福建省福州市2012年10月高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 數(shù)列 新人教版

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1、2012年10月福州市高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 一、考試內(nèi)容及要求 1．數(shù)列的概念和簡單表示法 (1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)． (2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)． 2．等差數(shù)列、等比數(shù)列 (1)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念． (2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式． (3)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題． (4)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 二、重點知識及主要考點 1. 數(shù)列知識主要包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式。數(shù)列作為一

2、種離散型的特殊函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。數(shù)列問題重視歸納與類比方法的應(yīng)用，并用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。 2. . 在高考中，在以考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識為主的試題中，關(guān)注概念辨析以及等差、等比數(shù)列的“基本量法”；在考查數(shù)列的綜合問題時，對能力有較高的要求，試題有一定的難度和綜合性，常與單調(diào)性、最值、不等式、導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納等知識交織在一起，涉及化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想。 3. 在考查相關(guān)知識內(nèi)容的基礎(chǔ)上，高考把對數(shù)列的考查重點放在對數(shù)學(xué)思想方法、推理論證能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查上。 4. 使用選擇題、填空題形式考查數(shù)列的試題

3、，往往突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、有限與無限等數(shù)學(xué)思想方法，使用解答題形式考查數(shù)列的試題，往往是一般數(shù)列的內(nèi)容，其方法是研究數(shù)列通項及前n項和的一般方法，并且通常不單一考查數(shù)列知識，而是與其他內(nèi)容相結(jié)合，體現(xiàn)對解決綜合問題的考查力度，數(shù)列綜合題有一定的難度，對能力有較高的要求。理科試卷側(cè)重于理性思維的考查，試題設(shè)計通常以一般數(shù)列為主，著重考查的抽象思維和推理論證能力。 5.高考的數(shù)列試題的解法，有的是從等差數(shù)列或等比數(shù)列入手構(gòu)造新的數(shù)列，有的是從比較抽象的數(shù)列入手，給定數(shù)列的一些性質(zhì)，要求考生進行嚴格的邏輯推證，找到數(shù)列的通項公式，或證明數(shù)列的其他一些性質(zhì)。 三、近年福建高考

4、數(shù)列試題特點及權(quán)重 高中數(shù)列12課時，按占總課時數(shù)的比例分析大約理科應(yīng)考6分 、 文科應(yīng)考7. 5分 福建省高考文理科09-12年實考分值： 09年：理實考5+4=9分 文 實考12分 10年：理實考5+4=9分 文 實考12分 11年：理實考2+7=9分 文 實考12分 12年：理實考5+2+2=9分 文 實考3+6=9分 （1）2009年新課標高考以來，福建省高考降低對遞推數(shù)列的考查，但同時加強對數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系的考查，加強對數(shù)列應(yīng)

5、用、數(shù)學(xué)建模能力的考查。 （2）在考查了數(shù)列有關(guān)知識的同時，突出了對數(shù)學(xué)思想方法、思維能力以及創(chuàng)新意識 和實踐能力的考查， 體現(xiàn)了試題“ 巧、 活、 新” 的特點． 而解答題形式新穎，以等差數(shù)列和等比數(shù)列內(nèi)容為主，一般是與不等式、函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容綜合，在知識的交匯點命題，背景豐富多變，解法靈活多樣，對能力的考查可達到一定的廣度和深度． （3）自 2 0 0 9年福建省第一次命制課標卷以來，數(shù)列試題多以中等題形式出現(xiàn)，所占分值比例較小．理科卷多為選填題出現(xiàn)，2011年在解答題中出現(xiàn)過；而文科卷多為解答題，2012年在選填題中出現(xiàn)過，主要揭示等差數(shù)列和等比數(shù)列本質(zhì)性的知識，難度較低． 四

6、、2009-2012高考福建省數(shù)列試題展現(xiàn) （2009理3）(5分）.等差數(shù)列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于（ C） A．1 B C.- 2 D 3 考點：等差數(shù)列 （2009理15.）(4分）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定： ①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和； ②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次 已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當五位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為 5

7、考點：斐波納契數(shù)列 （2009文17）(12分）等比數(shù)列中，已知 （I）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前項和。 考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列 解：（I）設(shè)的公比為 由已知得，解得 （Ⅱ）由（I）得，，則， 設(shè)的公差為，則有解得 從而 所以數(shù)列的前項和 （2010理3）(5分）．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等于（ A ） A.6 B.7 C.8 D.9 考點：等差數(shù)列 （2010理11）(4分）．在等

8、比數(shù)列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式 . 考點：等比數(shù)列 （2010文17 ）(12分）數(shù)列{} 中＝，前n項和滿足-＝（n）. ( I ) 求數(shù)列{}的通項公式以及前n項和； （II）若S1, t ( S1+ S2 ), 3( S2+ S3 ) 成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值. 考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列; 考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 解：（I）由得 又從而 （II）由（I）可得 從而由S1, t ( S1+ S2 ), 3( S2+ S3 ) 成等差數(shù)列 可得 （2011理10）(5分）.已

9、知函數(shù)f（x）=ex+x，對于曲線y=f（x）上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A,B,C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是（ B ） A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 考點：等差數(shù)列和函數(shù)（數(shù)列與函數(shù)交匯） （2011理16）（13分）已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項和S3=。 （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。 考點：等比數(shù)列、三角函

10、數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想（數(shù)列與三角函數(shù)的交匯） 解：（I）由解得所以 （II）由（I）可知因為函數(shù)的最大值為3，所以A=3。 因為當時取得最大值，所以又 所以函數(shù)的解析式為 （2011文17）(12分）已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3. （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （II）若數(shù)列{an}的前k項和Sk=-35，求k的值. 考點：等差數(shù)列，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an= a1+（n-1）d 由a1=1，a3=-3可得d=-2 從而an= 3-

11、2n （II）由（I）可知an= 3-2n， 所以sn=2n-n2 由Sk=-35 得 k=7 或k=-5 又k N， 故k=7為所求 （2012理2）(5分）.等差數(shù)列中，，則數(shù)列的公差為（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 考點：等差數(shù)列 （2012理13.）(5分）已知的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為___ 考點：等比數(shù)列和解三角形（數(shù)列與解三角形的交匯）。 （2012理14）(4分）數(shù)列的通項公式，前項和為，則 _3018__。 考點：一般數(shù)列和三角函數(shù)的周期性（數(shù)列

12、與三角函數(shù)的交匯）。 （2012文11）(5分）理數(shù)列的通項公式，其前項和為，則等于（ A ） A．1006 B．2012 C．503 D．0 考點：一般數(shù)列和三角函數(shù)的周期性（數(shù)列與三角函數(shù)的交匯）。 （2012文17）(12分）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，的前10項和。（Ⅰ）求和；（Ⅱ）現(xiàn)分別從和的前3項中各隨機抽取一項寫出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項的值相等的概率。 考點：等差數(shù)列，等比數(shù)列，古典概型（數(shù)列與概率的交匯）。 解答：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為 則 得：

13、 （Ⅱ），各隨機抽取一項寫出相應(yīng)的基本事件有 共個 符合題意有共個 這兩項的值相等的概率為 五、典型考題分析 1．等差、等比數(shù)列的“基本量法”， 要求運算求解又快速又準確. 例1（2012年高考（重慶理））在等差數(shù)列中,,則的前5項和=（ B ） A．7 B．15 C．20 D．25 【解析】, ,故. 【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前項和公式,解題時要認真審題,仔細解答. 例2（2012年高考（遼寧理））在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=（B　） A．58 B．88 C．143 D．176 【解析】在等差

14、數(shù)列中,, 【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前n項和公式,同時考查運算求解能力,屬于中檔題.解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準確. 例3（2012年高考（安徽理））公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且,則（　B?。? A． B． C． D． 【解析】 【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及綜合應(yīng)用,同時考查運算求解能力.解答時利用等比數(shù)列的性質(zhì)快速又準確. 2．數(shù)列知識與其他內(nèi)容相結(jié)合，要求能力較高 例4（2012高考四川文12）設(shè)函數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，則（ D ） A、0 B、7 C、14

15、 D、21 【解析】f(x)-2=(x-3) 3+(x-3)是關(guān)于（3，0）對稱的，f(a1)-2+f(a2)-2+.....+f(a7)-2=14-2*7=0 所以a4=3 a1+ a2+.....+ a7=7a4=21 【點評】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)綜合, 有一定的難度 例5（2012年高考（四川理））設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則（　D?。? A． B． C． D． [解析]∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列,且 ∴ ∴ 即 得 ∴ 【點評】本題難度較大,綜合性很強.突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使

16、用,需考生加強知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外,隱蔽性較強,需要考生具備一定的觀察能力. 例6（2012年高考（上海理））設(shè),. 在中,正數(shù)的個數(shù)是（　D?。? A．25. B．50. C．75. D．100. [解析] 對于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都為正數(shù). 當26≤k≤49時,令,則,畫出ka終邊如右, 其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱,即有, 所以+++++0 +++ =+++++ +,其中k=26,27,,49,此時, 所以,又,所以, 從而當k=26,27,,49時,Sk都是正數(shù),S50=S49+a50=S49+0=S4

17、9>0. 對于k從51到100的情況同上可知Sk都是正數(shù). 綜上,可選D. 【點評】本題中數(shù)列難于求和,可通過數(shù)列中項的正、負匹配來分析Sk的符號,為此,需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學(xué)思想.而重中之重,是看清楚角序列的終邊的對稱性,此為攻題之關(guān)鍵. 3． 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 ，要求有嚴格的邏輯推證 (1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯公式． (2)方程思想的應(yīng)用，往往是破題的關(guān)鍵． 例7（2012年高考（四川理））已知數(shù)列的前項和為,且對一切正整數(shù)都成立. (Ⅰ)求,的值

18、; (Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項和為,當為何值時,最大?并求出的最大值. 【解析】取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①,得 ③ (1)若a2=0, 由①知a1=0, (2)若a2, ④ 由①④得: (2)當a1>0時,由(I)知, 當 , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以,an= 所以 令 所以,數(shù)列{bn}是以為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 則 b1>b2>b3>>b7= 當n≥8時,bn≤b8= 所以,n=7時,Tn取得最大值,且Tn的最大值為 T7= 【點評】本小題主要從三個層面對考

19、生進行了考查. 第一,知識層面:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識;第二,能力層面:考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力;第三,數(shù)學(xué)思想:考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 4．數(shù)列的應(yīng)用題，要求有應(yīng)用意識 解數(shù)列應(yīng)用題，首先應(yīng)當提高閱讀理解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號，實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，要充分運用觀察、歸納、猜想等手段，建立等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推數(shù)列等模型 例8【2012高考湖南文20】（本小題滿分13分） 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50％.預(yù)計以后每年資金年

20、增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出與an的關(guān)系式； （Ⅱ）若公司希望經(jīng)過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）. 【解析】（Ⅰ）由題意得， ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . 整理得　. 由題意， 解得. 故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為４０００元. 【點評】本題考查遞推數(shù)列問題在實際問題中的應(yīng)用，考查運算能力和使用數(shù)列知識分析解決實際問題的

21、能力.第一問建立數(shù)學(xué)模型，得出與an的關(guān)系式，第二問，只要把第一問中的迭代，即可以解決。也可以轉(zhuǎn)化等比數(shù)列（）解決 5．數(shù)列與其他的交匯，要求運算能力、邏輯推理能力較高并有創(chuàng)新意識 數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度．解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)換”等． 例9【2012高考安徽文21】（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)=+的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （

22、Ⅱ）設(shè)的前項和為，求。 【解析】（I）， ， ， 得：當時，取極小值， 得：。 （II）由（I）得：。 。 當時，， 當時，， 當時，， 得： 當時，， 當時，， 當時，。 【點評】本小題是三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合，考查綜合解決問題能力。 例10（2012年高考（四川理））已知為正實數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點,設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距. (Ⅰ)用和表示; (Ⅱ)求對所有都有成立的的最小值; (Ⅲ)當時,比較與的大小,并說明理由. 【解析】(1)由已知得,交點A的坐標為,對則拋物線在點A處的切線方程為 (2)由(1)知f(n

23、)=,則 即知,對于所有的n成立,特別地,取n=2時,得到a≥ 當, >2n3+1 當n=0,1,2時,顯然 故當a=時,對所有自然數(shù)都成立 所以滿足條件的a的最小值是. (3)由(1)知,則, 下面證明: 首先證明:當0

24、考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力;且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法. 六、復(fù)習(xí)建議 1、夯實基礎(chǔ)：從歷年數(shù)列考題可以看出，多數(shù)問題解決最終均化歸為等差或等比數(shù)列求解；復(fù)習(xí)時應(yīng)突出兩種基本數(shù)列等差、等比數(shù)列的基本知識（通項、前n項和、基本性質(zhì)），每隔一段時間進行知識、方法的整理，形成知識網(wǎng)絡(luò)。 2、熟練技法：等差、等比數(shù)列的基本量計算是?？键c，應(yīng)進行強化訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握，達到求解快速準確；并多引導(dǎo)學(xué)生歸納、掌握由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項公式的幾種特殊思維模式，形成自覺應(yīng)用它解決問題的意識 3、防止失分：數(shù)列考題大多數(shù)是容易題，要讓學(xué)生關(guān)注易漏、易錯、易混點，培養(yǎng)學(xué)生的認真、嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)。通過適量的練習(xí)訓(xùn)練強化認識，避免不必要的失分。 4、關(guān)注交匯：探究性問題在數(shù)列中考查較多，注重數(shù)列與對數(shù)綜合，數(shù)列與三角綜合，數(shù)列與一般函數(shù)綜合，數(shù)列與不等式綜合及數(shù)列應(yīng)用等等。 5、滲透數(shù)學(xué)思想：高考數(shù)列能力題多數(shù)考查七種數(shù)學(xué)思想方法，第一輪復(fù)習(xí)在夯實基礎(chǔ)知識、方法的基礎(chǔ)上，可適當進行數(shù)列為載體突出數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練學(xué)生各種能力的練習(xí)。