2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件1 新人教A版選修2-2.ppt

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1、2.1.1 合情推理,天空烏云密布，你能得出什么推斷？,推理無處不在 引例1,根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫推理.,,推理,1.銅,鐵,鋁,金,銀等金屬能導(dǎo)電,由此得一切金屬都能導(dǎo)電. 2.三角形的內(nèi)角和是180,四邊形的內(nèi)角和是360,五邊形的內(nèi)角和是540,由此得n邊形的內(nèi)角和是(n-2)180. 3.一個數(shù)列的前4項分別是2,4,6,8,由此得這個數(shù)列的通項公式為2n.,一、歸納推理,觀察下列推理的例子,哥德巴赫猜想:,,10 37 20 317 30 1317,,,問題1:以上推理有什么特點?,特點:由部分到整體,由個別到一般的推理.,歸納推理:,由某類事物的

2、部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論 . 的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).,歸：歸結(jié)。納：總結(jié).,例1: 觀察下列的等式,你有什么猜想嗎?,,1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ,由此猜想:前n個連續(xù)的奇數(shù)的和 等于n的平方,即: 1+3+5++(2n-1)=n2,告訴我們考試如何考？不管是會考還是高考。,如果改成2n+1呢？,,,觀察可得：數(shù)列的前4項都等于相應(yīng)項數(shù)的倒數(shù).,可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想是正確的.,,,,,,問題2:由歸納推理得到的結(jié)論是否一定

3、可靠?,,都是質(zhì)數(shù).,同學(xué)們看，歐拉的計算能力歷史上有名，在當(dāng)時沒有計算機、計算器，全靠一支筆，歐拉就把它算出來了.,從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.,他的思路是這樣的：,茅草是齒形的；,茅草能割破手.,我需要一種能割斷木頭的工具；,它也可以是齒形的.,這個推理過程是歸納推理嗎？,引例2,除了歸納,人們在 創(chuàng)造發(fā)明中，經(jīng) 常應(yīng)用類比.,類：同類. 比：比較.,二、類比推理,火星與地球類比的思維過程：,火星,地球,,,,存在類似特征,,同學(xué)們，雖然人類沒有到達火星，但航天器已經(jīng)到達.美國

4、人覺得所有地球人不是他對手，所以去開辟太空.美國人有個優(yōu)點，人民自己不會跟自己斗，中國人是窩里斗.并且斗過來斗過去越斗越有精神.為什么人民在斗？因為官員在斗.柏楊寫的書丑陋的中國人，他說中國文化是醬缸文化.,由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）,類比推理的定義:,簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理,試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì).,,猜想不等式的性質(zhì)：,,,,,問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？,以下類比同時說明考試如何考.,例3：類比實數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運算性質(zhì).,,,,,由平面內(nèi)的圓，我們聯(lián)想到

5、空間里的球，讓他們來類比你能找到他們有 哪些類似的特征？,例4:試將平面上的圓與空間的球進行類比.,解：圓與球在它們的的生成、形狀、定義等方面都具有相似的屬性.,據(jù)此，圓與球的相關(guān)元素之間可建立如下的對應(yīng)關(guān)系：,圓 弦 直徑周長 面積,球,,,,截面圓,表面積,體積,等等，于是根據(jù)圓的性質(zhì)，可以猜測球的性質(zhì) 如下表：,球心與截面圓(不是大圓)的圓心的連線垂直于截面圓,與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大,球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點,經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心,類比推理舉例,構(gòu)成幾何體的元素數(shù)目：四面體

6、 三角形,,四面體由四個面圍成，它是空間中數(shù)目最少的基本元素（平面）圍成的封閉幾何體；在平面內(nèi)，兩條直線不能圍成一個封閉的圖形，而3條直線可以圍成一個三角形，即三角形是平面內(nèi)數(shù)目最少的基本元素（直線）圍成的封閉圖形。,探究：你認為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對象？,例5 ：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試 給出空間中四面體性質(zhì)的猜想,我們要根據(jù)實際情況選擇適當(dāng)?shù)念惐葘ο笕纾?平面,空間,正方形,正方體,圓,球,三角形,三棱錐,還有向量與數(shù)、 無限與有限、 不等與相等類比.,類比推理的結(jié)論一定可靠嗎？,“平面內(nèi)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形” “平面內(nèi)，同時垂直于一條

7、直線的兩條直線互相平行”,“空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形” “空間中，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行”,數(shù)學(xué)家波利亞說，類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中類比問題。 開普勒說，我珍視類比勝于任何東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密。,同學(xué)們注意，教材答案不好。對于第二個類比，因為直線類比平面，所以類比結(jié)果是：在空間中，同時垂直于一個平面的兩個平面互相平行。,類比為什么是錯誤的？原因是在平面內(nèi)不能做的事情在空間可以做，那就是在空間中可以干折疊、旋轉(zhuǎn)。,三、 合情推理,歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再

8、進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。,通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。,合情推理的應(yīng)用,數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。,證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向,法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說，即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。,例6.這是一個古老的漢諾塔游戲。有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上. 1.每次只能移動一個金屬片; 2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面. 試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?,,,,,,,,,n=1時,,,,,,,n=2時,,n=1時,,,,,,,,n=3時,,n=2時,,n=1時,,,,,,n=2時,,n=1時,,n=3時,,,,,,n=4時,,n=3時,,n=2時,,n=1時,,同學(xué)們，雖然覺得移動金屬片會變幻無窮，雜亂無章，毫無規(guī)律，一頭亂碼，但仔細分析會容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。只要靜下心來，不被表面現(xiàn)象嚇倒。,n=4時,,n=3時,,n=2時,,n=1時,,歸納:,類比推理,由特殊到特殊的推理;,以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果；,歸納推理,由部分到整體、特殊到一般的推理;,以觀察分析為基礎(chǔ),推測新的結(jié)論;,具有發(fā)現(xiàn)的功能;,結(jié)論不一定成立.,,具有發(fā)現(xiàn)的功能;,課堂小結(jié),,