高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt

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1、(理)第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法,.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題,,,整合主干知識,數(shù)學(xué)歸納法 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0 (n0N*)時命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk (kN*,kn0)時命題成立,推出當(dāng)________時命題也成立 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對n取第一個值后面的所有正整數(shù)都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,nk1,質(zhì)疑探究2:數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟有什么關(guān)系? 提示:數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩個步驟缺一不可,否則就

2、會導(dǎo)致錯誤 (1)第一步中, 驗算nn0中的n0不一定為1,根據(jù)題目要求,有時可為2或3等 (2)第二步中,證明nk1時命題成立的過程中,一定要用到歸納假設(shè),掌握“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”的技巧,解析:觀察等式左邊的特征易知選C. 答案:C,解析:因為假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù)),故下一個偶數(shù)為k2. 答案:B,解析:從n到n2共有n2n1個數(shù), 所以f(n)中共有n2n1項 答案:D,4凸k邊形內(nèi)角和為f(k),則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)________. 解析:易得f(k1)f(k). 答案:,答案:2k,,聚集熱點題型,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,拓展提高(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題

3、是常見題型,其關(guān)鍵點在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是幾; (2)由nk到nk1時,除等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子,即充分利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明,,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,拓展提高(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小,對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論,常用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時成立得nk1時成立,主要方法有放縮法;利用均

4、值不等式法;作差比較法等,,典例賞析3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n13n2能被13整除,其中n為正整數(shù) 思路索引當(dāng)nk1時,把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關(guān)鍵 證明(1)當(dāng)n1時,421131291能被13整除(2)假設(shè)當(dāng)nk時,42k13k2能被13整除,則當(dāng)nk1時,,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題,方法一42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2), 42k113能被13整除,42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除 方法二因為42(k1)13k33(42k13k2) (42k1423k23)3(42k1

5、3k2) 42k113, 42k113能被13整除, 42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除,因而42(k1)13k3能被13整除, 當(dāng)nk1時命題也成立, 由(1)(2)知,當(dāng)nN*時,42n13n2能被13整除,拓展提高用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)P(k1)的整式變形是個難點,找出它們之間的差異,然后將P(k1)進行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,變式訓(xùn)練 3已知n為正整數(shù),aZ,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an1(a1)2n1能被a2a1整除 證明:(1)當(dāng)n1時,an1(a1)2n1a2a1,

6、能被a2a1整除 (2)假設(shè)nk時,ak1(a1)2k1能被a2a1整除,那么當(dāng)nk1時,ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2 (a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除,即當(dāng)nk1時命題也成立 根據(jù)(1)(2)可知,對于任意nN*,an1(a1)2n1能被a2a1整除,思路索引關(guān)鍵是搞清nk到nk1時對角線增加的條數(shù),看頂點的變化可知對角線的變化從而可解 證明因為三角形沒有對角線, 所以n3時,f(3)0,命題成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,拓展提高用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”,即幾何元素從k個變成k1個時,所證的幾何量

7、將增加多少,這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析;事實 上,將nk1和nk分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧.,,變式訓(xùn)練 4平面上有n個圓,每兩圓交于兩點,每三圓不過同一點,求證這n個圓分平面為n2n2個部分 證明:(1)當(dāng)n1時,n2n21122,而一圓把平面分成兩部分,所以n1命題成立 (2)設(shè)nk時,k個圓分平面為k2k2個部分,則nk1時,第k1個圓與前k個圓有2k個交點,這2k個交點分第k1個圓為2k段,每一段都將原來所在的平面一分為二,故增加了2k個平面塊,共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2個部分對nk1也成立,由(1)

8、(2)可知,這n個圓分割平面為n2n2個部分,備課札記 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)歸納、猜想、證明,,審題視角(1)將n1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,從而可猜想an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)利用分析法,結(jié)合x0,y0,xy1,利用基本不等式可證,溫馨提醒(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納猜想證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性 (2)為了正確地猜想an,首先準(zhǔn)確求出a1,a2,a3的值,,1一種方法 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題證明時步驟(1)和(2)缺一不可,步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ),步驟(2)是遞推的依據(jù) 2兩點注意運用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意: (1)第一步驗證nn0時,n0不一定為1,要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值 (2)由nk時命題成立,證明nk1時命題成立的過程中,一定要歸納假設(shè),否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,,

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