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1、馬爾可夫鏈理論和Monte Carlo 取樣的實(shí)現(xiàn),Monte Carlo 取樣不直接使用 P(X) ,而是以某種方式取樣, 大量的樣本最終符合所需的分布. Monte Carlo利用轉(zhuǎn)移矩陣 , 從當(dāng)前 x 生成一個(gè)狀態(tài) y .,馬爾可夫鏈和Monte Carlo,馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)簡單的隨機(jī)過程, 給定轉(zhuǎn)移矩陣 W,可以得到平衡分布 P. Monte Carlo 是馬爾可夫鏈的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn). Monte Carlo中, P 給定, 我們需要尋找 W 使得 P = P W.,各態(tài)歷經(jīng) 對所有 n nmax, 所有 x 和 x 細(xì)致平衡,馬爾可夫鏈的收斂條件(充要),證明 考慮很多個(gè)平行的
2、Markov鏈, 在一個(gè)給定的某一步, 有Nr個(gè)鏈處于第r個(gè)態(tài), Ns個(gè)鏈處于第s個(gè)態(tài). 于是在下一步從r態(tài)到s態(tài)的數(shù)目為 從s態(tài)到r態(tài)的數(shù)目為 從r態(tài)到s態(tài)的凈轉(zhuǎn)移的數(shù)目為,若w( xr! xs)滿足細(xì)致平衡條件, 則上式成為 這是一個(gè)十分重要的結(jié)果, 上式表明, 如果二個(gè)狀態(tài)之間 不滿足分布P, 則這一Markov 過程的演化結(jié)果將總是 使其趨于滿足. 這樣, 就證明了我們的論斷.,Metropolis 算法 (1953),Metropolis 算法取 T 為一個(gè)對稱的轉(zhuǎn)移矩陣,The Paper (7500 citations from 1988 to 2003),THE JO
3、URNAL OF CHEMICAL PHYSICS VOLUME 21, NUMBER 6 JUNE, 1953,Equation of State Calculations by Fast Computing Machines,NICHOLAS METROPOLIS, ARIANNA W. ROSENBLUTH, MARSHALL N. ROSENBLUTH, AND AUGUSTA H. TELLER, Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, New Mexico AND EDWARD TELLER, * Department of P
4、hysics, University of Chicago, Chicago, Illinois (Received March 6, 1953) A general method, suitable for fast computing machines, for investigating such properties as equations of state for substances consisting of interacting individual molecules is described. The method consists of a modified Mon
5、te Carlo integration over configuration space. Results for the two-dimensional rigid-sphere system have been obtained on the Los Alamos MANIAC and are presented here. These results are compared to the free volume equation of state and to a four-term virial coefficient expansion.,1087,The Calculation
6、,Number of particles N = 224 Monte Carlo sweep 60 Each sweep took 3 minutes on MANIAC Each data point took 5 hours,MANIAC the Computer and the Man,Seated is Nick Metropolis, the background is the MANIAC vacuum tube computer,正則分布的抽樣方法: 選擇一個(gè)滿足細(xì)致平衡條件的轉(zhuǎn)移幾率; 產(chǎn)生一個(gè)Markov 鏈, 丟掉鏈的前而面M個(gè)狀態(tài); 用其余狀態(tài)進(jìn)行物理量的計(jì)算. 考慮從r
7、態(tài)到s態(tài)的轉(zhuǎn)移, 若二狀態(tài)的能量差為 則:,當(dāng)年Metropolis 選擇 :,目前常用的另一種選擇是: 應(yīng)當(dāng)注意的是, w的選擇并不唯一, 只要滿足細(xì)致平衡條件的要求即可, 但不同的w收斂速度往往差別很大, 如何選擇合適的w以達(dá)到盡可能快的收斂速度和盡可能高的計(jì)算精度仍然是當(dāng)前Monte Carlo算法研究的前沿課題之一.,The Ising Model,,,,,,,,,,,,,-,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,The energy of configuration s is E(
8、s) = - J si sj where i and j run over a lattice, denotes nearest neighbors, s = 1,s = s1, s2, , si, ,例題, Ising模型的模擬 Ising 模型: 式中J稱為交換積分, h為外場, si 可取值(1, -1), 稱為自旋變量. Ising 模型是最簡單的非平庸統(tǒng)計(jì)物理模型, 它是由德國物理學(xué)家 Lenz 在二十年代提出的, 這一模型可用來描述單軸各向異性磁性系統(tǒng), 合金等物理體系, 同時(shí)也是一個(gè)十分有興趣的理論模型.,例題, Ising模型的模擬 Ising 最早給出了這一模型在一維情況下的
9、嚴(yán)格解, 證明了在一維下這一模型不存在相變. Onsager 于1944 年做出了零場下這一模型在二維空間的嚴(yán)格解并計(jì)算了它的相變溫度, 比熱在相變點(diǎn)的行為等熱力學(xué)量. 楊振寧在1952 年解出了外場很小時(shí)二維空間的 Ising 模型, 求出了序參量的臨界行為.,由于對這一模型的很多形為目前了解的比較透徹, 因此它經(jīng)常被用來做為檢驗(yàn)各種數(shù)值方法或解析近似方法的標(biāo)準(zhǔn).,1969年，A. E. Ferdinand和M. E. Fisher求得了有限尺寸2D Ising 模型在周期性邊界條件下的嚴(yán)格解，成為檢驗(yàn)?zāi)M結(jié)果的一個(gè)有效標(biāo)準(zhǔn)。,感興趣的物理量,平均能量 比熱，利用下面的公式: 3.磁化 =
10、,磁化率 5.Binder 4 階累積量 自旋相關(guān)函數(shù) 時(shí)間相關(guān)函數(shù),2D Ising 模型的比熱,From D P Landau, Phys Rev B 13 (1976) 2997.,一個(gè)算法 選擇一個(gè)格點(diǎn) i, 其自旋將考慮作翻轉(zhuǎn) si! -si. 計(jì)算與此翻轉(zhuǎn)相聯(lián)系的能量變化 H. 計(jì)算這一翻轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移幾率 w. 產(chǎn)生一在 0,1 之間均勻分布的隨機(jī)數(shù) . 如果
11、)為系統(tǒng)的哈密頓量, 則平均每個(gè)粒子的能量 hEi為:,比熱是一個(gè)強(qiáng)度量, 由此可以推斷: 自平均效應(yīng). 當(dāng)系統(tǒng)的尺度趨于無限時(shí), 其漲落趨于0!,有限尺寸標(biāo)度與相變,這實(shí)際上是中心極限定理的一個(gè)結(jié)果. 考慮把系統(tǒng)分成一些小的系統(tǒng), 小系統(tǒng)之間的相互作用可以忽略時(shí)(這總可以做到?!), 就是一系列獨(dú)立, 同分布的樣本, 從而中心極限定理成立.,由此, 能量的分布可以寫為:,P(E), N=1, 5, 10, 20 , 30 h E i =1 KB T2 c=1,分布寬度 / 1/N1/2,Ising 模型:,平均磁化: 自發(fā)磁化: 注意求極限的順序!!,有限尺寸標(biāo)度與相變,由于Ising模型
12、的哈密頓量在h=0時(shí)具有 Si $ Si 的對稱性, 所以, 如果先取h=0, 則得不到自發(fā)磁化. 自發(fā)磁化是熱力學(xué)極限下的產(chǎn)物, 由各態(tài)歷經(jīng)破壞而得到.,有限尺寸標(biāo)度與相變,由于: 磁化率:,有限尺寸標(biāo)度與相變,由此: 基于在討論能量時(shí)的同樣的分析, 我們得到序參量(磁化)的分布.,當(dāng)h=0時(shí), 由于對稱性, M和-M是對稱的. 在臨界溫度以上, M=0, 所以,當(dāng)T
13、, 如果直接計(jì)算 h S i, 則在任何溫度都得到的是0!! 注意到自平均效應(yīng), 有下述結(jié)果:,可以使用上述任何一種進(jìn)行計(jì)算, 然后外推到N ! 1.,有限尺寸標(biāo)度與相變,磁化隨MCS的變化，有限系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)演示。2D Ising 模型，L64,有限尺寸標(biāo)度與相變,相變點(diǎn)會發(fā)生什么? 在二級相變點(diǎn)(現(xiàn)一般稱為臨界點(diǎn), 二級相變也稱為連續(xù)相變), 系統(tǒng)的比熱, 磁化率等物理量發(fā)散, 發(fā)散的根源在于相關(guān)長度發(fā)散. 這樣, 前面的分析將不再成立.,在臨界點(diǎn), 熱力學(xué)量具有很有趣的標(biāo)度行為: 以單軸各向異性磁體為例(理論上近似以Ising模型描述). 在T! Tc 時(shí), 引進(jìn)約化溫度:,有限尺寸標(biāo)度
14、與相變,比熱: 磁化率:,自發(fā)磁化:,關(guān)聯(lián)長度:,當(dāng)t=0時(shí), 磁化與外場之間有:,有限尺寸標(biāo)度與相變,, , , , 稱為臨界指數(shù), 是反映臨界點(diǎn)本質(zhì)的量. 這些指數(shù)的來源與關(guān)聯(lián)長度的發(fā)散有關(guān). 還有一個(gè)指數(shù), 這里不做介紹.,當(dāng)系統(tǒng)有限時(shí), 不會有發(fā)散! Monte Carlo只能計(jì)算有限體系, 如何從Monte Carlo計(jì)算獲得相變和臨界現(xiàn)象的信息?,有限尺寸標(biāo)度與相變,如何找臨界點(diǎn)? 如何算臨界指數(shù)指數(shù)? 為此, 我們考慮有限體系的標(biāo)度理論.,基本出發(fā)點(diǎn): 設(shè)有限系統(tǒng)的線度為L, 則關(guān)聯(lián)長度最多為L, < L; 發(fā)散的物理量不再發(fā)散, 而是寬度為T 的峰.,有限尺寸
15、標(biāo)度與相變,TTC 時(shí)的序參量分布,序參量的有限尺寸效應(yīng),有限尺寸標(biāo)度與相變,磁化率的有限尺寸效應(yīng),T TC 時(shí)的序參量分布,T
16、ift of Tc,From A M Ferrenberg and D P Landau, Phys Rev B 44 (1991) 5081,Accurate Exponent Ratio,From J S Wang, R H Swendsen, and R Koteck, Phys Rev. B, 42 (1990) 2465.,有限尺寸標(biāo)度與相變,Binder 累積量:,性質(zhì)1: T , 遠(yuǎn)離臨界區(qū)域,有限尺寸標(biāo)度與相變,性質(zhì)2: T Tc, L, 遠(yuǎn)離臨界區(qū)域,有限尺寸標(biāo)度與相變,性質(zhì)3: T Tc, L<<, 在臨界區(qū)域,U* 是一個(gè)與L關(guān)系很小的普適值.,應(yīng)用: 確定Tc, 對不同的L計(jì)算UL, 對各種對(L, L), 計(jì)算比值 UL/UL, 并對T作圖, 這些比值的曲線將交于一點(diǎn), Tc,由此方法可以非常精確地定出臨界溫度. 對于一級相變, UL 也很有用.,證明: 在臨界區(qū)域, 由于L<<, 所以前面給出的分布失效. 這里的關(guān)鍵假定是 做為 L, S, (對應(yīng)于溫度)函數(shù)的P(S)實(shí)際上只是兩個(gè)變量的函數(shù).,有限尺寸標(biāo)度與相變,計(jì)算二階和四階距:,有限尺寸標(biāo)度與相變,類似的有:,于是:,有限尺寸標(biāo)度與相變,Binder累積量的尺寸效應(yīng)確定TC的方法,有限尺寸標(biāo)度與相變,不同方法計(jì)算自發(fā)磁化，外推到無限大系統(tǒng)時(shí)，趨于同一個(gè)值。,
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