2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻 重要知識點 常見函數(shù)

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1、反函數(shù) ⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù). 注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。 ⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為 R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增(減). 注：嚴格增(減)即是單調(diào)增(減) 例題：y=x2，其定義域為(-∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果

2、我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格增(減). ⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。 例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示： 復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。 注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。 例

3、題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。 因為對于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。 初等函數(shù) ⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下： 函數(shù)名稱 函數(shù)的記號 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)函數(shù) ?a):不論x為何值,y總為正數(shù); ?b):當(dāng)x=0時,y=1. 對數(shù)函數(shù) ?a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點 ?b):當(dāng)a＞1時,在區(qū)間(0,

4、1)的值為負；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增. 冪函數(shù) a為任意實數(shù) 這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。 ?令a=m/n ?a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù); ?b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù); ?c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義. 三角函數(shù) (正弦函數(shù)) ?這里只寫出了正弦函數(shù) ?a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù) ?b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且 反三角函數(shù) (反正弦函數(shù)) 這里只寫出了反正弦函數(shù) ?a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值. ⑵、初等函數(shù)

5、：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù). 例題：是初等函數(shù)。 雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) ⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述) 函數(shù)的名稱 函數(shù)的表達式 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 雙曲正弦 a)：其定義域為:(-∞,+∞)； b)：是奇函數(shù)； c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增 雙曲余弦 a)：其定義域為:(-∞,+∞)； b)：是偶函數(shù)； c)：其圖像過點(0,1)； 雙曲正切 a)：其定義域為:(-∞,+∞)； b)：是奇函數(shù)； c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增； 我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別： 雙曲函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì) shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù) sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù) 它們都不是周期函數(shù) 都是周期函數(shù) 雙曲函數(shù)也有和差公式： ⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù). a)：反雙曲正弦函數(shù)?? 其定義域為：(-∞,+∞)； b)：反雙曲余弦函數(shù)?? 其定義域為：[1,+∞)； c)：反雙曲正切函數(shù)?? ? 其定義域為：(-1,+1)；