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1、12函數及其表示,12.1函數的概念,1設在一個變化過程中有兩個變量x，y，如果對于x的每一個值，y都有確定的值與它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量,唯一,答案：(1)是(2)不是,3下面我們用集合與對應的觀點來研究函數，先閱讀教材P1516，再回答問題 設A、B是，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數記作，其中x叫做 ， 叫做函數的定義域，與x的值相對應的y值叫做 ，函數值的集合叫做函數的值域,非空數集,任意一個數x,唯一,yf(x),自變量,A,函數值,y|yf(x)，xA,4函數的定義域
2、是使函數有意義的自變量x的取值集合，值域是函數值的集合 (1)一次函數ykxb(k0)的定義域為； 值域為.,R,R,(5)當函數是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義； 一種練習本的單價為0.6元，買本子的個數x與應付錢數y之間的函數關系為，其中x的允許取值范圍是.,y0.6x,xN,5如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，那么就稱這兩個函數相等 (1)只要兩個函數的定義域相同，對應法則相同，其值域就 故判斷兩個函數是否相等時，一看定義域，二看對應法則 如y1與y 不是相等函數，因為y3t4與y3x4是相等函數 (2)求函數的定義域，一般是轉化為解不
3、等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示,一定相同,定義域不同,6閱讀教材P17填表.,a
4、是否相等，只要看這兩個函數的定義域與對應法則是否相同,yf(x)中f為對應法則，當情況比較簡單時，對應法則f可用一個解析式來表示但在有些問題中，對應法則f也可能不便用或不能用一個解析式來表示，這時就必須采用其他方式，如數表或圖象等 函數符號“yf(x)”是“y是x的函數”的數學表示，僅僅是函數符號，不是表示“y等于f與x的乘積”，f(x)也不一定是解析式符號f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯系，f(a)表示當自變量xa時函數f(x)的值，而f(x)是自變量x的函數一般情況下，f(x)是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值,(二)復合函數定義域的求法 已知f(x)定義域為A，求f((x))定義
5、域，應使(x)A；已知f((x))定義域為A，求f(x)定義域，即求當xA時，(x)的值域,分析(1)據函數的定義：“對于集合A中的任意一個元素，在集合B中有唯一確定的元素與之對應”進行判斷 (2)給定函數的解析式，也就給定了由定義域到值域的對應法則，只要將自變量允許值代入，就可以求得對應的函數值,總結評述：判斷由一個式子是否能確定y是x的函數的程序是：對于由式子有意義所確定的x的取值集合中任一個x的值，由式子是否可確定唯一的一個y的值與之對應，也可以看由式子解出x的解析式是否唯一,(1)已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，在下列A到B的四種對應關系中，能確定A到B的函數關系的個數是 ()
6、 A1 B2 C3 D4,解析(1)能確定A到B的函數關系，它們都滿足對于A中每一個元素，在B中有惟一元素與之對應且A，B都是非空數集；都不能確定A到B的函數關系的集合A中元素4在B中無對應元素；的集合A中元素3，在B中有兩個元素與之對應，故選B.,分析確定兩個函數是否相等，要緊緊抓住函數的定義域和對應法則根據函數的定義可知，定義域中的每一個x都有唯一的y與它對應，所以值域實際上是由定義域和對應法則確定，因此，兩個函數只要定義域和對應法則分別相同，它們就是相等函數,解析中f(x)x1，xR，而yxx0中x0，它們的定義域不相同，所以不是相等函數 中兩個函數的定義域都是R，并且f(x) |2x1
7、|，所以它們是相等函數 中f(n)2n1(nZ)與g(n)2n1(nZ)的定義域都是Z，值域也相同(都是奇數集)，但對應法則不同，所以不是相等函數 中f(x)3x2與g(t)3t2的定義域都是R，盡管它們表示自變量的字母不同，但是，對應法則都是“乘3加2”，是相同的對應法則，所以是相等函數 故填.,總結評述：從函數的概念可知，函數有定義域、值域、對應法則三要素，其中，定義域是前提，對應法則是核心，值域是由定義域和對應法則確定的因此， 1)當兩個函數的定義域不同或對應法則不同，它們就不是同一個函數只有當定義域和對應法則都相同時它們才是相等函數 2)對應法則f是函數關系的本質特征，要深刻理解，準確
8、把握，它的核心是“法則”通俗地說，就是給出了一個自變量后的一種“算法”，至于這個自變量是用x還是用t或者別的符號表示，那不是“法則”的本質，因此，對應法則與自變量所用的符號無關,3)從本題我們也得到這樣的啟示：在對函數關系變形或化簡時，一定要注意使函數的定義域保持不變，否則，就變成了不同的函數這也正說明了函數的定義域是函數不可忽視的一個重要組成部分例如f(x)x2x(x1)，f(3)3236，但f(1)是無意義的，不能得出f(1)(1)2(1)2，因為只有當x取定義域1，)內的值時，才能按這個法則x2x進行計算,解析要使函數有意義，只要x25x60，即(x2)(x3)0，2x3. 故函數的定義
9、域為x|2x3,答案xR且x1，x2,例4某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元 (1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ (2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？,周長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如右圖所示)若矩形底邊長為2x，求此框架圍成圖形的面積y關于x的函數，并求出定義域,例5設yf(x)的定義域是0,2，求下列函數的定義域 (1)f(x3)；(2)f(|2x1|
10、)；(3)f(xa)f(xa)(0
11、些特殊值時一定成立，故解決這類問題可用賦值法，通過賦值產生已知條件式和待求解的結論式使之建立聯系,例7某農戶計劃建筑一矩形羊圈，現有可作為圍墻的材料總長度為100米，求羊圈的面積S與長x的函數關系式 錯解設羊圈的長為x米，則寬為(50 x)米，由題意得，Sx(50 x)， 故函數關系式為Sx(50 x) 辨析解題到此為止，則本題的函數關系式還不完整，缺少自變量x的范圍，也就是說解題思路不夠嚴密,正解設羊圈的長為x米，則寬為(50 x)米，由題意得，Sx(50 x)， 因為羊圈的長和寬都不能小于等于零，也就是羊圈的面積應為正數， 故函數關系式為Sx(50 x)(0
12、下列從A到B的對應： AN，B0,1，對應關系是：A中的元素除以2所得的余數 A0,1,2，B4,1,0，對應關系是f：xyx2 其中表示從集合A到集合B的函數有()個 () A1 B2 C3 D0,答案B 解析由于中，0這個元素在B中無對應元素，故不是函數，因此選B.,2已知xA，yB，在以下的對應中，y不是x的函數的是(如下圖) (),答案A 解析在A圖中，集合A中元素1在集合B中有兩個元素1和1與之對應，故y不是x的函數,3下列各圖中，不可能表示函數yf(x)的圖象的是 (),答案B 解析B圖中，作垂直于x軸的直線，與圖形可以有兩個交點，故存在x，有兩個y值與之對應，故B圖y不是x的函數,4Ax|0 x2，By|1y2，下列圖形中能表示以A為定義域，B為值域的函數的是 (),答案B 解析A、C、D的值域都不是1,2，故選B.,5某種細胞分裂時，每次分裂由1個分裂為2個，2個分裂為4個一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞的個數y與x的函數關系式為 () Ay2xBy2x Cy4x Dyx4 答案B,答案A,
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