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1、考點一數(shù)列求和,考點清單,考向基礎 1.公式法 (1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. (2)掌握一些常見的數(shù)列的前n項和公式: 1+2+3++n=; 2+4+6++2n=n2+n;1+3+5++(2n-1)=n2; 12+22+32++n2=;13+23+33++n3=.,2.倒序相加法 如果一個數(shù)列an,與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法. 3.錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求. 4.裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相
2、互抵消,從而求得其和. 常見的拆項公式:,(2)=; (3)=-. 5.分組求和法 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,即先分別求和,再合并,形如: (1)an+bn,其中 (2)an=,(1)=-;,考向突破,考向數(shù)列的求和問題,例數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),且bn=ancos,記Sn為數(shù)列 bn的前n項和,則S24=() A.294B.174C.470D.304,解析nan+1=(n+1)an+n(n+1),-=1, 數(shù)列是等差數(shù)列,公差與首項都為1.=1+(n-1),可得an=n2.bn
3、=ancos,bn=n2cos, 令n=3k-2,kN*,則b3k-2=(3k-2)2cos=-(3k-2)2,kN*,同理可得b3k -1=-(3k-1)2,kN*, b3k=(3k)2,kN*. b3k-2+b3k-1+b3k=-(3k-2)2-(3k-1)2+(3k)2=9k-,kN*,則S24=9(1+2++8) -8=304.故選D.,答案D,考點二數(shù)列的綜合應用,考向基礎 1.解答數(shù)列應用題的基本步驟 (1)審題仔細閱讀材料,認真理解題意; (2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言,將實際問題轉化成數(shù)學問題,弄清該數(shù)列的特征以及要求什么; (3)求解求出該問題的數(shù)學解; (4)還
4、原將所求結果還原到原實際問題中. 2.數(shù)列應用題常見模型 (1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個固定值,那么該模型是等差模型,增加(或減少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(常數(shù)). (2)等比模型:如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù),那么該模,型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.其一般形式是=q(q為常數(shù), 且q0). (3)混合模型:在一個問題中同時涉及等比數(shù)列和等差數(shù)列的模型. (4)生長模型:如果某一個量,每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少),同時又以一個固定的具體量增加(或減少),稱該模型為生長模型,如分期付款問題,樹木的生長與砍伐問題等.如設貸款總額為a,
5、年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完,則b=a. (5)遞推模型:如果容易推導該數(shù)列任意一項an與它的前一項an-1(或前n項)間的遞推關系式,那么我們可以用遞推數(shù)列的知識求解問題.,考向突破,考向用數(shù)列知識解決實際問題,例幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N100且該數(shù)列的前N項和為
6、2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是() A.440B.330 C.220D.110,解析設第一項為第1組,接下來的兩項為第2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為.由題意可知, N100,令100,n14,nN*,即N出現(xiàn)在第13組之后,易得第n組 的所有項的和為=2n-1,前n組的所有項的和為-n=2n+1-n-2.設 滿足條件的N在第k+1(kN*,k13)組,且第N項為第k+1組的第t(tN*)個數(shù),第k+1組的前t項的和2t-1應與-2-k互為相反數(shù),即2t-1=k+2,2t=k+3,t=log2(k+3),當t=4,k=13時,N=+4=955時,
7、N440,故選A.,答案A,方法1錯位相減法求和 1.一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項和時,可采用錯位相減法. 2.用錯位相減法求和時,應注意: (1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便于下一步準確地寫出“Sn-qSn”的表達式. (3)應用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1這一前提條件,如果不能確定公比q是不是1,應分兩種情況進行討論.,方法技巧,例1已知數(shù)列an是公差大于零的等差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.
8、 (1)求數(shù)列an和bn的通項公式; (2)設cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.,解析(1)設數(shù)列an的公差為d(d0),數(shù)列bn的公比為q, 由已知得解得或 d0,d=2,q=2, an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n, 即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).,=-2-+(2n-1)2n+1=6+(2n-3)2n+1.,(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n, Tn=12+322+523++(2n-1)2n, 2Tn=122+323+524++(2n-1)2n+1, -得Tn=-12-222-223--22n+(2n-1)2n+1 =-2-2
9、3-24--2n+1+(2n-1)2n+1,方法2裂項相消法求和 1.對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數(shù)列,在求和時常用“裂項法”,分式數(shù)列的求和多用此法. 2.利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.將通項裂項后,有時需要調整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.,例2已知數(shù)列的前n項和為Sn,且滿足an=Sn+1(nN*). (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)若bn=log2an,cn=,且數(shù)列cn的前n項和為Tn,求Tn的取值范圍.,解析(1)當n=1時,a1=S1+1,解得a1=2. 由an=Sn+1得an-
10、1=Sn-1+1(n2), 兩式相減得an-an-1=an(n2),即an=2an-1(n2), 數(shù)列an是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列, an=2n(nN*). (2)由(1)知bn=log2an=log22n=n, cn===-, Tn=1-+-+-++-=1-, nN*,,Tn.,方法3分組求和法求和 分組轉化求和的常見類型: (1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求an的前n項和. (2)若an=且數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分 組求和法求和.,例3(2016北京文,15,13分)已知an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通項公式; (2)設cn=an+bn,求數(shù)列cn的前n項和.,解析(1)等比數(shù)列bn的公比q===3, 所以b1==1,b4=b3q=27. 設等差數(shù)列an的公差為d. 因為a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(nN*). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 從而數(shù)列cn的前n項和Sn=1+3++(2n-1)+1+3++3n-1,=+=n2+.,
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