天津市佳春中學中考數學復習 圖形運動過程中的臨界問題

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1、圖形運動過程中的臨界問題 一、題型特點 1.圖形位置不確定； 2.圖形運動具有連續(xù)性； 3.多以求某一變量的取值范圍或最值為主． 二、涉及的主要知識點 1.幾何作圖或畫函數圖象； 2.幾何計算； 3.方程或不等式（組）； 三、主要解題思路 1.通過畫圖（或示意圖）或直觀操作把問題直觀化； 2.確定運動的起始位置、終止位置或某些特殊位置，化動為靜； 3.計算臨界位置的相應結果，得到相應變量的取值范圍或最值． 四、例題講解 例1 在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5．如圖1所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A＇處，折痕為PQ，當點A＇在BC邊上移動時，折痕的端點P

2、、Q也隨之移動．若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則BA＇的取值范圍是 ． 圖3 圖2 圖1 分析：如圖2，解題由畫圖開始．點A＇在BC邊上移動，可首先使點A＇與點B重合，畫出相應的圖形，如圖2所示；再使點A＇與點C重合，畫出相應的圖形，如圖3所示，可知均不滿足條件，進而可得出，點P、Q的位置決定BA＇的取值范圍．當點P與點B重合時，如圖4所示，BA＇值再大，當點Q與點D重合時，如圖5所示，BA＇值再小，BA＇的取值范圍可求． 圖5 圖4 解：如圖4，當點P與點B重合時， BA＇=3． 如圖5，當點Q與點D重合時， DA

3、＇=5，CA＇=5，BA＇=1． 所以BA＇的取值范圍是1≤BA＇≤3. 例2 已知二次函數y = x2+2x+c． （1）當c＝－3時，求出該二次函數的圖象與x軸的交點坐標； 圖4 圖3 圖2 （2）若－2＜x＜1時，該二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍． 圖1 解：（1）略． （2）分析：從已知入手，畫出圖形．由函數的解析式y(tǒng) = x2+2x+c可以得出二次項系數是1，函數圖象的形狀確定，因為一次項系數是2，所以函數圖象的對稱軸確定是直線x=－1,故而可知該函數的圖象因常數項的變化而沿直線x=－1上下平移．又因為條件－2＜x

4、＜1可知，該二次函數的圖象如圖1所示．確定一種運動方式，不妨確定為從下向上運動．函數圖象與x軸的交點情況為0、1、2、1、0五種情況．確定臨界位置分別如圖2、圖3、圖4所示．分別把（1,0）、（－2,0）、（－1,0）代入函數的解析式可得出相應的c值，c的取值范圍可求． 解：（2）由（1,0）得，0 = 12+2×1+c， c = －3； 由（－2,0）得，0 = （－2）2+2×（－2）+c， c = 0； 由（－1,0）得，0 = （－1）2+2×（－1）+c， c =1. 所以c的取值范圍是－3＜c≤0或c =1. 圖3 例3如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，

5、3），動圓D經過A、O，分別與兩軸的正半軸交于點E、F，求直徑EF的范圍. 圖1 圖2 分析：要求直徑EF的范圍，就是求出EF的最大值與最小值．因為圖形位置不確定，找到圖形運動的臨界位置，畫出相應的圖形，化動為靜．由已知條件“動圓D經過A、O，分別與兩軸的正半軸交于點E、F”，可得出點E、F與點O重合是此題的兩個臨界位置（此時圓心D分別在x、y軸上）．畫出對應的圖形，如圖2、圖3所示．由已知條件動圓D經過A、O，可以確定圓心D在線段OA的垂直平分線上，以DO為半徑依次畫出規(guī)范的圖形，如圖4所

6、示，觀察EF的變化規(guī)律：當點F從圖2中的位置向圖3中的位置連續(xù)變化時，EF的大小變化是先由大變小，再由小變大，直觀得出圖3時最大，并猜想最小值在運動過程中的某處．進而猜想圓心D在線段OA上時，FE的值最小，如圖5.此猜想的證明如圖6，連接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，當OD+DA最小時，EF的值最小，又OD+DA≥OA，所以EF得最小值等于OA． 圖6 圖5 圖4 解：如圖5，易知OA=5．如圖3，求得EF=；如圖4，求得EF=.所以5≤EF＜. 五、練習題 1．如圖

7、，∠ABC=90°，O為射線BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作⊙O，若射線BA繞點B按順時針方向旋轉至，若與⊙O有公共點，則旋轉的角度（0° ＜＜180°）的范圍是 ． 2．已知二次函數y＝2x2＋4x－6．把二次函數y＝2x2＋4x－6的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結合這個新的圖象回答：當直線(b＜k)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍． 3．已知二次函數和一次函數，設二次函數的圖象與軸交于點（點在點的左側），將二次函數的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位后

8、得到的圖象記為，同時將直線向上平移個單位．請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象有公共點時，的取值范圍． A B C D P E 4.如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結PC， 過點P作PE⊥PC交AB于E當點P在AD上運動時，對應的點E也隨之在AB上運動，求BE的取值范圍． 5.在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF． （1）如圖，當點E與點B重

9、合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長； （2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經過的路線長． 備用圖 練習題參考答案: 1．60° ≤≤120° 2． 3． 4． ≤BE＜2 5．(1) (2) 說明: 例2是2012年北京市朝陽區(qū)九年級綜合練習（二）數學試卷第22題 ； 22．已知二次函數． （1）當c＝－3時，求出該二次函數的圖象與x軸的交點坐標； （2）若－2＜x＜1時，該二次函數的圖象與x軸有且只

10、有一個交點，求c的取值范圍． 22. 解：（1）由題意，得. 當時，. 解得，. ∴該二次函數的圖象與x軸的交點坐標為（－3,0），（1，0）. （2）拋物線的對稱軸為. ① 若拋物線與x軸只有一個交點，則交點為（－1，0）. 有，解得. ② 若拋物線與x軸有兩個交點，且滿足題意，則有 當時， ≤0， ∴≤0，解得≤0. 當時，， ∴，解得. ∴≤0. 綜上所述，c的取值范圍是或≤0. 練習2是由2009年北京市中考數學試卷第23題改編 原題及答案 23．已知關于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有實數根，k為正整數

11、． (1)求k的值； (2)當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y＝2x2＋4x＋k－1的圖象向下平移8個單位長度，求平移后的圖象的解析式； (3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結合這個新的圖象回答：當直線(b＜k)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍． 第23題圖 23．解：(1)由題意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3． ∵k為正整數，∴k＝1，2，3． (2)當k＝1時，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一個根為零； 當k＝2時，方程2x2＋4x＋k－1＝0無整數根；

12、 當k＝3時，方程2x2＋4x＋k－1＝0有兩個非零的整數根． 綜上所述，k＝1和k＝2不合題意，舍去；k＝3符合題意． 當k＝3時，二次函數為y＝2x2＋4x＋2，把它的圖象向下平移8個單位長度得到的圖象的解析式為y＝2x2＋4x－6． (3)設二次函數y＝2x2＋4x－6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A(－3，0)，B(1，0)． 依題意翻折后的圖象如圖所示． 第23題答圖 當直線經過A點時，可得； 當直線經過B點時，可得． 由圖象可知，符合題意的b(b＜3)的取值范圍為． 練習3是由2012年北京中考數學試卷第23題改編 原題及答案 23．已知二次函數

13、 在和時的函數值相等。 （1） 求二次函數的解析式； （2） 若一次函數的圖象與二次函數的圖象都經過點，求和的值； （3） 設二次函數的圖象與軸交于點（點在點的左側），將二次函數的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將（2）中得到的直線向上平移個單位。請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象有公共點時，的取值范圍。 23. 解：（1）由題意得. 解得. 二次函數的解析式為. （2）點在二次函數的圖象上， . 點的坐標為. 點在一次

14、函數的圖象上， . （3）由題意，可得點的坐標分別為. 平移后，點的對應點分別為 . 將直線平移后得到直線 . 如圖1，當直線經過 點時，圖象（點除外） 在該直線右側，可得； 如圖2，當直線經過 點時，圖象（點除外） 在該直線左側，可得. 由圖象可知，符合題意的的取值范圍是. 練習5是2012年北京市朝陽區(qū)九年級綜

15、合練習（一）數學試卷第25題（有改動），原題及答案如下: 25. 在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF． （1）如圖，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長； （2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答： ① ∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由； ② 直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經過的路線長． 備用圖 25. 解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2， ∴PB= ，． ∵， ∴． ∴． ∴ △ABP∽△DPC． ∴，即． ∴PC=2． （2）① ∠PEF的大小不變． 理由：過點F作FG⊥AD于點G． ∴四邊形ABFG是矩形． ∴． ∴GF=AB=2，． ∵， ∴． ∴． ∴ △APE∽△GFP. ∴． ∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=． 即tan∠PEF的值不變． ∴∠PEF的大小不變． ② .