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1、§10.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理
一、知識精講
分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理
分類計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法 ，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的辦法。
分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第步有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法。
特別注意:兩個原理的共同點是把一個原始事件分解成若干個分事件來完成。不同點在于，一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān)，如果完成一件事情共有類辦法，這類辦法彼此之間相互獨立的，無論哪一類
2、辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類計數(shù)原理；如果完成一件事情需要分成個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成 每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步計數(shù)原理。
二、題型剖析
例1、把一個圓分成3塊扇形，現(xiàn)在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問有多少鐘不同的涂法？若分割成4塊扇形呢？
d
c
a
b
解：（1）不同涂色方法數(shù)是：（種）
（2）如右圖所示,分別用a,b,c,d記這四塊,
a與c可同色,也可不同色,先考慮給a,c兩塊涂色,分兩類
(
3、1) 給a,c涂同種顏色共種涂法,再給b涂色有4種涂法,
最后給d涂色也有4種涂法,由乘法原理知,此時共有種涂法
(2) 給a,c涂不同顏色共有種涂法,再給b涂色有3種方法,最后給d涂色也有3種，
此時共有種涂法
故由分類計數(shù)原理知，共有+=260種涂法。
例2、（1）如圖為一電路圖，從A到B共有 ___________條不同的線路可通電。
解：按上中下通電可分三類，第一類有3種通法，第二類1種，第三類分2步，每步又可分2種,所以，共有3+1+22=8種通電方法。
A
B
（2）三邊均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)是 。
解：另兩邊用x
4、、y表示，且不妨設(shè)，要構(gòu)成三角形，必須
當y取值11時，，可有11個三角形；當y取值10時，，可有9個三角形……當y取值6時，x只能取6，只有一個三角形
所以所求三角形的個數(shù)為11+9+7+5+3+1=36，故選C。
（3）甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項工程，乙公司承包1項，丙、丁各承包2項，問共有_____________種承包方式？
解：由分步計數(shù)原理有：種。思維點拔
【思維點拔】 解決這類題首先要明確：“完成一件事”指什么？如何完成這件事（即分步還是分類）？進而確定應(yīng)用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理。
分步計數(shù)原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間
5、是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可。
分類計數(shù)原理中的“分類”要全面, 不能遺漏?！邦悺迸c“類之間是并列的、互斥的、獨立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。
例3(優(yōu)化設(shè)計P172例1)、電視臺在”歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.現(xiàn)有主持人抽獎確定幸運觀眾,若先確定一名幸運之星,再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴,有多少種不同的結(jié)果?
解: (1) 幸運之星在甲箱中抽,再在兩箱中各定一名幸運伙伴,有30×29×20=1740種結(jié)果;
(3) 幸運之星在乙箱中抽,同理有20×19×3
6、0=11400種結(jié)果。
由分類計數(shù)原理,共有 17400+11400=28800 種不同結(jié)果。
【評述】在綜合運用兩個原理時，一般先分類再分步。
例4(優(yōu)化設(shè)計P173例2)、從集合{1，2，3，μ ，10}中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個？
解：和為11的數(shù)共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組的兩數(shù)，，即子集中的元素取自5個組中的一個數(shù)，而每個數(shù)的取法有2種，所以子集個數(shù)為2′2′2′2′2=25=32
【評述】本題的關(guān)鍵是先找出和為11的5組數(shù)，然后利用分步計數(shù)原理求出結(jié)果。
7、
例5(優(yōu)化設(shè)計P173例3)、某城市在中心廣場造一個
花圃，花圃分為6個部分(如圖).現(xiàn)要栽種4種不同
顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏
色的花，不同的栽種方法有 ________ 種.(以數(shù)字作答)
解法1: 因為區(qū)域1與其它5個區(qū)域都有公共邊，所
以當區(qū)域1栽種一種顏色的花之后，該顏色的花就不
能栽于其它區(qū)域．因而可分兩步走，考慮如下：
第一步，在區(qū)域1中，栽上一種顏色的花，有4種栽法；
第二步，在剩下的五個區(qū)域中，栽種其它三種顏色的花．為此，可將2至6號五個區(qū)域分成3組，使同一組中的不同區(qū)域沒有公共邊．這樣的分組法有且只有5類，如下表(表中數(shù)字為區(qū)
8、域號)：
?
第一組
第二組
第三組
第一類
2
3，5
4，6
第二類
2，4
3，5
6
第三類
2，4
3，6
5
第四類
2，5
3，6
4
第五類
2，5
3
4，6
對每一類分得的3個組，將3種顏色的花分別栽于各組，共有種栽法．
應(yīng)用乘法原理和加法原理，得合乎題意要求的不同栽種方法的種數(shù)為
解法2 分兩類情況考慮：
第1類：第1、2、3、5四個區(qū)域栽種不同顏色的4種花，共有種栽法．對于每一種栽法，第4、6區(qū)分別都只有1種顏色的花可栽．
第2類：第1、2、3、5四個區(qū)域栽種不同顏色的3種花，共有種栽法．對于每一種栽
9、法，要么2、5區(qū)栽同色花，要么3、5區(qū)栽同色花．對于前者，第6區(qū)有2種顏色的花可供選栽，第4區(qū)只能栽第4種顏色的花；對于后者，第4區(qū)有2種顏色的花可供選栽，第6區(qū)只能栽第4種顏色的花．即無論何種情形，第4、6區(qū)的栽法都是2種．
綜合上述情形，應(yīng)用加法原理與乘法原理，得不同栽種方法的種數(shù)為
【評述】本題需抓住花圃布局的要求，看清圖形中6個部分的關(guān)系；明確每個部分只種同一種顏色的花，相鄰部分應(yīng)種不同顏色的花；而且4種顏色的花都要種上，缺一不可．對這些條件要求，稍有疏忽、遺漏或曲解，都會引致解答出錯．其次，應(yīng)設(shè)計好周全而又不出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的推算程序，關(guān)鍵是推算過程中分步、分類的安排要合理且嚴密
10、；此外，在每一分步或分類中，計數(shù)不出錯；最后，乘法原理和加法原理的運用，以及數(shù)值計算還得無誤，方能得出正確的答數(shù)．
練習題：在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同
一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，現(xiàn)有4種不
同的植物可供選擇，則有多少種栽種方案？
解：考慮A、C、E種同一種植物，此時共有種方法。
考慮A、C、E種二種植物，此時共有種方法。
考慮A、C、E種同三種植物，此時共有種方法。
故總計有108+432+192=732種方法。
備用題：
例6、已知集合A=,B=,f是從A到B的映射.(1) 從A到B總共有幾個映射?(2)若B中每個
11、元素都有原象,則可建立幾個不同的映射?(3)若B中的元素0沒有原象,則這樣的f有幾個?(4)若B中有一個元素沒有原象,則這樣的映射有幾個?(5)若f滿足,則這樣的f又有幾個?
解 (1)由乘法原理知有個; (2) f必為一一映射,故有個;
(3)個; (4)個;
(5) 因4=1+1+1+1=1+1+2+0=1+3+0+0=2+2+0+0,
故可分四類討論,得滿足要求的映射f共有
個
例7、四面體的頂點和各棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）
A、150種 B、147種 C
12、、144種 D、141種
解：從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類。第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個點共面，有3種。以上三種情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有（種）
三、課堂小結(jié)：
1．分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是解決排列、組合問題的理論基礎(chǔ)。這兩個原理的本質(zhì)區(qū)別在于分類與分步，分類用分類計數(shù)原理，分步用分步計數(shù)原理 。
2．元素能重復(fù)的問題往往用計數(shù)原理。
3．注意：類”間相互獨立，“步”間相互聯(lián)系。
四、【布置作業(yè)】 優(yōu)化設(shè)計P173
2013屆高考數(shù)學單元考點復(fù)習18 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理
