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1、第3講 運動圖象追及相遇問題,【知識導圖】,位移,速度,靜止,勻速直線,勻速直線,勻變速直線,不小于,最小,初始間距,【微點撥】 1.識圖常見錯誤類型: (1)錯誤地認為圖象就是質點的運動軌跡。 (2)錯將圖線的交點都當成相遇,而v-t圖線的交點表示該時刻速度相同。,(3)錯誤理解圖線斜率的意義,比如認為v-t圖象斜率為正,則質點一定做加速運動,斜率為負,則質點一定做減速運動。,2.追及相遇問題: 分兩類,一類為一定能追上,直接列位移方程,找位移關系;另一類為可能追上,需根據速度關系判斷能否追上。,【慧眼糾錯】 (1)位移時間圖象如果是曲線,則物體做曲線運動。 糾錯:_____________
2、___________________________ ________________________________________,位移時間圖象中的位移只有正負,因此只能,表示正負兩個方向的運動,只能是直線運動。,(2)速度時間圖象如果是曲線,則物體做曲線運動。 糾錯:________________________________________ _____________________,速度時間圖象中速度只有正負兩個方向,因,此只能描述直線運動。,(3)x-t圖象圍成的面積表示該過程物體的位移。 糾錯:________________________________________
3、 ___________________,x-t圖象圍成的面積沒有物理意義,v-t圖象圍,成的面積表示位移。,(4)兩物體的v-t圖象圍成的面積相等,則兩物體一定 相遇。 糾錯:_________________________________________ ______________________________________________ _______,v-t圖象不能反映物體的出發(fā)位置,因此圍成的,面積相等,只能是位移相等,若出發(fā)位置不同,也不會,相遇。,(5)兩物體在追及過程中,物體之間的距離總是逐漸減 小的。 糾錯:_____________________________
4、_____________ _______________________________________________ ___________________________________________,兩物體追及過程中,它們之間的距離大小與速度,有關,若被追的物體速度大于追的物體,它們之間的距,離在逐漸變大,反之,它們之間的距離逐漸減小。,考點1運動圖象的理解及應用 【典題探究】 【典例1】一質點沿x軸做直線運動, 其v-t圖象如圖所示。質點在t=0時 位于x=5 m處,開始沿x軸正向運動。 當t=8 s時,質點在x軸上的位置為導學號04450012() A.x=3 mB.x=8 m
5、C.x=9 mD.x=14 m,【解析】選B。圖象的“面積”大小等于位移大小,圖 象在時間軸上方“面積”表示的位移為正,圖象在時 間軸下方“面積”表示的位移為負,故8 s時位移為: s= =3 m,由于質點在t=0時位 于x=5 m處,故當t=8 s時,質點在x軸上的位置為8 m, 故A、C、D錯誤,B正確。,【通關秘籍】 1.消除對運動學圖象的“誤會”: (1)無論x-t圖象、v-t圖象是直線還是曲線,所描述的運動情況都是直線運動,即x-t圖象、v-t圖象都不是物體運動的軌跡。,(2)x-t圖象、v-t圖象的形狀由x與t、v與t的函數關系決定,圖象中各點的坐標值x、v與t一一對應
6、。,2.圖象分析標準化程序:,【考點沖關】 1.(多選)如圖,直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置-時間(x-t)圖線。由圖可知(),A.在時刻t1,a車追上b車 B.在時刻t2,a、b兩車運動方向相反 C.在t1到t2這段時間內,b車的速率先減小后增加 D.在t1到t2這段時間內,b車的速率一直比a車的大,【解析】選B、C。在時刻t1,a、b兩車的位置坐標相同,開始a的位移大于b的位移,知b追上a,故A錯誤。在時刻t2,a的位移增大,b的位移減小,知兩車運動方向相反,故B正確。圖線切線的斜率表示速度,在t1到t2這段時間內,b車圖線斜率先減小后增大,則b車的速率先減小后增
7、加,故C正確。在t1到t2這段時間內,b圖線的斜率不是一直大于a圖線的斜率,所以b車的速率不是一直比a車大,故D錯誤。,2.如圖所示的位移時間(x-t)圖象和速度時間 (v-t)圖象中給出四條圖線,甲、乙、丙、丁代表四 輛車由同一地點向同一方向運動的情況,則下列說法 正確的是 (),A.甲車做直線運動,乙車做曲線運動 B.0t1時間內,甲車通過的路程大于乙車通過的路程 C.0t2時間內,丙、丁兩車在t2時刻相距最遠 D.0t2時間內,丙、丁兩車的平均速度相等,【解析】選C。在x-t圖象中表示的是做直線運動的物體的位移隨時間的變化情況,而不是物體運動的軌跡。由于甲、乙兩車在0t1時間內做單向的直
8、線運動,故在這段時間內兩車通過的位移和路程均相等,A、B均錯。在v-t圖象中,t2時刻丙、丁兩車的速度相等,故兩車相距最遠,C正確。由圖線可知,0t2時間內丙車的位移小于丁車的位移,故丙車的平均速度小于丁車的平均速度,D錯誤。,【加固訓練】 (多選)(2018興慶模擬)物體在x軸上做直線運動,則上下兩圖對應關系正確的是(圖中F表示物體所受的合外力,a表示物體的加速度,v表示物體的速度,x表示物體的位移,C、D圖中曲線為拋物線)(),【解析】選B、D。對于F-t圖象可以看出,力F隨時間成 線性關系,根據牛頓第二定律得:a= ,所以加速度a也 隨時間成線性關系,在前半個周期內F為正值,加速度也 為
9、正值,故A錯誤。對于a-t圖象可以看出前半段時間加 速度恒定,后半段時間加速度反向大小恒定,對于v-t圖 象可以看出前半段時間圖象是直線,斜率是正值,后半,段時間圖象也是直線,斜率是負值,速度時間圖象,其斜率代表物體的加速度,故B正確。x-t圖象,其斜率代表物體的速度,由x-t圖象斜率看出,物體的速度增大,而v-t圖象的速度在減小,故C錯誤。x-t圖象,其斜率代表物體的速度,對于x-t圖象可以看出整段時間圖象的斜率增大,說明物體的速度增大,若速度均勻增大,加速度不變,故D正確。,考點2追及和相遇問題 【典題探究】 【典例2】(多選)(2016全國卷)甲、乙兩車在平直 公路上同向行駛,其v-t
10、圖象如圖所示。已知兩車在t= 3 s時并排行駛,則 導學號04450013(),A.在t=1 s時,甲車在乙車后 B.在t=0時,甲車在乙車前7.5 m C.兩車另一次并排行駛的時刻是t=2 s D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m,【題眼直擊】(1)v-t圖象。 (2)t=3 s時并排行駛。,【解析】選B、D。據圖象可知,t=1 s到t=3 s,甲和乙運動位移都等于40 m,因此在t=1 s時兩車另一次并排行駛,A、C錯,D對;t=0到t=1 s,乙的位移為12.5 m,甲的位移為5 m,在t=0時,甲車在乙車前7.5 m,B對。故選B、D。,【遷移訓練】,遷移1:勻
11、速追勻加速 一步行者以6.0 m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公 共汽車,在跑到距汽車25 m處時,綠燈亮了,汽車以 1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進,則(),A.人能追上公共汽車,追趕過程中人跑了36 m B.人不能追上公共汽車,人、車最近距離為7 m C.人能追上公共汽車,追上車前人共跑了43 m D.人不能追上公共汽車,且車開動后,人車距離越來越遠,【解析】選B。在跑到距汽車25 m處時,綠燈亮了,汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進,當汽車加速到6.0 m/s時二者相距最近。汽車加速到6.0 m/s所用時間t=6 s,人運動距離為66 m=36 m,汽車運動距離為18 m
12、,二者最近距離為18 m+25 m-36 m=7 m,A、C錯誤,B正確;人不能追上公共汽車,且車開動后,人車距離先減小后增大,D錯誤。,遷移2:多種方法解決勻減速追勻加速 在水平軌道上有兩列火車A和B相距x,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動,兩車運動方向相同。要使兩車不相撞,求A車的初速度v0滿足什么條件。(可用多種方法),【解析】兩車不相撞的臨界條件是,A車追上B車時其速度與B車相等。設A、B兩車從相距x到A車追上B車時,A車的位移為xA、末速度為vA、所用時間為t;B車的位移為xB、末速度為vB,運動過程如圖所
13、示,常見的方法有三種:,(一)分析法利用位移公式、速度公式求解,對A車有 xA=v0t+ (-2a)t2,vA=v0+(-2a)t 對B車有xB= at2,vB=at兩車位移關系有x=xA-xB 追上時,兩車不相撞的臨界條件是vA=vB 聯(lián)立以上各式解得v0= ,故要使兩車不相撞,A車的 初速度v0應滿足的條件是v0 。,(二)函數法利用判別式求解,由解法一可知 xA=x+xB,即v0t+ (-2a)t2=x+ at2 整理得3at2-2v0t+2x=0 這是一個關于時間t的一元二次方程,當根的判別式 =(-2v0)2-43a2x=0時,兩車剛好不相撞,所以要 使兩車不相撞,A車的初速度v0
14、應滿足的條件是v0 。,(三)圖象法利用v-t圖象求解,先作A、B兩車的v-t圖象,如圖所示,設經過t時間兩車剛好不相撞,則對A車有vA=v=v0-2at 對B車有vB=v=at,以上兩式聯(lián)立解得t= ,經t時間兩車發(fā)生的位移之差 為原來兩車間距離x,它可用圖中的陰影面積表示,由圖 象可知x= v0t= v0 ,所以要使兩車不 相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是v0 。 答案:v0,遷移3:與圖象結合的追及相遇問題 (多選)入冬以來,全國多地多次發(fā)生霧 霾天氣,能見度不足20 m,在這樣的惡劣 天氣中,甲、乙兩汽車在一條平直的單 行道上,乙在前、甲在后同向行駛。某時刻兩車司機同時聽到前方
15、有事故發(fā)生的警笛提示,同時開始剎車。兩輛車剎車時的v-t圖象如圖,則導學號04450014(),A.若兩車發(fā)生碰撞,開始剎車時兩輛車的間距一定小于100 m B.若兩車發(fā)生碰撞,開始剎車時兩輛車的間距一定小于200 m C.若兩車發(fā)生碰撞,則一定是在剎車后20 s以內的某時刻發(fā)生相撞 D.若兩車發(fā)生碰撞,則一定是在剎車后20 s以后的某時刻發(fā)生相撞,【解析】選A、C。由圖可知,兩車速度相等經歷的時間 為20 s,甲車的加速度a1= m/s2=-1 m/s2,乙車的加 速度a2= m/s2=-0.5 m/s2,此時甲車的位移x甲=v甲t+ a1t2=2520 m- 1400 m=300 m,乙車
16、的位移 x乙=v乙t+ a2t2=1520 m- 0.5400 m=200 m, 可知要不相撞,則兩車間的最小距離x=300 m-200 m,=100 m,因為兩車發(fā)生碰撞,則兩車的距離小于100 m,故A正確,B錯誤;因為速度相等后,若不相撞,兩者的距離又逐漸增大,可知兩輛車一定是在剎車后的20 s之內的某時刻發(fā)生相撞的,故C正確,D錯誤。,【通關秘籍】 求解追及和相遇問題的兩點技巧,【加固訓練】 A、B兩車在同一直線上運動,A在后,B在前。當它們相距x0=8 m時,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以vA=8 m/s的速度向右做勻速運動,而物體B此時速度vB=10 m/s向右,它在摩擦力作
17、用下以a=-2 m/s2做勻減速運動,求:,(1)A未追上B之前,兩車的最遠距離為多少? (2)經過多長時間A追上B? (3)若vA=3 m/s,其他條件不變,求經過多長時間A追上B?,【解析】(1)設時間t1時兩車速度相同,此時相距最遠, 則有vA=vB+at1 代入數據解得t1=1 s 兩車最遠距離x=xB+x0-xA=vBt1+ at12+x0-vAt1= 101 m- 21 m+8 m-81 m=9 m。,(2)設A追上B時為t2 由vAt2=vBt2+ at22+x0 代入數據解得t2=4 s,B速度減為零的時間t0= s= 5 s,可知此時B還未停止。,(3)B勻減速到停止的時間為
18、:t0= s=5 s。 在5秒內A運動的位移:xA=vAt0=35 m=15 m 在5秒內B運動的位移:xB=vBt0+ at02=105 m- 252 m=25 m 因為:xA
19、1)求B車剎車后減速運動的加速度多大? (2)A車若仍按原速度前進,兩車是否會相撞?若會相撞,將在何時何地發(fā)生? (3)若B車剎車8 s后,A車以加速度a1=0.5 m/s2加速前進,問能否避免事故?若能夠避免,則兩車最近時相距多遠?,【思維軌跡】,【規(guī)范解答】 解:(1)設B車減速運動的加速度大小為a,有: 0-vB2=-2ax1, (2分) 代入數據解得:a=0.25 m/s2。 (1分) (2)設B車減速t秒時兩車的速度相同,有:vB-at=vA (2分),解得t=80 s 在此過程中B車前進的位移為 xB=vBt- at2=1 600 m(1分),A前進位移為xA=vAt=800 m(
20、1分) 由于800 m+600 m<1 600 m,故兩車會相撞 (2分) 設相撞時間為t0,則根據vBt0- at02=600 m+vAt0 (2分) 解得t0=40 s 此時A位移為xA=vAt0=400 m。(2分),(3)設B車減速t秒時兩車的速度相同, 有:vB-at=vA+a1(t-t),(2分) 代入數值解得:t=32 s, 在此過程中B車前進的位移為xB=vBt- at2 (1分) 代入數據解得:xB=832 m,,A車前進的位移為 xA=vAt+vA(t-t)+ a1(t-t)2,(2分) 代入數據解得:xA=464 m, 因xA+xxB,故不會發(fā)生撞車事故,此時 x=xA+x-xB=232 m。(2分),【答題規(guī)則】 規(guī)則1:把復雜問題拆解為簡單問題,分步處理 本題研究對象有A、B兩車,可以分別研究運動過程。 規(guī)則2:根據實際情況確定研究對象和研究過程之間的聯(lián)系 在追及相遇問題中,速度關系是尋找碰與不碰的重要條件,若相遇則位移關系是核心關系。,規(guī)則3:計算后要根據實際情況進行物理過程的判斷 部分問題根據數學計算可以得到結論,但有的數學解無物理意義,則需要舍掉。,
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