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1、圖形運動過程中的臨界問題一、題型特點1.圖形位置不確定；2.圖形運動具有連續(xù)性；3.多以求某一變量的取值范圍或最值為主二、涉及的主要知識點1.幾何作圖或畫函數(shù)圖象；2.幾何計算；3.方程或不等式（組）；三、主要解題思路1.通過畫圖（或示意圖）或直觀操作把問題直觀化；2.確定運動的起始位置、終止位置或某些特殊位置，化動為靜；3.計算臨界位置的相應結果，得到相應變量的取值范圍或最值四、例題講解例1 在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5如圖1所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當點A在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則BA的取值
2、范圍是 圖3圖2圖1分析：如圖2，解題由畫圖開始點A在BC邊上移動，可首先使點A與點B重合，畫出相應的圖形，如圖2所示；再使點A與點C重合，畫出相應的圖形，如圖3所示，可知均不滿足條件，進而可得出，點P、Q的位置決定BA的取值范圍當點P與點B重合時，如圖4所示，BA值再大，當點Q與點D重合時，如圖5所示，BA值再小，BA的取值范圍可求圖5圖4 解：如圖4，當點P與點B重合時， BA=3如圖5，當點Q與點D重合時， DA=5，CA=5，BA=1所以BA的取值范圍是1BA3.例2 已知二次函數(shù)y = x2+2x+c（1）當c3時，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標；圖4圖3圖2（2）若2x1時，
3、該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍圖1解：（1）略（2）分析：從已知入手，畫出圖形由函數(shù)的解析式y(tǒng) = x2+2x+c可以得出二次項系數(shù)是1，函數(shù)圖象的形狀確定，因為一次項系數(shù)是2，所以函數(shù)圖象的對稱軸確定是直線x=1,故而可知該函數(shù)的圖象因常數(shù)項的變化而沿直線x=1上下平移又因為條件2x1可知，該二次函數(shù)的圖象如圖1所示確定一種運動方式，不妨確定為從下向上運動函數(shù)圖象與x軸的交點情況為0、1、2、1、0五種情況確定臨界位置分別如圖2、圖3、圖4所示分別把（1,0）、（2,0）、（1,0）代入函數(shù)的解析式可得出相應的c值，c的取值范圍可求解：（2）由（1,0）得，0 = 1
4、2+21+c， c = 3；由（2,0）得，0 = （2）2+2（2）+c， c = 0；由（1,0）得，0 = （1）2+2（1）+c， c =1.所以c的取值范圍是3c0或c =1.圖3例3如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，3），動圓D經(jīng)過A、O，分別與兩軸的正半軸交于點E、F，求直徑EF的范圍.圖1圖2 分析：要求直徑EF的范圍，就是求出EF的最大值與最小值因為圖形位置不確定，找到圖形運動的臨界位置，畫出相應的圖形，化動為靜由已知條件“動圓D經(jīng)過A、O，分別與兩軸的正半軸交于點E、F”，可得出點E、F與點O重合是此題的兩個臨界位置（此時圓心D分別在x、y軸上）畫出對應的圖形，
5、如圖2、圖3所示由已知條件動圓D經(jīng)過A、O，可以確定圓心D在線段OA的垂直平分線上，以DO為半徑依次畫出規(guī)范的圖形，如圖4所示，觀察EF的變化規(guī)律：當點F從圖2中的位置向圖3中的位置連續(xù)變化時，EF的大小變化是先由大變小，再由小變大，直觀得出圖3時最大，并猜想最小值在運動過程中的某處進而猜想圓心D在線段OA上時，F(xiàn)E的值最小，如圖5.此猜想的證明如圖6，連接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，當OD+DA最小時，EF的值最小，又OD+DAOA，所以EF得最小值等于OA圖6圖5圖4 解：如圖5，易知OA=5如圖3，求得EF=；如圖4，求得EF=.所以5EF.五、練習題1如圖，ABC=90，O為
6、射線BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作O，若射線BA繞點B按順時針方向旋轉至，若與O有公共點，則旋轉的角度（0 180）的范圍是 2已知二次函數(shù)y2x24x6把二次函數(shù)y2x24x6的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線(bk)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍3已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，設二次函數(shù)的圖象與軸交于點（點在點的左側），將二次函數(shù)的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將直線向上平移個單位請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象有公共點時，的取值范圍ABCDPE4.如圖，已知在矩形ABC
7、D中，AB2，BC3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結PC， 過點P作PEPC交AB于E當點P在AD上運動時，對應的點E也隨之在AB上運動，求BE的取值范圍5.在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF（1）如圖，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路線長備用圖練習題參考答案: 160 1202 34 B
8、E25(1) (2)說明:例2是2012年北京市朝陽區(qū)九年級綜合練習（二）數(shù)學試卷第22題 ；22已知二次函數(shù)（1）當c3時，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標；（2）若2x1時，該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍22. 解：（1）由題意，得.當時，.解得，.該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標為（3,0），（1，0）. （2）拋物線的對稱軸為. 若拋物線與x軸只有一個交點，則交點為（1，0）. 有，解得. 若拋物線與x軸有兩個交點，且滿足題意，則有 當時， 0， 0，解得0. 當時，解得. 0. 綜上所述，c的取值范圍是或0.練習2是由2009年北京市中考數(shù)學試卷第23題改
9、編原題及答案23已知關于x的一元二次方程2x24xk10有實數(shù)根，k為正整數(shù)(1)求k的值；(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關于x的二次函數(shù)y2x24xk1的圖象向下平移8個單位長度，求平移后的圖象的解析式；(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線(bk)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍第23題圖23解：(1)由題意得，168(k1)0k3k為正整數(shù)，k1，2，3(2)當k1時，方程2x24xk10有一個根為零；當k2時，方程2x24xk10無整數(shù)根；當k3時，方程2x24xk
10、10有兩個非零的整數(shù)根綜上所述，k1和k2不合題意，舍去；k3符合題意當k3時，二次函數(shù)為y2x24x2，把它的圖象向下平移8個單位長度得到的圖象的解析式為y2x24x6(3)設二次函數(shù)y2x24x6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A(3，0)，B(1，0)依題意翻折后的圖象如圖所示第23題答圖當直線經(jīng)過A點時，可得；當直線經(jīng)過B點時，可得由圖象可知，符合題意的b(b3)的取值范圍為練習3是由2012年北京中考數(shù)學試卷第23題改編原題及答案23已知二次函數(shù) 在和時的函數(shù)值相等。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，求和的值；（3） 設二次函數(shù)的圖象與軸交于
11、點（點在點的左側），將二次函數(shù)的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將（2）中得到的直線向上平移個單位。請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象有公共點時，的取值范圍。23. 解：（1）由題意得. 解得. 二次函數(shù)的解析式為. （2）點在二次函數(shù)的圖象上， . 點的坐標為. 點在一次函數(shù)的圖象上， . （3）由題意，可得點的坐標分別為. 平移后，點的對應點分別為 . 將直線平移后得到直線 . 如圖1，當直線經(jīng)過 點時，圖象（點除外） 在該直線右側，可得； 如圖2，當直線經(jīng)過 點時，圖象（點除外） 在該直線左側，可得. 由圖象可知，符合題意的的取值范圍是.練習5是2012
12、年北京市朝陽區(qū)九年級綜合練習（一）數(shù)學試卷第25題（有改動），原題及答案如下:25. 在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF（1）如圖，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答： PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由； 直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路線長備用圖25. 解：（1）在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，PB= ， ABPDPC，即PC=2 （2） PEF的大小不變理由：過點F作FGAD于點G四邊形ABFG是矩形GF=AB=2， APEGFP.在RtEPF中，tanPEF=即tanPEF的值不變PEF的大小不變 .
天津市佳春中學中考數(shù)學復習 圖形運動過程中的臨界問題
