小學(xué)三年級(jí)校本教材系列《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》

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1、校本教材系列-----數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練（三年級(jí)） 第1講等差數(shù)列 　　1、下面是按規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，問其中的第1995項(xiàng)是多少？ 　　解答：2、5、8、11、14、……。 從規(guī)律看出：這是一個(gè)等差數(shù)列，且首項(xiàng)是2，公差是3， 這樣第1995項(xiàng)=2＋3（1995－1）=5984 　　2、在從1開始的自然數(shù)中，第100個(gè)不能被3除盡的數(shù)是多少？ 　　解答：我們發(fā)現(xiàn)：1、2、3、4、5、6、7、……中，從1開始每三個(gè)數(shù)一組，每組前2個(gè)不能被3除盡，2個(gè)一組，100個(gè)就有1002=50組，每組3個(gè)數(shù)，共有503=150，那么第100個(gè)不能被3除盡的數(shù)就是150－1=149. 　　3、把19

2、88表示成28個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，那么其中最大的那個(gè)偶數(shù)是多少？ 　　解答：28個(gè)偶數(shù)成14組，對(duì)稱的2個(gè)數(shù)是一組，即最小數(shù)和最大數(shù)是一組，每組和為：198814=142，最小數(shù)與最大數(shù)相差28-1=27個(gè)公差，即相差227=54， 這樣轉(zhuǎn)化為和差問題，最大數(shù)為（142＋54）2=98。 　　4、在大于1000的整數(shù)中，找出所有被34除后商與余數(shù)相等的數(shù)，那么這些數(shù)的和是多少？ 　　解答：因?yàn)?428＋28=3528=980＜1000，所以只有以下幾個(gè)數(shù)： 3429＋29=3529 3430＋30=3530 3431＋31=3531 3432＋32=3532 3433＋3

3、3=3533 以上數(shù)的和為35（29＋30＋31＋32＋33）=5425 　　5、盒子里裝著分別寫有1、2、3、……134、135的紅色卡片各一張，從盒中任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數(shù)的和除以17的余數(shù)，再把這個(gè)余數(shù)寫在另一張黃色的卡片上放回盒內(nèi)，經(jīng)過若干次這樣的操作后，盒內(nèi)還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片，已知這兩張紅色的卡片上寫的數(shù)分別是19和97，求那張黃色卡片上所寫的數(shù)。 　　解答：因?yàn)槊看稳舾蓚€(gè)數(shù)，進(jìn)行了若干次，所以比較難把握，不妨從整體考慮，之前先退到簡單的情況分析：假設(shè)有2個(gè)數(shù)20和30，它們的和除以17得到黃卡片數(shù)為16，如果分開算分別為3和13，再把3和1

4、3求和除以17仍得黃卡片數(shù)16，也就是說不管幾個(gè)數(shù)相加，總和除以17的余數(shù)不變，回到題目1＋2＋3＋……＋134＋135=1361352=9180，918017=540，135個(gè)數(shù)的和除以17的余數(shù)為0，而19+97=116，11617=6……14， 所以黃卡片的數(shù)是17-14=3。 　　6、下面的各算式是按規(guī)律排列的： 1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少個(gè)算式的結(jié)果是1992？ 　　解答：先找出規(guī)律： 每個(gè)式子由2個(gè)數(shù)相加，第一個(gè)數(shù)是1、2、3、4的循環(huán)，第二個(gè)數(shù)是從1開始的連續(xù)奇數(shù)。 因?yàn)?992是偶數(shù)，2個(gè)加數(shù)中第

5、二個(gè)一定是奇數(shù)，所以第一個(gè)必為奇數(shù)，所以是1或3， 如果是1：那么第二個(gè)數(shù)為1992－1=1991，1991是第（1991+1）2=996項(xiàng)，而數(shù)字1始終是奇數(shù)項(xiàng)，兩者不符，所以這個(gè)算式是3+1989=1992，是（1989＋1）2=995個(gè)算式。 　　7、如圖，數(shù)表中的上、下兩行都是等差數(shù)列，那么同一列中兩個(gè)數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）最小是多少？ 　　解答：從左向右算它們的差分別為：999、992、985、……、12、5。 從右向左算它們的差分別為：1332、1325、1318、……、9、2， 所以最小差為2。 　　8、有19個(gè)算式： 那么第19個(gè)等式左、右兩邊的結(jié)果是多少？ 　　解答：

6、因?yàn)樽蟆⒂覂蛇吺窍嗟?，不妨只考慮左邊的情況，解決2個(gè)問題：前18個(gè)式子用去了多少個(gè)數(shù)？ 各式用數(shù)分別為5、7、9、……、第18個(gè)用了5＋217=39個(gè)，5＋7＋9＋……＋39=396，所以第19個(gè)式子從397開始計(jì)算； 第19個(gè)式子有幾個(gè)數(shù)相加？ 各式左邊用數(shù)分別為3、4、5、……、第19個(gè)應(yīng)該是3＋118=21個(gè)， 所以第19個(gè)式子結(jié)果是397＋398＋399＋……＋417=8547。 　　9、已知兩列數(shù)：2、5、8、11、……、2＋（200－1）3；5、9、13、17、……、5＋（200－1）4。它們都是200項(xiàng)，問這兩列數(shù)中相同的項(xiàng)數(shù)共有多少對(duì)？ 　　解答：易知第一個(gè)這樣的數(shù)為5，注

7、意在第一個(gè)數(shù)列中，公差為3，第二個(gè)數(shù)列中公差為4，也就是說，第二對(duì)數(shù)減5即是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，這樣所求轉(zhuǎn)換為求以5為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)的項(xiàng)數(shù)，5、17、29、……， 由于第一個(gè)數(shù)列最大為2＋（200－1）3=599； 第二數(shù)列最大為5＋（200－1）4=801。新數(shù)列最大不能超過599，又因?yàn)?＋1249=593，5＋1250=605， 所以共有50對(duì)。 　　10、如圖，有一個(gè)邊長為1米的下三角形，在每條邊上從頂點(diǎn)開始，每隔2厘米取一個(gè)點(diǎn)，然后以這些點(diǎn)為端點(diǎn)，作平行線將大正三角形分割成許多邊長為2厘米的小正三角形。求⑴邊長為2厘米的小正三角形的個(gè)數(shù)，⑵所作平行線段的總長度。 　　

8、解答：⑴從上數(shù)到下，共有1002=50行， 第一行1個(gè)，第二行3個(gè)，第三行5個(gè)，……，最后一行99個(gè)， 所以共有（1+99）502=2500個(gè)；⑵所作平行線段有3個(gè)方向，而且相同， 水平方向共作了49條， 第一條2厘米，第二條4厘米，第三條6厘米，……，最后一條98厘米，所以共長（2+98）4923=7350厘米。 　　11、某工廠11月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都從總廠陸續(xù)派相同人數(shù)的工人到分廠工作，直到月底，總廠還剩工人240人。如果月底統(tǒng)計(jì)總廠工人的工作量是8070個(gè)工作日（一人工作一天為1個(gè)工作日），且無人缺勤，那么，這月由總廠派到分廠工作的工人共多少人？ 　　

9、解答：11月份有30天。 由題意可知，總廠人數(shù)每天在減少，最后為240人，且每天人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，第一天和最后一天人數(shù)的總和相當(dāng)于807015=538也就是說第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）（30-1）=2人， 所以全月共派出2*30=60人。 　　12、小明讀一本英語書，第一次讀時(shí)，第一天讀35頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結(jié)果最后一天只讀了35頁便讀完了；第二次讀時(shí)，第一天讀45頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結(jié)果最后一天只需讀40頁就可以讀完，問這本書有多少頁？ 　　解答：第一方案：35、40、45、50、55、……35第二方案

10、：45、50、55、60、65、……40二次方案調(diào)整如下： 第一方案：40、45、50、55、……35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?/P>第二方案：40、45、50、55、……（最后一天放到第一天）這樣第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385頁。 　　13、7個(gè)小隊(duì)共種樹100棵，各小隊(duì)種的查數(shù)都不相同，其中種樹最多的小隊(duì)種了18棵，種樹最少的小隊(duì)最少種了多少棵？ 　　解答：由已知得，其它6個(gè)小隊(duì)共種了100-18=82棵， 為了使釕俚男《又值氖髟繳僭膠茫敲戳?個(gè)應(yīng)該越多越好，有：17+16+15+14+13=75棵， 所以最少的小隊(duì)最少要種82-75=7棵。

11、 　　14、將14個(gè)互不相同的自然數(shù)，從小到大依次排成一列，已知它們的總和是170，如果去掉最大數(shù)和最小數(shù)，那么剩下的總和是150，在原來排成的次序中，第二個(gè)數(shù)是多少？ 　　解答：最大與最小數(shù)的和為170－150=20，所以最大數(shù)最大為20－1=19，當(dāng)最大為19時(shí)，有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170， 當(dāng)最大為18時(shí)，有18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2=158， 所以最大數(shù)為19時(shí)，有第2個(gè)數(shù)為7。 第2講計(jì)算問題乘法與除法 　　1.算式33362512525516842的結(jié)果中末尾有多少個(gè)零？

12、 　　解答：找出算式中含有5的是：625125255=（5555）（555）（55）5，共10個(gè)5； 找出算式中含有2的是：16842=（2222）（222）（22）2，共10個(gè)2。每一組52=10，產(chǎn)生1個(gè)0，所以共有10個(gè)0。 　　答：結(jié)果中末尾有10個(gè)零。 　　2.如果n=2357111317125。那么n的各位數(shù)字的和是多少？ 　　解答：2357111317125 　　　　=(71113) (317) (25125) 　　　　=1001511250 　　　　=1001（501250+11250） =1001（125002+1250） =1001（62500+1250

13、） =（1000+1）63750 =63750000+63750 =63813750 6+3+8+1+3+7+5+0=33 　　答：n的各位數(shù)字的和是33. 　　3.（1）計(jì)算：5（711）（1115）（1521），（2）計(jì)算：（11109…321）（22242527）. 　　解答：（1）5（711）（1115）（1521） 　　　　　=511715112115 　　　　　=511111515217 　　　　　=5217 　　　　　=5377 　　　　　=53 =15 （2）（11109…321）（22242527） 　　　　=（11109…321）22

14、242527） 　　　　=(11222) (10525) (96 27) (8324) 74 　　　　=122174 　　　　=428 　　　　=112 　　4.在算式（□□-7□）16=2的各個(gè)方框內(nèi)填入相同的數(shù)字后可使等式成立，求這個(gè)數(shù)字. 　　解答：□□-7□=11□-7□=□（11-7）=□4， 因?yàn)椤?16=2，所以□4=32，□=8 　　答：□=8. 　　5.計(jì)算：917+9117-517+4517. 　　解答：917+9117-517+4517 　　　　　=917-517+9117+4517 　　　　　=（9-5）17+（91+45）17 　　　　　=41

15、7+13617 　　　　　=68+8 　　　　　=76 　　6.計(jì)算：567142+426811-852050. 　　解答：567142+426811-852050 　　　　　=567142+3142811-85201002 　　　　　=142（567+3811）-8520002 =1423000-426000 =426000-426000 =0 　　7.計(jì)算：285+2435+2120+1440+862. 　　解答：285+2435+2120+1440+862 　　　　　=2275+2457+3745+27524+862 　　　　　=2275（1+2+3+4）

16、+496 　　　　　=101410+496 　　　　　=1400+496 　　　　　=1896 　　8.計(jì)算：5566+6677+7788+8899. 　　解答：5566+6677+7788+8899 　　　　　=（115）（116）+（116）（117）+（117）（118）+（118）（119） 　　　　　=1111（56+67+78+89） 　　　　　=11（10+1）（30+42+56+72） 　　　　　=（110+11）200 　　　　　=121200 　　　　　=24200 　　9.計(jì)算：(123456+234561+345612+456123+561234

17、+612345) 7. 　　解答：(123456+234561+345612+456123+561234+612345) 7 　　　　　=[（1100000+210000+31000+4100+510+6）+（2100000+310000+41000+5100+610+1）+（3100000+410000+51000+6100+110+2）+（4100000+510000+61000+1100+210+3）+（5100000+610000+11000+2100+310+4）+（6100000+110000+21000+3100+410+5）] 7 　　　　　=[1+2+3+4+5+6]1

18、00000+（2+3+4+5+6+1）10000+（3+4+5+6+1+2）1000+（4+5+6+1+2+3）100+（5+6+1+2+3+4）10+（6+1+2+3+4+5）1] 7 　　　　　=（21100000+2110000+211000+21100+2110+211）7 　　　　　=211000007+21100007+2110007+211007+21107+2117 　　　　　=300000+30000+3000+300+30+3 　　　　　=333333 　　10. (87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62) 14. 　

19、　解答：(87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62) 14 　　　　　=[（8+5+7+7+8+6+5+5+6+7+6+7+8+6）10+（7+6+3+5+3+3+7+3+7+8+5+7+4+2）]14 　　　　　=[（147-7）10+（147-28）] 14 　　　　　=[（137）10+（107）]14 　　　　　=（130+10）714 　　　　　=140714 　　　　　=107 　　　　　=70 　　11.在算是12345679□=888888888，12345679○=555555555的方框和圓圈內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)后可使

20、兩個(gè)等式都成立，求所填的兩個(gè)數(shù)之和. 　　解答：□9個(gè)位是8，○9個(gè)位是5，所以□的個(gè)位是2，○的個(gè)位是5。 　　　　　1200000082>888888888，1300000062<888888888，所以□=72 　　　　　1200000055>555555555, 1300000035<555555555，所以○=45 　　　　　72+45=117 　　答：所填的兩個(gè)數(shù)之和是117. 12.計(jì)算：（1）4245，（2）3139，（3）4545，（4）132138. 　　解答：（1）4245=42（50-5）=2100-210=1890 （2）3139=31（40-1）=1

21、240-31=1209 （3）4545=45（50-5）=2250-225=2025 （4）132138=（100+30+2）138=13800+4140+276=18216 　　13.計(jì)算：（1）1357911，（2）124111，（3）11111111. 　　解答：（1）1357911=13579（10+1）=135790+13579=149369 　　　?。?）124111=124（100+10+1）=12400+1240+124=13764 　　　　　（3）11111111=1111（1000+100+10+1）=1111000++111100+11110+1111=123

22、4321 　　14.(1)給出首位是1的兩位數(shù)的簡便算法，據(jù)此計(jì)算10至19中任意兩數(shù)的乘積，并排列成一個(gè)乘法表.（2）有一類小于200的自然數(shù)，每一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是奇數(shù)，而且都是兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，例如144=1212.那么在此類自然數(shù)中，第三大的數(shù)是多少？ 　　解答：（1）1□1△ 　　　　　=(10+□) (1△) 　　　　　=101△+□1△ 　　　　　=100+△10+□10+□△ 　　　　　=100+(△+□) 10+□△ 　　　首位是1的兩位數(shù)的乘積=100+兩個(gè)數(shù)個(gè)位數(shù)字之和的10倍+兩個(gè)數(shù)個(gè)位數(shù)字之積 　　　首位是1的兩位數(shù)乘法表 10 100 11 1

23、10 121 12 120 132 144 13 130 143 156 169 14 140 154 168 182 196 15 150 165 180 195 210 225 16 160 176 192 208 224 240 256 17 170 187 204 221 238 255 272 289 18 180 198 216 234 252 270 288 306 324 19 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 10111213141516171819 　　（2）最大的是195=1315，其次是182=1314，

24、再次是180=1215 　　　在此類自然數(shù)中，第三大的數(shù)是180. 　　15.有16張紙，每張紙的正面用紅色筆任意寫1，2，3，4中的某個(gè)數(shù)字，在反面用藍(lán)筆也寫1，2，3，4中的某個(gè)數(shù)字，要求紅色數(shù)相同的任何兩張紙上，所寫的藍(lán)色數(shù)一定不同.現(xiàn)在把每張紙上的紅、藍(lán)兩個(gè)數(shù)相乘，求這16個(gè)乘積的和. 　　解答：紅1可對(duì)應(yīng)?，2，3，4；紅2可對(duì)應(yīng)藍(lán)1，2，3，4；紅3可對(duì)應(yīng)藍(lán)1，2，3，4；紅4可對(duì)應(yīng)藍(lán)1，2，3，4，共有16種不同的情況。因?yàn)榧t色數(shù)相同的任何兩張紙上，所寫的藍(lán)色數(shù)一定不同，所以這16張紙正好就是這16種情況。 　　（11+12+13+14）+（21+22+23+24）+（3

25、1+32+33+34）+（41+42+43+44） 　　　　　=（1+2+3+4）（1+2+3+4） 　　　　　=1010 　　　　　=100 　　答：這16個(gè)乘積的和是100. 第3講 智巧趣題 　　1、用數(shù)字1，1，2，2，3，3拼湊出一個(gè)六位數(shù)，使兩個(gè)1之間有1個(gè)數(shù)字，兩個(gè)2之間有2個(gè)數(shù)字，兩個(gè)3之間有3個(gè)數(shù)字。 　　解答：312132231213 　　2、把一根線繩對(duì)折，對(duì)折，再對(duì)折，然后從對(duì)折后的中間處剪開，這根線繩被剪成了多少段？ 　　解答：對(duì)折一次: 2*2-1=3段　對(duì)折二次:4*2-3=5段　對(duì)折三次:8*2-7=9段. 　　3、有10張，卡片分別標(biāo)有

26、從2開始的10個(gè)連續(xù)偶數(shù)。如果將它們分成5組，每組兩張，計(jì)算同組中兩個(gè)偶數(shù)和分別得到①34，②22，③16，④30，⑤8。那么每組中的兩張卡片上標(biāo)的數(shù)各是多少？ 　　解答：10個(gè)連續(xù)偶數(shù)是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 8=2+616=4+1222=14+830=20+1034=16+18 4、售貨員把29個(gè)乒乓球分裝在5個(gè)盒子里，使得只要顧客所買的乒乓個(gè)數(shù)小于30，他總可以恰好把其中的一盒或幾盒賣出，而不必拆盒。問這5個(gè)盒子里分別裝著多少個(gè)乒乓球？ 　　解答：1+2+4+8+14=29 　　5、小明的左衣袋和右衣袋中分別裝有6枚和8枚硬幣，并且兩衣袋中硬幣的總錢

27、數(shù)相等。當(dāng)任意從左邊衣袋取出兩個(gè)硬幣與右邊衣袋的任意兩個(gè)硬幣交換時(shí)，左邊衣袋的錢總數(shù)要么比原來的錢數(shù)多2分，要么比原來的錢數(shù)少2分，那么兩個(gè)衣袋中共有多少分錢？ 　　解答：2*6=5+7*1共:2*6*2=24分=2角4分. 　　6、如圖10-1，這是用24根火柴擺成的兩個(gè)正方形，請(qǐng)你只移動(dòng)其中的4根火柴，使它變成兩個(gè)完全相同的正方形。 　　解答： 　　7、請(qǐng)將16個(gè)棋子分放在邊長30厘米、20厘米、10厘米的3個(gè)盒子里，使大盒子里的棋子數(shù)是中盒子里棋子數(shù)的2倍，中盒子里的棋子數(shù)是小盒子里棋子數(shù)的2倍。問應(yīng)當(dāng)如何放置？ 　　解答：把小盒子放進(jìn)中盒子里,大盒子另外放.小盒里放4個(gè),中盒

28、里放4個(gè),大盒里放8個(gè). 　　8、今有101枚硬幣，其中有100枚同樣的真幣和1枚偽幣，偽幣與真幣和重量不同。現(xiàn)需弄清楚偽幣究竟比真幣輕，還是比真幣重，但只有一架沒有砝碼的天平。那么怎樣利用這架天平稱兩次，來達(dá)到目的？ 　　解答：分成50、50、1三堆：第一次稱兩個(gè)50，如果平了，第二次從這100個(gè)任意拿1個(gè)（當(dāng)然是真的）與第三堆的1個(gè)稱，自然會(huì)出結(jié)果；第一次稱兩個(gè)50不平是正常的，第二次我們把其中的一堆（或重的或輕的都行）分成25、25、稱第二次：1、把輕的分成25、25，如果平了，說明那堆重的有假，當(dāng)然假的是超重；如果不平，說明這50個(gè)輕的有假，假的是輕了；2、把重的分成25、25，道

29、理同上。所以兩次可以發(fā)現(xiàn)輕重，但是找不出哪個(gè)是假的。 　　9、有大、中、小3個(gè)瓶子，最多分別可發(fā)裝入水1000克、700克和300克?，F(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望通過水在3個(gè)瓶子間的流動(dòng)動(dòng)使得中瓶和小瓶上標(biāo)出裝100克水的刻度線，問最少要倒幾次水？ 　　解答：６ 　　10、把123，124，125三個(gè)數(shù)分別寫在圖10-2所示的A，B，C三個(gè)小圓圈中，然后按下面的規(guī)則修改這三個(gè)數(shù)。第一步，把B中的數(shù)改成A中的數(shù)與B中的數(shù)之和；第二步，把C中的數(shù)改成B中（已改過）的數(shù)與C中的數(shù)之和；第三步，把A中的數(shù)改成C中（已改過）的數(shù)與A中的數(shù)之和；再回到第一步，循環(huán)做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中

30、的數(shù)都變成了奇數(shù)，則停止運(yùn)算。為了盡可能多運(yùn)算幾步，那么124應(yīng)填在哪個(gè)圓圈中？ 　　11、若干個(gè)同樣的盒子排成一排，小明把五十多個(gè)同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一個(gè)盒子沒有裝棋子，然后他外出了。小光從每個(gè)有棋子的盒子里各拿一個(gè)棋子放在空盒內(nèi)，再把盒子重新排了一下。小明回來仔細(xì)查看了一番，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過這些盒子和棋子。問共有多少個(gè)盒子？ 　　解答：原來有個(gè)空的，說明現(xiàn)在也有個(gè)空的；現(xiàn)在空的說明原來這盒有1個(gè)，當(dāng)然現(xiàn)在也必須有個(gè)盒子有1個(gè)；現(xiàn)在盒中有1個(gè)，說明原來是2個(gè)，當(dāng)然現(xiàn)在也必須有個(gè)盒子有2個(gè)；……考慮50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55　共11個(gè)盒子

31、。 　　12、如圖10-3，圓周上順序排列著1，2，3，……，12這12個(gè)數(shù)。我們規(guī)定：把圓周上某相鄰4個(gè)數(shù)的順序顛倒過來，稱為一次變換，例如1，2，3，4可變?yōu)?，3，2，1，而11，12，1，2可變?yōu)?，1，12，11。問能否經(jīng)過有限變換，將12個(gè)數(shù)的順序變?yōu)槿鐖D10-4所示的9，1，2，3，……，8，10，11，12？ 　　解答：從兩個(gè)圖可以看出，10、11、12沒有變化，我們不妨這樣排列：9、8、7、6、5、4、3、2、1變?yōu)?、7、6、5、4、3、2、1、9;這樣只要9次就行。 　　13、在一塊黑板上將123456789重復(fù)50次得到450位數(shù)12345678912345678

32、9……。先刪去這個(gè)數(shù)中從左至右數(shù)所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，再刪去所得的數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，……，依此類推。那么，最后刪去的是哪個(gè)數(shù)字？ 　　解答：容易發(fā)現(xiàn)，每次留下的應(yīng)該是2^n位上的數(shù)字；2^8=256，2^9=512>450，所以最后一個(gè)數(shù)字應(yīng)該是第256位上的數(shù)；256/9=28......4，所以，最后刪去的是4。 　　14、把1，2，3，4，……，1986，1987這1987個(gè)數(shù)均勻排成一個(gè)大圓圈，從1開始數(shù)：隔過1劃掉2，3，隔過4劃掉5，6，這樣每隔一個(gè)數(shù)劃掉兩個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去，……。問：最后剩下哪個(gè)數(shù)？ 　　15、如圖10-5，在一個(gè)圓周上放了1枚黑色的和1990枚

33、白色的圍棋子。一個(gè)同學(xué)進(jìn)行這樣的操作：從黑子開始，按順時(shí)針方向，每隔1枚，取走1枚。當(dāng)他取到黑子時(shí)，圓周上還剩下多少枚白子？ 　　解答：將黑子右邊的第一個(gè)編號(hào)1，順時(shí)針排下去，到黑子就是第1991號(hào)；每隔1枚，取走1枚，即第一圈取所有偶數(shù)編號(hào)的，最后一顆取走的為1990號(hào)，即黑子左邊的一個(gè)，到黑子時(shí)正好跳過黑子；這樣第一圈共取走（1991-1）/2=995個(gè)，留下了996個(gè)；對(duì)剩下的棋子重新按上述方法（即黑子右邊為1號(hào)）編號(hào)，第2圈就變成了全部取走奇數(shù)號(hào)，因?yàn)榇藭r(shí)黑子為996號(hào)，又正好留下；并且可以知道，只要留下的是偶數(shù)枚，黑子總能跳過；992/2=498，第三圈留下498枚；498/2=2

34、49，第四圈留下249枚；249為奇數(shù)，因此第5圈結(jié)束將正好取走黑子，那么，當(dāng)黑子被取走時(shí)，還留下（249-1）/2=124枚。 第4講 計(jì)數(shù)問題 枚舉法 　　1.如圖9-10，有8張卡片，上面分別寫著自然數(shù)1至8。從中取出3張，要使這3張卡片上的數(shù)字之和為9。問有多少種不同的取法？ 　　解答：三數(shù)之和是9，不考慮順序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9 　　答：有3種不同的取法。 　　2.從1至8這8個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，要使它們的和大于10，共有多少種不同的取法？ 　　解答：兩數(shù)之和大于10，不考慮順序。8+7，8+6，8+5，8+4，8+3　7

35、+6，7+5，7+4　6+5 　　答：共有9種不同的取法。 　　3.現(xiàn)在1分、2分和5分的硬幣各4枚，用其中的一些硬幣支付2角3分錢，一共有多少種不同的支付方法？ 　　解答：2角3分=23分　54+21+11=23，54+13=23，53+24=23，53+23+12=23，53+22+14=23 　　答：一共有5種不同的支付方法。 　　4.媽媽買來7個(gè)雞蛋，每天至少吃2個(gè)，吃完為止，有多少種不同的吃法？ 　　解答：需要考慮吃的順序不同。7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3 　　答：有8種不同的吃法。 　　5.有3個(gè)工廠共訂300份《吉林日?qǐng)?bào)》

36、，每個(gè)工廠最少訂99份，最多101份。問一共有多少種不同的訂法？ 　　解答：3個(gè)工廠各不相同，3數(shù)之和是300份，要考慮順序。99+100+101，99+101+100，100+99+101，100+100+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99 　　答：一共有7種不同的訂法。 　　6.在所有的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和等于34的數(shù)有多少個(gè)？ 　　解答：4個(gè)數(shù)字之和是34，只有9+9+9+7=34，9+9+8+8=34，不同的數(shù)字放在不同位是組成的四位數(shù)不同，考慮順序。9997，9979，9799，7999；9988，9898，9889，8998，

37、8989，8899 　　答：有10個(gè)。 　　7.有25本書，分成6份。如果每份至少一本，且每份的本數(shù)都不相同，有多少種分法？ 解答：1+2+3+4+5+10，1+2+3+4+6+9，1+2+3+4+7+8，1+2+3+5+6+8，1+2+4+5+6+7答：有5種分法。 8.小明用70元錢買了甲、乙、丙、丁4種書，共10冊。已知甲、乙、丙、丁這4種書每本價(jià)格分別為3元、5元、7元、11元，而且每種書至少買了一本。那么，共有多少種不同的購買方法？ 　　解答：4種書每種1本，共3+5+7+11=26（元），70-26=44，44元買6本書 　　113+51+32，112+72+51+31

38、，112+71+53，111+74+51 　　答：共有4種不同的購買方法。 　　9.甲、乙、丙、丁4名同學(xué)排成一行。從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個(gè)位置上，乙不排在第二個(gè)位置上，丙不排在第三個(gè)位置上，丁不排在第四個(gè)位置上，那么不同的排法共有多少種？ 　　解答：不同的排法共有9種。 　　10.abcd代表一個(gè)四位數(shù)，其中a，b，c，d均為1，2，3，4中的某個(gè)數(shù)字，但彼此不同，例如2134。請(qǐng)寫出所有滿足關(guān)系a＜b，b＞c，c＜d的四位數(shù)abcd來。 　　解答：若a最?。?324，1423；若c最小：2314，2413，3412 答：有5個(gè)：1324，1423，2314，2413，34

39、12。 11.一個(gè)兩位數(shù)乘以5，所得的積的結(jié)果是一個(gè)三位數(shù)，且這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位與百位數(shù)字的和恰好等于十位上的數(shù)字。問一共有多少個(gè)這樣的數(shù)？ 　　解答：設(shè)兩位數(shù)是AB，三位數(shù)是CDE，則AB*5＝CDE。CDE能被5整除，個(gè)位為0或5。若E=0，由于E+C＝D，所以C＝D；又因?yàn)镃DE/5的商為兩位數(shù)，所以百位小于5。當(dāng)C=1，2，3，4時(shí)，D=1，2，3，4，CDE＝110，220，330，440。若E=5，當(dāng)C=1，2，3，4時(shí)，D=6，7，8，9，CDE＝165，275，385，495。 　　答：一共有8個(gè)這樣的數(shù)。 　　12.3件運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼分別是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿

40、一件。現(xiàn)在25個(gè)小球，首先發(fā)給甲1個(gè)球，乙2個(gè)球，丙3個(gè)球。規(guī)定3人從余下的球中各取球一次，其中穿1號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的1倍，穿2號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的3倍，穿3號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的4倍，取走之后還剩下兩個(gè)球。那么，甲穿的運(yùn)動(dòng)衣的號(hào)碼是多少？ 　　解答：3人自己取走的球數(shù)是25-（1+2+3）19-2=17（個(gè)），17=3*4+2*1+1*3，所以，穿2號(hào)球衣的人取走手中球數(shù)1的3倍，這是甲。 　　答：甲穿的運(yùn)動(dòng)衣的號(hào)碼是2。 　　13.甲、乙兩人打乒乓球，誰先勝兩局誰贏；如果沒有人連勝兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止。那么一共有多少種可能的情況？ 　　解答：設(shè)甲勝為A，甲

41、負(fù)為B，若最終甲贏，有7種可能的情況。如圖。同理，乙贏也有7種可能的情況。7+7＝14 　　答：一共有14種可能的情況。 　　14.用7張長2分米、寬1分米的長方形不干膠，貼在一張長7分米、寬2分米的木板，將其蓋住，共有多少種不同的拼貼方式？在這里，如果兩種方案可以通過旋轉(zhuǎn)而互相得到，那么就認(rèn)為是同一種。 　　解答：12種。如圖所示。 15.用對(duì)角線把正八邊形剖分成三角形，要求這些三角形的頂點(diǎn)是正八邊形的頂點(diǎn)，那么共有多少種不同的方法？在這里，如果兩種剖分方法可以通過恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)、反射，或者旋轉(zhuǎn)加反射而互相得到，那么就認(rèn)為是同一種。 　　解答：12種。如圖所示。 第5講 幾何問題

42、幾何圖形的認(rèn)知 　　1、圖8-1中的3個(gè)圖形都是由A，B，C，D（線段或圓）中的兩個(gè)組合而成，記為A*B，C*D，A*D。請(qǐng)你畫出表示A*C的圖形。 　　解答：比較1和3圖知A代表豎線，比較2的3圖知D代表橫線，所以B代表大圓，C代表小圓。A*C就是小圓加豎線。 　　2、圖8-2是由9個(gè)小人排列成的方陣，但有一個(gè)人沒有到位。請(qǐng)你根據(jù)圖形的規(guī)律，在標(biāo)有問號(hào)的位置畫出你認(rèn)為合適的小人。 　　解答： 　　3、如圖8-3，將正方形紙片由下往上對(duì)折，再由左向右對(duì)折，稱為完成一次操作。按上述規(guī)則完成5次以操作以后，剪去所得小正方形的左下角。問：當(dāng)展開這張正方形紙片后，共有多少個(gè)小洞孔？ 　

43、　解答：每操作1次都使正方形1變4。第1次操作后剪了4層展開合為一個(gè)洞（4^0），第2次操作1*4=4(4^1)個(gè)洞，第3次4*4=16(4^2)，第4次16*4=64(4^3)，第5次64*4=256(4^4)。不信的同學(xué)可以看我挖的效果圖：） 操?次挖出黑洞1個(gè)，2次挖出橙洞4個(gè)，3次黃洞16個(gè)，4次綠洞64個(gè)，5次藍(lán)洞256個(gè) 　　4、如圖8-4，用4個(gè)大小相同的正方體拼成圖中的形狀。如果用涂料涂正方體中的一個(gè)側(cè)面需用工料費(fèi)3元，那么涂完圖中的所有面，共需要工料費(fèi)多少元？ 解答： 解:設(shè)小正方體一個(gè)側(cè)面為1,則拼成后的形狀為18,18*3=54. 　　答:共需要工料費(fèi)54元.

44、　　5、用紅、黃、藍(lán)、白、黑、綠這6種顏色分別涂在正方體的各面上，每一個(gè)面只涂一種顏色。如圖8-5所示，現(xiàn)有涂色方式完全一樣的4塊小正方體拼成了一個(gè)長方體，試回答：每個(gè)小正方體中，紅色面的對(duì)面涂的是什么色？黃色面的對(duì)面涂的是什么色？黑色面的對(duì)面涂的是什么色？ 　　解答：共用了紅、黃、藍(lán)、白、黑、綠6種顏色。根據(jù)圖，可以看到：紅色與黑、黃、白、藍(lán)相鄰，所以，紅色對(duì)面是綠色。黃色與紅、黑、白、綠相鄰，所以，黃色對(duì)面是藍(lán)色。黑色與紅、黃、藍(lán)、綠相鄰，所以，黑色對(duì)面是白色。 　　6、已知在每個(gè)正方體的6個(gè)面上分別寫著1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)，并且任意兩個(gè)相對(duì)的面上所寫的兩個(gè)數(shù)的和都等于7

45、。如圖8-6，現(xiàn)在把5個(gè)這樣的正方體一個(gè)挨著一個(gè)連接起來，在緊挨著的兩個(gè)面上的兩個(gè)數(shù)之和都等于8，那么圖中標(biāo)有問號(hào)的那個(gè)面上所寫的數(shù)是多少？ 　　解答：從圖前面的1開始分析，對(duì)面為6；挨著的面為2，對(duì)面為5；挨著的面為3，對(duì)面為4。轉(zhuǎn)彎處1在上面，則6在底下，1的左右兩面只能是2、5。如果右面為2，挨著的面則為6，對(duì)面為1，緊挨著的面為7，不符合要求。所以1的右面為5，挨著的面為3，對(duì)面為4，挨著的面為4，？處為3。 　　7、在圖8-7的5個(gè)圖形中，有一個(gè)不是正方體展開圖，那么這個(gè)圖形的編號(hào)是幾？ 　　解答： 　　8、請(qǐng)你在圖8-10上畫出3種與圖8-9不一樣的設(shè)計(jì)圖，使它折起

46、來后都成為圖8-8所示的長方體盒子，其中的粗線與棱的交點(diǎn)均為棱的中點(diǎn)。 　　解答： 　　9、如圖8-11所示，剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）。那么這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？ 　　解答：這個(gè)多面體中間一段是六棱柱，上面和下面一樣，都是由3個(gè)正方形和3個(gè)三角形相間斜立著，再由1個(gè)三角形連在一起 　　10、如圖8-12，這是一個(gè)用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型。把這個(gè)模型的表面（包括底面）都涂上紅色，那么，把這個(gè)模型拆開以后，有3面涂上紅色的小正方體比有2面涂上紅色的小正方體多多少塊？ 解答： 3面紅：1層有54=20（個(gè)），2層有

47、4個(gè)，3層有4個(gè)，共20+4+4=28（個(gè)） 2面紅：2層有34=12（個(gè)），3層有4個(gè)，共12+4=16（個(gè)） 3面紅比2面紅的多28-16=12（個(gè)） 　　11、若干棱長為1的正方體拼成了一個(gè)111111的大正方體，那么從一點(diǎn)望去，最多能看到多少個(gè)單位正方體？ 　　解答： 　　12、有10個(gè)表面涂滿紅漆的正方體，其棱長分別為2，4，6，……，18，20。若把這些正方體全部鋸成棱長為1的小正方體，則在這些小正方體中，共有多少個(gè)至少是一面有漆的？ 　　解答： 　　13、已知一個(gè)正方體木塊能分割成若干個(gè)棱長為1厘米的小正方體木塊，并且在這個(gè)大的正方體木塊的5個(gè)面上涂上紅色，

48、把它分割成若干個(gè)棱長1厘米的小正方體木塊后，有兩面涂上紅色的共有108塊。那么只有一面涂上紅色的有多少塊？ 　　解答： 　　14、一條小蟲沿長6分米，寬4分米，高5分米的長方體的棱爬行。如果它只能進(jìn)不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？ 　　解答： 　　15、如圖8-13，一個(gè)正四面體擺在桌面上，正對(duì)你的面ABC是紅色，底面BCD是白色，右側(cè)面ACD是藍(lán)色，左側(cè)面ABD是黃色。先讓四面體繞底面面對(duì)你的棱向你翻轉(zhuǎn)，再讓它繞底面右側(cè)棱翻轉(zhuǎn)，第三次繞底面面對(duì)你的棱向你翻轉(zhuǎn)，第四次繞底面左側(cè)的棱翻轉(zhuǎn)，此后依次重復(fù)上述操作過程。問：按規(guī)則完成第一百次操作后，面對(duì)你的面是什么顏色

49、？ 　　解答： 第6講 數(shù)字謎問題乘除法填空格 　　1、把1至9這9個(gè)不同的數(shù)字分別填在圖7-1的各個(gè)方格內(nèi)，可使加法和乘法兩個(gè)算式都成立。現(xiàn)有3個(gè)數(shù)字的位置已確定，請(qǐng)你填上其他數(shù)字。 　　解答：由兩位數(shù)乘一位數(shù)得兩位數(shù)可以推出應(yīng)為17*4=68，那么，后面的加數(shù)個(gè)位為5，余下2、9正好滿足68+25=93。 　　2、圖7-2是一個(gè)乘法算式。當(dāng)乘積最大時(shí)，方框內(nèi)所填的4個(gè)數(shù)字之和是多少？ 　　解答：一個(gè)兩位數(shù)乘5得兩位數(shù)，那么個(gè)位只能是1；要使乘積最大，個(gè)位當(dāng)然應(yīng)該是9；即算式為19*5=95；那么，所填的四個(gè)數(shù)字之和為：1+9+9+5=24。 　　3、請(qǐng)補(bǔ)全圖-3所

50、示的殘缺算式，問其中的被乘數(shù)是多少？ 　　解答：由個(gè)位往前分析，容易得到被乘數(shù)個(gè)位為8，積十位為7，被乘數(shù)百位為5，萬位為4，積萬位為3；即整個(gè)算式為：47568*7=332976。所以，被乘數(shù)為47568。 　　4、圖7-4是一個(gè)殘缺的乘法豎式，那么乘積是多少？ 　　解答：由乘積的最高位不難看出積應(yīng)該是10?2，且在它上面的乘積應(yīng)該是9？；因?yàn)榧?后有進(jìn)位，所以，個(gè)位只有8、9兩種可能；又第一個(gè)乘積的十位為2，個(gè)位也是2，說明被乘數(shù)為22，乘數(shù)個(gè)位為1；或者被乘數(shù)為11，乘數(shù)個(gè)位為2；如果被乘數(shù)為22，乘數(shù)個(gè)位為1，乘數(shù)的個(gè)位只能是4，顯然不行；那么，被乘數(shù)為11，乘數(shù)個(gè)位為2，這樣，

51、乘數(shù)個(gè)位就為9，即整個(gè)算式為11*92=1012。所以，乘積是1012。 　　5、圖7-5是一個(gè)殘缺的乘法算式，只知道其中一個(gè)位置上數(shù)字為8，那么這個(gè)算式的乘積是多少？ 　　解答：由被乘數(shù)乘8后得兩位數(shù)容易得出被乘數(shù)應(yīng)該為12，乘數(shù)個(gè)位則必定為9，那么結(jié)果為12*89=1068。 　　6、圖7-6是一個(gè)殘缺的乘法算式，補(bǔ)全后它的乘積是多少？ 　　解答：由乘積個(gè)位得5，那么被乘數(shù)的個(gè)位也必定是5；由乘數(shù)的十位乘被乘數(shù)時(shí)十位為0，可知乘數(shù)的十位是4或8；由積的千位為5，推得被乘數(shù)百位為3，并由此推出乘數(shù)十位為4；所以，算式為325*47=15275，即乘積是15275。 　　7、在圖7-

52、7所示的算式中只知道3個(gè)位置上的數(shù)字是4，那么補(bǔ)全后它的乘積是多少？ 　　解答： 　　8、圖7-8是一個(gè)殘缺的乘法算式，補(bǔ)全后這個(gè)算式的乘積應(yīng)是多少？ 　　解答： 　　9、圖7-9是一個(gè)殘缺的乘法算式，補(bǔ)全后這個(gè)算式的乘積應(yīng)是多少？ 　　解答：由中間的5入手，因?yàn)楸怀藬?shù)十位為1，所以5前面百位上肯定是1，這樣可推得19*8=152；再由得數(shù)百位為8，推出其上面的方框中應(yīng)為7，進(jìn)而得出是19*9=171；所以，最后的乘積應(yīng)為19*98=1862。 　　10、圖7-10中的豎式由1，2，3，4，5，6，7，8中的7個(gè)數(shù)碼組成，請(qǐng)將空缺的數(shù)碼填上，使得豎式成立。 　　解答：乘數(shù)不可

53、能是1，則被乘數(shù)百位必定是1；兩數(shù)相乘，個(gè)位得2的有：3*4=12、4*8=32、6*7=42；分別試算，得到：158*4=632。 　　11、在圖7-11所示除法豎式的每個(gè)方框中，填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。那么算式中的被除數(shù)是多少？ 　　解答：分析273，除數(shù)個(gè)位和商的十位有兩種可能：1*3=3或7*9=63，如果是后一種，那么只有39*7=273，但39*2=78是兩位數(shù)，不符；所以只能是91*3=273，即除數(shù)是91，商是32；那么，完整的算式為2919/91=32......7。 　　12、補(bǔ)全圖7-12所示的除法算式。 　　解答：由商的百位8著手，除數(shù)乘8得兩位數(shù)揮腥

54、摯贍埽?0、11、12，但再看前面除數(shù)與商的千位相乘是三位數(shù)，那就剩下一種12，且商的千位為9；于是得到除數(shù)為12，商為9807，那么，被除數(shù)為9807*12=117864，這樣整個(gè)算式也就出來了。 　　13、補(bǔ)全圖7-13所示的殘缺除法算式，問其中的被除數(shù)應(yīng)是多少？ 　　解答：由余數(shù)98馬上可以知道除數(shù)為99，這樣就可以一步一步由下往上推：98+99=197，被除數(shù)末位是7；　19+99=118，被除數(shù)十位是8；11+99=110，被除數(shù)前三位是110；那么，被除數(shù)為11087。 14、按照?qǐng)D7-14中給出的各數(shù)字的奇偶性補(bǔ)全這個(gè)除法算式。 　　解答：由下往上，顯然兩個(gè)“奇”都是

55、1，被除數(shù)末兩位是66；6乘一個(gè)一位偶數(shù)得到兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)碼全是偶數(shù)，有兩種可能：4*6=24或8*6=48，所以，這個(gè)除法算式有兩種可能：2466/6=411或4866/6=811。 　　15、一個(gè)四位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得圖7-15中的①式，而被另一個(gè)一位數(shù)除得圖7-15中的②式，求這個(gè)四位數(shù)。 　　解答：由第一個(gè)算式可知，被除數(shù)千位為1；由于除數(shù)不可能是1，至少是2，又由于兩個(gè)商的百位不可能都是1，那么，如果第二個(gè)算式的除數(shù)大于第一個(gè)除數(shù)，即至少是3，且百位均不為1，有五種可能：3*4=12、3*5=15、3*6=18、4*4=16、5*2=10；如果第二個(gè)除數(shù)是3，那么第一個(gè)除數(shù)就只能

56、是2，由第一個(gè)算式可知顯然不行，因?yàn)楸怀龜?shù)前兩位最小是10，而商最大為4。所以，兩個(gè)除數(shù)只能是3、4，3、5或4、5；如果是3、4，由第二個(gè)除數(shù)是4，被除數(shù)的前兩位可以確定是16，且比較兩個(gè)算式，由后一個(gè)可知后兩位也只能是16，但對(duì)第一個(gè)不符，所以，3、4也不可能；如果是3、5，由第二個(gè)除數(shù)是5，被除數(shù)的前兩位可以確定是10，百位只能是3，個(gè)位不能滿足；剩下4、5時(shí)，同樣分析可知不符合；再看，如果第二個(gè)算式的除數(shù)小于第一個(gè)除數(shù)，且百位均不為1，因?yàn)榈谝粋€(gè)除數(shù)最大為4，所以只有4、3，4、2和3、2三種可能；4、3顯然不符；同樣可以分析4、2也不符；只有是3、2時(shí)，分析可得到1014滿足要求。如果有一個(gè)商的百位是1，顯然只能是第一個(gè)算式才可能，那么，被除數(shù)前兩位只能是10，且除數(shù)只能是9；結(jié)合第二個(gè)算式，第二個(gè)除數(shù)只能是2或5，如為2，百位只能是1，不符；如為5，當(dāng)百位是3時(shí)，可以同時(shí)滿足兩個(gè)算式，這時(shí)被除數(shù)為1035；所以，這個(gè)四位數(shù)有可能是1014、1035。