2013年全國高考數(shù)學(xué) 試題分類匯編14 導(dǎo)數(shù)與積分

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1、2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分 一、選擇題 ．（2013年高考湖北卷（理））已知為常數(shù),函數(shù)有兩個極值點,則 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是 （　?。? A．R, B．函數(shù)的圖像是中心對稱圖形 C．若是的極小值點,則在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．若是的極值點,則 【答案】C ．（2013年高考江西卷（理））若則的大小關(guān)系為 （　　） A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年普通

2、高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））設(shè)函數(shù) （　?。? A．有極大值,無極小值 B．有極小值,無極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值 【答案】D ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)函數(shù)的定義域為R,是的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是 （　?。? A． B．是的極小值點 C．是的極小值點 D．是的極小值點 【答案】D ．（2013年高考北京卷（理））直線l過拋物線C: x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于 （　?。? A． B．2 C． D．

3、 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則 （　?。? A．當(dāng)時,在處取得極小值 B．當(dāng)時,在處取得極大值 C．當(dāng)時,在處取得極小值 D．當(dāng)時,在處取得極大值 【答案】C 二、填空題 ．（2013年高考江西卷（理））設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且,則______________ 【答案】2 ．（2013年高考湖南卷（理））若_________. 【答案】3 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））若曲線在點處的切線平行于軸,則__

4、____. 【答案】 三、解答題 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））已知函數(shù). (Ⅰ)設(shè)是的極值點,求,并討論的單調(diào)性; (Ⅱ)當(dāng)時,證明. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知函數(shù) (I)求證: (II)若恒成立,求實數(shù)取值范圍. 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生

5、全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））本小題滿分16分. 設(shè)函數(shù),,其中為實數(shù). (1)若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍; (2)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論. 卷Ⅱ 附加題部分答案word版 [選做題]第21題,本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答,若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 【答案】解:(1)由即對恒成立,∴ 而由知<1 ∴ 由令則 當(dāng)<時<0,當(dāng)>時>0, ∵在上有最小值 ∴>1 ∴> 綜上所述:的

6、取值范圍為 (2)證明:∵在上是單調(diào)增函數(shù) ∴即對恒成立, ∴ 而當(dāng)時,> ∴ 分三種情況: (Ⅰ)當(dāng)時, >0 ∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù) ∵ ∴f(x)存在唯一零點 (Ⅱ)當(dāng)<0時,>0 ∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù) ∵<0且>0 ∴f(x)存在唯一零點 (Ⅲ)當(dāng)0<時,,令得 ∵當(dāng)0<<時,>0;>時,<0 ∴為最大值點,最大值為 ①當(dāng)時,,,有唯一零點 ②當(dāng)>0時,0<,有兩個零點 實際上,對于0<,由于<0,>0 且函數(shù)在上的圖像不間斷 ∴函數(shù)在上有存在零點 另外,當(dāng),>0,故在上單

7、調(diào)增,∴在只有一個零點 下面考慮在的情況,先證<0 為此我們要證明:當(dāng)>時,>,設(shè) ,則,再設(shè) ∴ 當(dāng)>1時,>-2>0,在上是單調(diào)增函數(shù) 故當(dāng)>2時,>>0 從而在上是單調(diào)增函數(shù),進而當(dāng)>時,>>0 即當(dāng)>時,>, 當(dāng)0<<時,即>e時,<0 又>0 且函數(shù)在上的圖像不間斷, ∴函數(shù)在上有存在零點,又當(dāng)>時,<0故在上是單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)在只有一個零點 綜合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:當(dāng)時,的零點個數(shù)為1;當(dāng)0<<時,的零點個數(shù)為2 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））設(shè)函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當(dāng)時,求函數(shù)的

8、單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ) 當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值. 【答案】(Ⅰ) 當(dāng)時, , 令,得, 當(dāng)變化時,的變化如下表: 極大值 極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,. (Ⅱ) ,令,得,, 令,則,所以在上遞增, 所以,從而,所以 所以當(dāng)時,;當(dāng)時,; 所以 令,則,令,則 所以在上遞減,而 所以存在使得,且當(dāng)時,,當(dāng)時,, 所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 因為,,所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時取得“”. 綜上,函數(shù)在上的最大值. ．（2013年高

9、考江西卷（理））已知函數(shù),為常數(shù)且. (1) 證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱; (2) 若滿足,但,則稱為函數(shù)的二階周期點,如果有兩個二階周期點試確定的取值范圍; (3) 對于(2)中的和, 設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),記△ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性. 【答案】(1)證明:因為,有, 所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱. (2)解:當(dāng)時,有 所以只有一個解,又,故0不是二階周期點. 當(dāng)時,有 所以有解集,又當(dāng)時,,故中的所有點都不是二階周期點. 當(dāng)時,有

10、 所以有四個解,又, ,故只有是的二階周期點.綜上所述,所求 的取值范圍為. (3)由(2)得, 因為為函數(shù)的最大值點,所以或. 當(dāng)時,.求導(dǎo)得:, 所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時單調(diào)遞減; 當(dāng)時,,求導(dǎo)得:, 因,從而有, 所以當(dāng)時單調(diào)遞增. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè),其中,曲線在點處的切線與軸相交于點. (1)確定的值; (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值. 【答案】 ．（2013年高考四川卷（理））已知函數(shù),其中是實數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點,且. (Ⅰ)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

11、 (Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直,且,求的最小值; (Ⅲ)若函數(shù)的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍. 【答案】解:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為, 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點A處的切線斜率為,點B處的切線斜率為,故當(dāng)點A處的切線與點B處的切垂直時,有. 當(dāng)時,對函數(shù)求導(dǎo),得. 因為,所以, 所以. 因此 當(dāng)且僅當(dāng)==1,即時等號成立. 所以函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直時,的最小值為1 當(dāng)或時,,故. 當(dāng)時,函數(shù)的圖象在點處的切線方程為 ,即 當(dāng)時,函數(shù)的圖象在點處的切線方程為 ,即. 兩切線重合的充要條件是 由

12、①及知,. 由①②得,. 設(shè), 則. 所以是減函數(shù). 則, 所以. 又當(dāng)且趨近于時,無限增大,所以的取值范圍是. 故當(dāng)函數(shù)的圖像在點處的切線重合時,的取值范圍是 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,函數(shù). (I)記求的表達式; (II)是否存在,使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由. 【答案】解: (Ⅰ) (II)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成的.因此,若在圖像上存在兩點滿足題目要求,則P,Q分別在兩個圖像上,且.

13、 不妨設(shè) 所以,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知函數(shù) (1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程; (2)求函數(shù)的極值. 【答案】解:函數(shù)的定義域為,. (Ⅰ)當(dāng)時,,, , 在點處的切線方程為, 即. (Ⅱ)由可知: ①當(dāng)時,,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值; ②當(dāng)時,由,解得; 時,,時, 在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上:當(dāng)時,函數(shù)無極值 當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值,無極大值. ．（2013年高考新課標

14、1（理））(本小題滿分共12分)已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線 (Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2時,≤,求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)由已知得, 而=,=,∴=4,=2,=2,=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,, 設(shè)函數(shù)==(), ==, 有題設(shè)可得≥0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,則-2<≤0,∴當(dāng)時,<0,當(dāng)時,>0,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在=取最小值,而==≥0, ∴當(dāng)≥-2時,≥0,即≤恒成立, (2)若,則=, ∴當(dāng)≥-2時,≥0,∴在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而=0, ∴當(dāng)≥-2時

15、,≥0,即≤恒成立, (3)若,則==<0, ∴當(dāng)≥-2時,≤不可能恒成立, 綜上所述,的取值范圍為[1,]. ．（2013年高考湖北卷（理））設(shè)是正整數(shù),為正有理數(shù). (I)求函數(shù)的最小值; (II)證明:; (III)設(shè),記為不小于的最小整數(shù),例如,,.令,求的值. (參考數(shù)據(jù):,,,) 【答案】證明:(I) 在上單減,在上單增. (II)由(I)知:當(dāng)時,(就是伯努利不等式了) 所證不等式即為: 若,則 ① , ,故①式成立. 若,顯然成立. ② , ,故②式成立. 綜上可得原不等式成立. (III

16、)由(II)可知:當(dāng)時, ．（2013年高考陜西卷（理））已知函數(shù). (Ⅰ) 若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實數(shù)k的值; (Ⅱ) 設(shè)x>0, 討論曲線y=f (x) 與曲線 公共點的個數(shù). (Ⅲ) 設(shè)a 0,m > 0 時, 曲線y=f (x) 與曲線 的公共點個數(shù)即方程 根的個數(shù). 由, 則 h(x)在 h(x). 所以對曲線y=f (x) 與曲線 公共點的個數(shù),

17、討論如下: 當(dāng)m 時,有0個公共點;當(dāng)m= ,有1個公共點;當(dāng)m 有2個公共點; (Ⅲ) 設(shè) 令. ,且 . 所以 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)函數(shù)(=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù),). (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間、最大值; (Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個數(shù). 【答案】解:(Ⅰ), 由,解得, 當(dāng)時,,單調(diào)遞減 所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是, 最大值為 (Ⅱ)令 (1)當(dāng)時,,則, 所以, 因為, 所以 因此在上單調(diào)遞增. (2)

18、當(dāng)時,當(dāng)時,,則, 所以, 因為,,又 所以 所以 因此在上單調(diào)遞減. 綜合(1)(2)可知 當(dāng)時,, 當(dāng),即時,沒有零點, 故關(guān)于的方程根的個數(shù)為0; 當(dāng),即時,只有一個零點, 故關(guān)于的方程根的個數(shù)為1; 當(dāng),即時, ①當(dāng)時,由(Ⅰ)知 要使,只需使,即; ②當(dāng)時,由(Ⅰ)知 ; 要使,只需使,即; 所以當(dāng)時,有兩個零點,故關(guān)于的方程根的個數(shù)為2; 綜上所述: 當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為0; 當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為1; 當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為2. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江

19、數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知,函數(shù) (1)求曲線在點處的切線方程;(2)當(dāng)時,求的最大值. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切線方程為:,即為:; (Ⅱ)由已知得到:,其中,當(dāng)時,, (1)當(dāng)時,,所以在上遞減,所以,因為; (2)當(dāng),即時,恒成立,所以在上遞增,所以,因為 ; (3)當(dāng),即時, ,且,即 2 + 0 - 0 + 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以,且 所以, 所以; 由,所以 (ⅰ)當(dāng)時,,所以時,遞增,時,遞減,所以,因為

20、,又因為,所以,所以,所以 (ⅱ)當(dāng)時,,所以,因為,此時,當(dāng)時,是大于零還是小于零不確定,所以 ① 當(dāng)時,,所以,所以此時; ② 當(dāng)時,,所以,所以此時 綜上所述:. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））已知函數(shù) (I)若時,,求的最小值; (II)設(shè)數(shù)列 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知函數(shù). (Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ) 證明: 對任意的t>0, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 設(shè)(Ⅱ)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為, 證明:

21、 當(dāng)時, 有. 【答案】 ．（2013年高考北京卷（理））設(shè)L為曲線C:在點(1,0)處的切線. (I)求L的方程; (II)證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線L的下方. 【答案】解: (I)設(shè),則.所以.所以L的方程為. (II)令,則除切點之外,曲線C在直線的下方等價于. 滿足,且. 當(dāng)時,,,所以,故單調(diào)遞減; 當(dāng)時,,,所以,故單調(diào)遞增. 所以,(). 所以除切點之外,曲線C在直線L的下方. 又解:即變形為,記,則, 所以當(dāng)時,,在(0,1)上單調(diào)遞減; 當(dāng)時,,在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以.)