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1、7.4直接證明與間接證明,知識梳理,雙擊自測,1.直接證明 (1)綜合法 利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. 框圖表示:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論). 思維過程:由因?qū)Ч?,,知識梳理,雙擊自測,(2)分析法 定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等).這種證明方法叫做分析法. 框圖表示:QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件(其中Q表示要證明
2、的結(jié)論). 思維過程:執(zhí)果索因.,,,知識梳理,雙擊自測,2.間接證明 (1)反證法:假設原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明 原命題成立的證明方法.,,,,(2)用反證法證明的一般步驟:反設假設命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設進行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.,知識梳理,雙擊自測,1.要證a2+b2-1-a2b20只要證明(),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.用反證法證明某命題時,對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的假設為() A.a,b,c中至少有兩個偶數(shù) B.a,b,
3、c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) C.a,b,c都是奇數(shù) D.a,b,c都是偶數(shù),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.已知三角形的三邊分別為a,b,c,內(nèi)切圓的半徑為r,則三角形的面,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.(2018浙江臨安模擬)已知“a,b,c是不全相等的正數(shù)”,有下列結(jié)論,其中正確的個數(shù)為() (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0;ab與a
4、證明:假設ABCa,bc.,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.分析法是“執(zhí)果索因”,實際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件. 2.綜合法和分析法都是直接證明的方法,反證法是間接證明的方法. 3.用反證法證題時必須先否定結(jié)論,否定結(jié)論就是找出結(jié)論的反面的情況. 4.反證法的步驟是:(1)準確反設;(2)從否定的結(jié)論正確推理;(3)得出矛盾.,考點一,考點二,考點三,綜合法的應用(考點難度) 【例1】 (1)已知a,b,c0,a+b+c=1,求證:,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,(2)如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,ABD=30,AB=2CD=2AD=2,DE平面ABCD,EFBD
5、,且BD=2EF. 求證:平面ADE平面BDEF; 若二面角C-BF-D的大小為60,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.,考點一,考點二,考點三,證明:在ABD中,ABD=30,又AD2=AB2+BD2-2ABBDcos 30,,ADBD. DE平面ABCD,AD平面ABCD,ADDE. BDDE=D,AD平面BDEF.又AD平面ADE, 平面ADE平面BDEF.,考點一,考點二,考點三,解:如圖,由已知可得ADB=90,ABD=30,則 BDC=30,三角形BCD為銳角為30的等腰三角形. 過點C作CHDA,交DB,AB于點G,H,則點G為點F在平面ABCD上的投影.連接FG,則,CGB
6、D,DE平面ABCD,CG平面BDEF. 過點G作GIBF于點I,則BF平面GCI, 即CIG為二面角C-BF-D的平面角, 則CIG=60,,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.用綜合法證明是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)論,綜合法的適應范圍是:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結(jié)論的題型. 2.綜合法往往以分析法為基礎,是分析法的逆過程.,考點一,考點二,考點三,對點訓練已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1= +6an+6(nN*). (1)設cn=log5(an+3),求證cn是等比數(shù)列;
7、(2)求數(shù)列an的通項公式;,log5(an+1+3)=2log5(an+3),即cn+1=2cn. cn是以2為公比的等比數(shù)列.,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,分析法的應用(考點難度),只需證|a|2+2|a||b|+|b|22(a2+2ab+b2), 只需證|a|2+2|a||b|+|b|22a2+2b2, 只需證|a|2+|b|2-2|a||b|0, 即證(|a|-|b|)20,上式顯然成立,故原不等式得證.,考點一,考點二,考點三,只需證3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, 只需證2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca, 只需證(a-
8、b)2+(b-c)2+(c-a)20,而這是顯然成立的,,方法總結(jié)分析法是逆向思維,當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需要用到的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導時,常考慮用分析法.用分析法證明的格式為“要證只需證已知”的格式.,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,只需證(n+1)2(n-2)2n成立,而該不等式在n3時恒成立,故只需要驗證n=1,2,3時成立即可, 而當n=1,2,3時,a1,a2,a3均滿足該不等式,,考點一,考點二,考點三,用數(shù)學歸納法很明顯可證當anbn,,考點一,考點二,考點三,
9、當n=1,2,3時該不等式恒成立;,綜上所得,上述不等式bn1時,用數(shù)學歸納法很明顯可證當ann時,有bn0; 下面證明bn+1
10、考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.應用反證法證明時必須先否定結(jié)論,把結(jié)論的反面作為條件,且根據(jù)這一條件進行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理,就不是反證法.所謂矛盾主要是指:(1)與已知條件矛盾;(2)與假設矛盾;(3)與定義、公理、定理矛盾;(4)與公認的簡單事實矛盾;(5)自相矛盾. 2.當一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,可用反證法來證.,考點一,考點二,考點三,對點訓練已知a,b,c是互不相等的非零實數(shù),用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一個方程有兩個相異實根.,證明:假設三個
11、方程都沒有兩個相異實根, 則1=4b2-4ac0,2=4c2-4ab0,3=4a2-4bc0. 上述三個式子相加得:a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a20.即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20. 由已知a,b,c是互不相等的非零實數(shù). 因此,上式“=”不能同時成立,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2<0,與事實不符,故ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一個方程有兩個相異實根.,難點突破直接證明和間接證明在探索性問題中的應用 探索性問題沒有結(jié)論,需要自己尋找結(jié)論.在探索性問題的研究中,有一種方法可以先通過猜想或者特
12、殊值法確定結(jié)論,然后合理選擇證明方法證明這個結(jié)論.,只需證3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y), 即證x2+y22xy,此式顯然成立.,同理,只需證3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y), 即證x2+y22xy,這顯然成立.,答題指導探索性問題是開放性數(shù)學問題,“猜想證明”是解決這類問題的基本思路. 高分策略1.用綜合法證明命題時,首先找到正確的出發(fā)點,一般的處理方法是廣泛地聯(lián)系已知條件所具備的各種性質(zhì),逐層推進,從而由已知逐步推出結(jié)論. 2.分析法是從結(jié)論出發(fā),逆向思維,尋找結(jié)論成立的充分條件.應用分析法要嚴格按分析法的語言表達,下一步是上一步的充分條件. 3.對較復雜的問題,常常先從結(jié)論進行分析,尋求結(jié)論與條件的關系,找到解題思路后,再運用綜合法證明,或兩種方法交叉使用. 4.反證法證明的實質(zhì)是證明它的逆否命題成立.,
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