《多自由度體系自由振動(dòng)分析.ppt》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《多自由度體系自由振動(dòng)分析.ppt(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第10 章多自由度體系無阻尼自由振動(dòng)分析,結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析特征值問題的性質(zhì),結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)方程,將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),代入上式可得,(10-1),(10-2),(10-3),方程(103)為特征值問題。對(duì)特征方程分析可得一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的固有頻率以及振型。,1、固有頻率,從方程(103)可知:要獲得a非零解,必須要求矩陣系數(shù)行列式為零:,(10-4),式(104)稱為系統(tǒng)的頻率方程,對(duì)其進(jìn)行行列式展開可以獲得一個(gè)關(guān)于2的n次(自由度數(shù))的代數(shù)方程,它的n個(gè)根 表示系統(tǒng)可能的n個(gè)振型的頻率。,結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析特征值問題的性質(zhì),2、振型,(10-5),由頻率方程式(104)求得系統(tǒng)n個(gè)固有頻率 后,可以將任
2、一個(gè)固有頻率 回代入特征方程(103),以獲得對(duì)應(yīng)的振幅向量a:,式中:,上式中,由于系數(shù)矩陣 的行列式為零,因此是不定方程。對(duì)振幅向量除以a1,并記 以及 ,式(105)可以拆分為兩個(gè)獨(dú)立的系列:,多自由度體系動(dòng)力特性分析(舉例),如圖所示結(jié)構(gòu),E=2.6x107kN/m2,各柱尺寸0.6x0.6m. 求自振頻率和振型。,解:用剛度法得,k22,k12,則質(zhì)量陣和剛度陣為,由頻率方程解得:,頻率方程為:,振型1(令 ):,振型2(令 ):,Betti定理:若一結(jié)構(gòu)分別受兩種荷載體系作用并引起了相應(yīng)的位移,則荷載體系1在荷載體系2對(duì)應(yīng)位移上所作的功等于荷載體系2在荷載體系1對(duì)應(yīng)位移上所作的功。
3、,情況1(先加載荷載a,然后加載荷載b):,加荷載b:,加荷載a:,情況2(先加載荷載b,然后加載荷載a):,加荷載a:,加荷載b:,由于結(jié)構(gòu)變形與加載次序無關(guān),因此在兩種情況下荷載作功應(yīng)相等:,振型正交性(1)Betti定理,振型正交性(2)利用Betti定理證明振型正交性,如將自由振動(dòng)看作由慣性力引起的變形,將兩個(gè)振型對(duì)應(yīng)的慣性力作為施加荷載,振型即為慣性力荷載作用引起的位移(如右圖所示)。對(duì)此體系應(yīng)用Betti定理:,由于慣性力向量可表達(dá)為:,將此代入式(I),并注意m對(duì)稱性,得:,( I ),或?qū)憺?歸一化振型,顯然,歸一化振型可以由標(biāo)準(zhǔn)振型獲得:,在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中,常用到正交歸一化振
4、型。一個(gè)振型如滿足以下條件則稱為歸一化振型,用記號(hào) 表示:,對(duì)于剛度陣,有:,(1)如果m和k都對(duì)稱,且至少有一個(gè)矩陣正定,則特征值一 定是實(shí)數(shù),而特征向量也可以是實(shí)向量。如果m正定,并且k為正定或半正定,則所有特征值都是正的實(shí)數(shù)。,從數(shù)學(xué)角度理解特征系統(tǒng)的基本特性,(2) 特征向量(或模態(tài)向量)關(guān)于質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣m正交,即:,一個(gè)特征系統(tǒng)具有以下特性:,特征系統(tǒng)的基本特性(續(xù)),(3) Rayleigh商和特征值的極大極小性質(zhì),定義:,可以證明,對(duì)于任意x有:,得到第i 階特征值:,由振型正交性可得,當(dāng)x為系統(tǒng)的某階特征向量時(shí),則有:,特征系統(tǒng)的基本特性(續(xù)),(4) 特征值的移軸性質(zhì),或?qū)憺椋?式中:,式(10-7)和標(biāo)準(zhǔn)特征值方程有相同的特征向量,但特征值相差,即:,將特征值方程 兩邊分別減去 ,則有另一等價(jià)形式:,(10-7),(5) 特征值的分隔性質(zhì),則對(duì)角矩陣D 中有i 個(gè)負(fù)元素。,如果有,(6) 位移展開定理,對(duì)于n 維空間中的任意向量x都可以按模態(tài)矩陣展開:,系數(shù)q可按右式確定:,以上討論的是廣義特征值問題的一些基本特性,深入理解這些性質(zhì),對(duì)于求解特征值問題很有幫助。,特征系統(tǒng)的基本特性(續(xù)),