【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案36　基本不等式及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 自主梳理 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：____________. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)取等號． 2．幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)． (2)＋≥____(a，b同號)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)2____. 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為________，幾何平均數(shù)為________，基本不等式可敘述為：

2、________________________________________________. 4．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，x＋y有最____值是________(簡記：積定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，xy有最____值是__________(簡記：和定積最大)． 自我檢測 1．“a>b>0”是“ab<”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．(2011·南平月考)已知函

3、數(shù)f(x)＝x，a、b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A、B、C的大小關(guān)系是(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 3．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(00，≤a恒成立，則a的取值范圍為________________． 探究點(diǎn)一　利用基本不

4、等式求最值 例1　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值； (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 變式遷移1　(2011·重慶)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 探究點(diǎn)二　基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用 例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(1＋)(1＋)≥9. 變式遷移2　已知x>0，y>0，z>0. 求證：≥8.

5、 探究點(diǎn)三　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3　(2011·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2 160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)． (1)寫出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式； (2)該樓房應(yīng)建造多少層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？ (注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝) 變式遷移3　(2011·廣州月考)某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額

6、，擬在2012年英國倫敦奧運(yùn)會期間進(jìn)行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)t萬元之間滿足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完． (1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費(fèi)t(萬元)的函數(shù)． (2)該企業(yè)2012年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大？ (注：利潤＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用＋生產(chǎn)

7、費(fèi)用) 1．a(chǎn)2＋b2≥2ab對a、b∈R都成立；≥成立的條件是a，b∈R＋；＋≥2成立的條件是ab>0，即a，b同號． 2．利用基本不等式求最值必須滿足一正、二定、三相等三個(gè)條件，并且和為定值時(shí)，積有最大值，積為定值時(shí)，和有最小值． 3．使用基本不等式求最值時(shí)，若等號不成立，應(yīng)改用單調(diào)性法．一般地函數(shù)y＝ax＋，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b>0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)；當(dāng)a>0，b>0時(shí)函數(shù)在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，可作如下變形：y＝－來解

8、決最值問題． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為(　　) A．8 B．4 C．1 D. 2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)≥9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 4．一批貨物隨17列貨車從A市以a km/h的速度勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長400 km，為了安全，兩列車之間的距離不得小

9、于2 km，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要(　　) A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h 5．(2011·寧波月考)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D．4 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·浙江)若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 7．(2011·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)＝的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的最小值是________． 8．

10、已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為__________________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(1)已知00)． (1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量y最大？最大車流量為多少？ (2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量

11、至少為10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 11．(14分)某加工廠需定期購買原材料，已知每千克原材料的價(jià)格為1.5元，每次購買原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元，每千克原材料每天的保管費(fèi)用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400千克，每次購買的原材料當(dāng)天即開始使用(即有400千克不需要保管)． (1)設(shè)該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最小，并求出這個(gè)最小值．

12、 學(xué)案36　基本不等式及其應(yīng)用 自主梳理 1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　2.(1)2ab　(2)2　(4)≤ 3.　　兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)　4.(1)x＝y(tǒng)　小　2　(2)x＝y(tǒng)　大　 自我檢測 1．A　2.A　3.C 4．大?。?－1　5.[，＋∞) 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化，使用基本不等式求最值時(shí)，給定的形式不一定能直接適合基本不等式，往往需要拆添項(xiàng)或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式)，構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解．基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必須驗(yàn)證等號成立

13、的條件． 解　(1)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y) ＝＋＋10≥6＋10＝16. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，上式等號成立，又＋＝1， ∴x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16. (2)∵x<，∴5－4x>0. y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2 ＋3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝， 即x＝1時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1. (3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy， ∴＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋ ＝10＋2 ≥10＋2×2× ＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)取等號． 又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6. ∴當(dāng)x

14、＝12，y＝6時(shí)，x＋y取最小值18. 變式遷移1　C　[∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a時(shí)，“＝”成立)，故y＝＋的最小值為.] 例2　解題導(dǎo)引　“1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用到，也會給解決問題提供簡捷的方法． 在不等式證明時(shí)，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法． 證明　方法一　因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋. 同理1＋＝2＋. 所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) ＝5＋2(＋)≥5＋4＝9. 所以(1＋)(1＋)≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號成立)．

15、 方法二　(1＋)(1＋)＝1＋＋＋ ＝1＋＋＝1＋， 因?yàn)閍，b為正數(shù)，a＋b＝1， 所以ab≤()2＝，于是≥4，≥8， 因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號成立)． 變式遷移2　證明　∵x>0，y>0，z>0， ∴＋≥>0， ＋≥>0， ＋≥>0. ∴ ≥＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號成立． 所以(＋)(＋)(＋)≥8. 例3　解題導(dǎo)引　1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序?yàn)椋? →→→→ 2．在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：(1)先理解題意，設(shè)變量，一般把要求最值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象

16、為函數(shù)最值問題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值；(4)正確寫出答案． 解　(1)依題意得 y＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N*)． (2)∵x>0，∴48x＋ ≥2＝1 440， 當(dāng)且僅當(dāng)48x＝，即x＝15時(shí)取到“＝”， 此時(shí)，平均綜合費(fèi)用的最小值為560＋1 440＝2 000(元)． 答　當(dāng)該樓房建造15層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2 000元． 變式遷移3　解　(1)由題意可設(shè)3－x＝， 將t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－. 當(dāng)年生產(chǎn)x萬件時(shí)， ∵年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費(fèi)用＋固定費(fèi)用， ∴年生產(chǎn)成本為32x＋

17、3＝32＋3. 當(dāng)銷售x(萬件)時(shí)，年銷售收入為 150%＋t. 由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完，由年利潤＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)，得年利潤y＝ (t≥0)． (2)y＝＝50－ ≤50－2＝50－2＝42(萬元)， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝7時(shí)，ymax＝42， ∴當(dāng)促銷費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大． 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[因?yàn)?a·3b＝3，所以a＋b＝1， ＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝即a＝b＝時(shí)，“＝”成立．] 2．B　[不等式(x＋y)≥9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9， ∴≥2或≤－4(舍去)． ∴正實(shí)

18、數(shù)a的最小值為4.] 3．C　[因?yàn)椋?≥2＋2 ＝2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝且 ＝， 即a＝b＝1時(shí)，取“＝”號．] 4．B　[第一列貨車到達(dá)B市的時(shí)間為 h，由于兩列貨車的間距不得小于2 km，所以第17列貨車到達(dá)時(shí)間為＋＝＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝100 km/h時(shí)成立，所以最快需要8 h．] 5．A 6．18 解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”)， 即()2－2－6≥0， ∴(－3)·(＋)≥0. 又∵>0，∴≥3，即xy≥18. 故xy的最小值為18. 7．4 解析　過原點(diǎn)的直線與f(x)＝交于P、Q兩點(diǎn)，

19、則直線的斜率k>0，設(shè)直線方程為y＝kx，由得或 ∴P(，)，Q(－，－)或P(－，－)，Q(，)． ∴|PQ|＝ ＝2≥4. 8．(－∞，2－1) 解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2，∴k＋1<2，k<2－1. 9．解　(1)∵0

20、當(dāng)且僅當(dāng)即x＝，y＝時(shí)，“＝”成立． ∴當(dāng)x＝，y＝時(shí)，2x＋4y的最小值為4. (12分) 10．解　(1)y＝＝≤ ＝≈11.08.(4分) 當(dāng)v＝，即v＝40千米/小時(shí)時(shí)，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時(shí)(6分) (2)據(jù)題意有≥10，(8分) 化簡得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0， 所以25≤v≤64. 所以汽車的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個(gè)范圍內(nèi)． (12分) 11．解　(1)每次購買原材料后，當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管費(fèi)，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天

21、用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天． ∴每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用 y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)] ＝6x2－6x.(6分) (2)由(1)可知，購買一次原材料的總費(fèi)用為6x2－6x＋600＋1.5×400x， ∴購買一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用為 y＝(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝＋6x＋594.(9分) ∴y≥2＋594＝714，(12分) 當(dāng)且僅當(dāng)＝6x，即x＝10時(shí)，取等號． ∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費(fèi)用y最小，且最小為714元．(14分) 10