （3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？ 【答案】解：（1）依題意得 自變量x的取值范圍是：0＜x≤1

40、0且x為正整數(shù)。 （2）當y=2520時，得， 解得x1=2,x2=11（不合題意，舍去）。 當x=2時，30+x=32。 ∴每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰為2520元。 （3） ∵a=-10＜0 ∴當x=6.5時，y有最大值為2722.5 。 ∵0＜x≤10且x為正整數(shù)， ∴當x=6時，30+x=36,y=2720， 當x=7時，30+x=37,y=2720。 ∴每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤。 最大

41、的月利潤是2720元。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程。 【分析】（1）根據(jù)銷售利潤=銷售量×銷售單價即可得y與x的函數(shù)關(guān)系式。因為x為正整數(shù)，所以x＞0； 因為每件玩具售價不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)。 （2）求出函數(shù)值等于2520時自變量x的值即可。 （3）將函數(shù)式化為頂點式即可求。 16. （2012河北省9分）某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計），這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在5～50之間．每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例，每張薄板的出廠

42、價（單位：元）由基礎(chǔ)價和浮動價兩部分組成，其中基礎(chǔ)價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的．浮動價與薄板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)． 薄板的邊長（cm） 20 30 出廠價（元/張） 50 70 （1）求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式； （2）已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得的利潤為26元（利潤=出廠價-成本價）， ①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式． ②當邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 參考公式：拋物線：y=ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點坐標為- 【答案】解：（1）設(shè)一張薄板的邊長為xcm，它的

43、出廠價為y元，基礎(chǔ)價為n元，浮動價為kx元，則y=kx+n。 由表格中的數(shù)據(jù)，得，解得。 ∴一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+10。。 （2）①設(shè)一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx2元，由題意，得： p=y－mx2=2x＋10－mx2， 將x=40，p=26代入p=2x＋10－mx2中，得26=2×40+10－m×402，解得m=。 ∴一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為。 ②∵a=－＜0，∴當x=（在5～50之間）時， p最大值=。 ∴出廠一張邊長為25cm的薄板，獲得的利潤最大，最大利潤是35元。 【考點】二次函數(shù)

44、的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值。 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案。 （2）①首先假設(shè)一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx2元，由題意，得：p=y-mx2，進而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可。 ②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可。 17. （2012黑龍江大慶6分）將一根長為16厘米的細鐵絲剪成兩段．并把每段鐵絲圍成圓，設(shè)所得兩圓半徑分別為和. （1）求與的關(guān)系式，并寫出的取值范圍； （2）將兩圓的面積和S表示成的函數(shù)關(guān)系式，求S的最小值． 【答案】解：（1）由題意，有2πr1+2πr2=16

45、π，則r1+r2=8。 ∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。 ∴r1與r2的關(guān)系式為r1+r2=8，r1的取值范圍是0＜r1＜8厘米。 （2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。 又∵， ∴當r1=4厘米時，S有最小值32π平方厘米。 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用。119281 【分析】（1）由圓的周長公式表示出半徑分別為r1和r2的圓的周長，再根據(jù)這兩個圓的周長之和等于16π厘米列出關(guān)系式即可。 （2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根據(jù)圓的面積公式即可得到兩圓的面積和S表示成r1的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最小值。 18. （2012黑龍江哈爾濱6分）小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，長度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40 cm，這個三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化． （1）請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)； （2）當x是多少時，這個三角形面積S最大?最大面積是多少?