2014屆高考數(shù)學總復習 課時提升作業(yè)(十三) 第二章 第十節(jié) 文

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1、課時提升作業(yè)(十三) 一、選擇題 1.函數(shù)y=x5·ax(a>0且a≠1)的導數(shù)是(　　) (A)y′=5x4·axlna (B)y′=5x4·ax+x5·axlna (C)y′=5x4·ax+x5·ax (D)y′=5x4·ax+x5·axlogax 2.(2013·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(a,a2)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為16,則a=(　　) (A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8 3.(2013·寶雞模擬)若函數(shù)f(x)=excosx,則此函數(shù)圖像在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為(　　) (A)0 (B)銳

2、角 (C)直角 (D)鈍角 4.(2013·贛州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的可導函數(shù),若f(2)=2,且=-2,則曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程是(　　) (A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2 (C)y=4x+2 (D)y=-x+2 5.如圖,其中有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導函數(shù)f′(x)的圖像,則f(-1)為(　　) (A)2 (B)- (C)3 (D)- 6.(2013·安慶模擬)若存在過點(1,0)的直線與

3、曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于(　　) (A)-1或- (B)-1或 (C)-或- (D)-或7 二、填空題 7.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2xf′(2),則f′(5) =　　　　. 8.(2013·宜春模擬)若過原點作曲線y=ex的切線,則切點的坐標為　　　　,切線的斜率為　　　　. 9.(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 三、解答題 10.求下列各函數(shù)的導數(shù): (1)y=(x+1)(x+2)(x+3). (2)y=. (3)y=.

4、11.(2013·宿州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式. (2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值. 12.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的圖像為C1,函數(shù)y=-x2+ax+b的圖像為C2,已知過C1與C2的一個交點的兩條切線互相垂直. (1)求a,b之間的關(guān)系. (2)求ab的最大值. 答案解析 1.【解析】選B.y′=(x5)′·ax+x5·(ax)′=5x4ax+x5·axlna. 2.【解析】選B

5、.y′=2x,所以在點(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4. 3.【解析】選D.由已知得: f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx), ∴f′(1)=e(cos1-sin1). ∵>1>, 而由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可得cos 1

6、. 由=-2得=-2,即f′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=-4x+2. 5.【解析】選B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴導函數(shù)f′(x)的圖像開口向上. 又∵a≠0,∴其圖像必為(3). 由圖像特征知f′(0)=0,且對稱軸x=-a>0, ∴a=-1,故f(-1)=-. 6.【思路點撥】先設(shè)出切點坐標,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(1,0)在切線上求出切點后再求a的值. 【解析】選A.設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,),所以切線方程為y-=3(x-x0), 即y=3x-2.

7、又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=, 當x0=0時,由y=0與y=ax2+x-9相切可得 Δ=()2-4a(-9)=0, 解得a=-, 同理,當x0=時,由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以選A. 【方法技巧】導數(shù)幾何意義的應用 導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率,應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面: (1)已知切點A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點處的導數(shù)值:k=f′(x0). (2)已知斜率k,求切點A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k. (3)已知過某點M(x1,f(x1))(不是切點)的切線斜率為k時,常需設(shè)出切點A(x0,f(x0))

8、,利用k=求解. 7.【解析】對f(x)=3x2+2xf′(2)求導,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得 f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 答案:6 8.【解析】y′=ex,設(shè)切點坐標為(x0,y0),則=,即=,∴x0=1,因此切點的坐標為(1,e),切線的斜率為e. 答案:(1,e)　e 9.【思路點撥】求出導函數(shù),根據(jù)導函數(shù)有零點,求a的取值范圍. 【解析】由題意可知f′(x)=3ax2+,又因為存在垂直于y軸的切線,所以3ax2+=0?a=(x>0)?a∈(-∞,0). 答案:(-∞,0) 10.【解析】(1)方法一

9、:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. (2)∵y=+=, ∴y′=()′==. (3)∵y==cosx-sinx, ∴y′=-sinx-cosx. 11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3. 當

10、x=2時,y=.又f′(x)=a+, 于是解得故f(x)=x-. (2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點,由y′=1+知曲線在點P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0). 令x=0得y=-,從而得切線與直線x=0的交點坐標為(0,-). 令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點坐標為(2x0,2x0), 所以點P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為S=|-||2x0|=6. 故曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6. 【變式備選】

11、已知函數(shù)f(x)=x3+x-16. (1)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標. (2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標與切線的方程. 【解析】(1)方法一:設(shè)切點為(x0,y0), 則直線l的斜率為f′(x0)=3+1, ∴直線l的方程為y=(3+1)(x-x0)++x0-16. 又∵直線l過點(0,0), ∴0=(3+1)(-x0)++x0-16, 整理得,=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直線l的方程為y=13x,切點坐標為(-2,-

12、26). 方法二:設(shè)直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0), 則k==. 又∵k=f′(x0)=3+1, ∴=3+1,解得x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直線l的方程為y=13x,切點坐標為(-2,-26). (2)∵切線與直線y=-x+3垂直, ∴切線的斜率k=4. 設(shè)切點的坐標為(x0,y0),則f′(x0)=3+1=4, ∴x0=±1, ∴或∴切點坐標為(1,-14)或(-1,-18), 切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 12.【解析】(1)對于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2, 對于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a, 設(shè)C1與C2的一個交點為(x0,y0), 由題意知過交點(x0,y0)的兩條切線互相垂直, ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即4-2(a+2)x0+2a-1=0.　① 又點(x0,y0)在C1與C2上, 故有 ∴2-(a+2)x0+2-b=0.　?、? 由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=-a. (2)由(1)知:b=-a, ∴ab=a(-a)=-(a-)2+, ∴當a=時,(ab)最大=.