2020版高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 專題突破三 數(shù)列通項公式的求法課件 新人教B版必修5.ppt

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1、專題突破三數(shù)列通項公式的求法,第二章 數(shù)列,求數(shù)列的通項公式,是數(shù)列問題中的一類重要題型,在數(shù)列學習和考試中占有很重要的位置,本專題就來談?wù)剶?shù)列通項公式的求法.,一、通過數(shù)列前若干項歸納出數(shù)列的一個通項公式 例1由數(shù)列的前n項,寫出通項公式: (1)3,5,3,5,3,5,;,解這個數(shù)列前6項構(gòu)成一個擺動數(shù)列,奇數(shù)項為3,偶數(shù)項為5. 所以它的一個通項公式為an4(1)n,nN.,解數(shù)列中的項以分數(shù)形式出現(xiàn),分子為項數(shù),分母比分子大1,,反思感悟這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運算得到,故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動數(shù)列)

2、聯(lián)想基本數(shù)列,再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系.需要注意的是,對于無窮數(shù)列,利用前若干項歸納出的通項公式屬于“猜想”,而且表達式不一定唯一.,跟蹤訓練1由數(shù)列的前幾項,寫出通項公式: (1)1,7,13,19,25,;,解數(shù)列每一項的絕對值構(gòu)成一個以1為首項,6為公差的等差數(shù)列, 且奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負, 所以它的一個通項公式為an(1)n1(6n5),nN.,二、利用遞推公式求通項公式 命題角度1累加、累乘 例2(1)數(shù)列an滿足a11,對任意的nN都有an1a1ann,求通項公式;,解an1ann1,an1ann1, 即a2a12,a3a23,,anan1n(n2). 等式兩邊同時相加得ana1

3、234n(n2).,反思感悟形如an1anf(n)的遞推公式求通項可以使用疊加法,步驟如下: 第一步將遞推公式寫成an1anf(n); 第二步當n2時,依次寫出anan1,,a2a1,并將它們疊加起來; 第三步得到ana1的值,解出an; 第四步檢驗a1是否滿足所求通項公式,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.疊乘法類似.,跟蹤訓練2在數(shù)列an中,a11,anan1n1(n2,3,4,),求an的通項公式.,解當n1時,a11,,命題角度2構(gòu)造等差(比)數(shù)列 例3已知數(shù)列an滿足an13an2,且a11,則an___________.,23n11,解析設(shè)an1A3(anA),化簡得an1

4、3an2A. 又an13an2,2A2,即A1.,數(shù)列an1是等比數(shù)列,首項為a112,公比為3. 則an123n1,即an23n11.,反思感悟形如an1panq(其中p,q為常數(shù),且pq(p1)0)可用待定系數(shù)法求得通項公式,步驟如下: 第一步假設(shè)遞推公式可改寫為an1tp(ant);,第四步寫出數(shù)列an通項公式.,跟蹤訓練3已知數(shù)列an滿足an12an35n,a16,求數(shù)列an的通項公式.,解設(shè)an15n12(an5n), 將an12an35n代入式, 得2an35n5n12an25n, 等式兩邊消去2an,得35n5n125n, 兩邊除以5n,得352,則1, 代入式得an15n12(

5、an5n). 由a1516510及式得an5n0,,則數(shù)列an5n是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列, 則an5n2n1,故an2n15n(nN).,命題角度3預設(shè)階梯轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列 例4在數(shù)列an中,a12,an14an3n1,nN. (1)證明:數(shù)列ann是等比數(shù)列;,證明由an14an3n1, 得an1(n1)4(ann),nN.,所以數(shù)列ann是首項為1,公比為4的等比數(shù)列.,(2)求數(shù)列an的通項公式.,解由(1),可知ann4n1,nN, 于是數(shù)列an的通項公式為an4n1n,nN.,反思感悟課程標準對遞推公式要求不高,故對遞推公式的考查也比較簡單,一般先構(gòu)造好等差(比)數(shù)列讓

6、學者證明,再在此基礎(chǔ)上求出通項公式,故同學們不必在此處挖掘過深.,跟蹤訓練4在數(shù)列an中,a11,3anan1anan10(n2,nN).,證明由3anan1anan10(n2),,(2)求數(shù)列an的通項公式.,三、利用前n項和Sn與an 的關(guān)系求通項公式 例5已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sn2an4,nN,則an等于 A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2,解析因為Sn2an4,所以n2時,Sn12an14, 兩式相減可得SnSn12an2an1,即an2an2an1,整理得an2an1,,所以數(shù)列an是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,則an42n12n1,故選A.,,反思感悟已知S

7、nf(an)或Snf(n)的解題步驟: 第一步利用Sn滿足條件p,寫出當n2時,Sn1的表達式; 第二步利用anSnSn1(n2),求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式; 第三步若求出n2時的an的通項公式,則根據(jù)a1S1求出a1,并代入n2時的an的通項公式進行驗證,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.如果求出的是an的遞推公式,則問題化歸為例3形式的問題.,得(n1)an13nan(n2), 即數(shù)列nan從第二項起是公比為3的等比數(shù)列,且a11,a21, 于是2a22,故當n2時,nan23n2.,,達標檢測,DABIAOJIANCE,,1.已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0,則依此

8、歸納該數(shù)列的通項不可能是,,1,2,3,4,5,6,7,,,解析注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù),對照選項排除即可.,1,2,3,4,5,6,7,以上(n1)個式子相乘得,,1,2,3,4,5,6,7,,4.數(shù)列an的前n項和為Snn23n1,nN,則它的通項公式為______________________.,解析當n1時,a1S15; 當n2時,anSnSn12n2.,1,2,3,4,5,6,7,5.在等比數(shù)列an中,若公比q4,且前三項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式是__________.,,an4n1,解析依題意a14a142a121, 所以a11, 所以ana1qn14n1.,1,2,3,4,5,6,7,6.已知數(shù)列an的前n項和Sn2n23n.求an的通項公式.,,解因為Sn2n23n, 所以當n2時, Sn12(n1)23(n1)2n27n5, 所以anSnSn14n5,n2, 又當n1時,a1S11,滿足an4n5, 所以an4n5,nN.,1,2,3,4,5,6,7,7.已知數(shù)列an的前n項和Sn1an,其中0.證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式.,,1,2,3,4,5,6,7,,由Sn1an,Sn11an1, 得an1an1an, 即an1(1)an. 由a10,0得an0,,1,2,3,4,5,6,7,

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