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1、8.2空間幾何體的表面積與體積,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.多面體的表(側(cè))面積 因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是,表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式,所有側(cè)面的面積之和,2rl,rl,(r1+r2)l,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積,Sh,4R2,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 (1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. (2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等. 2.長(zhǎng)方體的外接球 (1)球心:體對(duì)角線的交點(diǎn).,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“
2、”. (1)如果圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S. () (2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為3a2. () (3)若一個(gè)球的體積為 ,則它的表面積為12. () (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9. () (5)將圓心角為 ,面積為3的扇形作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的表面積等于4. (),,,,,,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,2.(2018山東春季聯(lián)考,19)已知矩形ABCD,AB=2BC,把這個(gè)矩形分別以AB、BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所成
3、幾何體的側(cè)面積分別記為S1、S2,則S1與S2的比值等于 () A. B.1C.2D.4,B,解析:設(shè)BC=a,AB=2a,所以S1=2(2a)a,S2=2(a)2a, S1S2=11,故選B.,3.(2018全國(guó)1,文5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(),B,解析:過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面為圓柱的軸截面,設(shè)底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,因?yàn)檩S截面是面積為8的正方形,所以 ,所以圓柱的表面積為2rl+2r2=8+4=12.,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,4.(2018河北武邑中學(xué)四模,7)
4、如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的外接球體積為(),B,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,5.(2018遼寧大連調(diào)研,14)如圖為一個(gè)半球挖去一個(gè)圓錐后的幾何體的三視圖,則剩余部分與挖去部分的體積之比為.,11,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,空間幾何體的表面積 例1(1)(2018河南模擬,9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(),A,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)(2018河南一模,6)九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,在九章算術(shù)中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”,若某“陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示,其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為
5、1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,則該“陽(yáng)馬”的表面積為(),C,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,如圖所示; 主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形, 故四棱錐的底面是正方形,且邊長(zhǎng)為1,其中一條側(cè)棱PD底面ABCD,且側(cè)棱AD=1,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么? 解題心得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中求解. 2.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征,確定
6、得到計(jì)算體積所需要的幾何量. 3.計(jì)算柱、錐、臺(tái)的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高. 4.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法,應(yīng)熟練掌握.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2018東北師范大學(xué)附屬中學(xué)五模,7)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中主視圖是半徑為1的半圓,則該幾何體的表面積為(),C,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)(2018廣東深圳二模,6)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓,則這個(gè)幾何體的表面積是() A.16B.14C.12D.8,A,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考
7、點(diǎn)2,考點(diǎn)3,空間幾何體的體積(多考向) 考向1公式法求體積 例2(2018四川成都診斷,8)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是() A.2B.4C.6D.8,C,解析:由三視圖可得,該幾何體是底面為直角梯形的柱體,其中棱柱的高為2,底面積為 (1+2)2=3,可得幾何體的體積為V=32=6,故選C.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考由三視圖求解幾何體體積的解題策略是什么? 解題心得1.若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解. 2.若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求
8、解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2018黑龍江仿真模擬(十),8)在四棱錐P-ABCD中, PA底面ABCD,底面ABCD為正方形,PA=AB,該四棱錐被一平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(),B,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向2割補(bǔ)法求體積 例3(2018廣東廣州調(diào)研,14)已知E,F分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中點(diǎn),則四棱錐C1-B1EDF的體積為.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解析: (方法
9、一)如圖所示,連接A1C1,B1D1交于點(diǎn)O1, 連接B1D,EF,過(guò)點(diǎn)O1作O1HB1D于點(diǎn)H. 因?yàn)镋FA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平面B1EDF, 所以A1C1平面B1EDF. 所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離. 易知平面B1D1D平面B1EDF, 又平面B1D1D平面B1EDF=B1D,所以O(shè)1H平面B1EDF, 所以O(shè)1H等于四棱錐C1-B1EDF的高. 因?yàn)锽1O1HB1DD1,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考割補(bǔ)法求體積適用于何種題型?割補(bǔ)法的割補(bǔ)原則是什么? 解題心得1.當(dāng)一個(gè)幾何體形狀不規(guī)則時(shí),無(wú)法直接運(yùn)用體積
10、公式求解,一般通過(guò)分割和補(bǔ)形.將原幾何體分割或補(bǔ)形為較易的能利用公式計(jì)算體積的幾何體,從而求得原幾何體的體積. 2.割補(bǔ)法的原則是將不易求體積的幾何體轉(zhuǎn)化為易求體積的幾個(gè)幾何體,但要根據(jù)題意仔細(xì)分割,一般分割為已知底面面積或高易求的幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體,以免分割的幾何體求不出體積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2018山東沂水一中三模,9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(),D,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)(2018黑龍江哈爾濱六中押題(一),8)如圖為一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體的體積為(),B,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3
11、,考向3等體積轉(zhuǎn)化法求體積 例4(2018河北阜城月考,5)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,各側(cè)棱和底面的邊長(zhǎng)均為a,點(diǎn)D是CC1上任意一點(diǎn),連接A1B,BD,A1D,AD,則三棱錐A-A1BD的體積為 (),B,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考等體積轉(zhuǎn)化法適用于什么題型? 解題心得1.等體積轉(zhuǎn)化法適用于三棱錐體積的求解,若題目條件所給的棱錐的底面和高不易求,則考慮轉(zhuǎn)化為底面和高易求的方向求解. 2.此法利用原理:VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4 (2018北京豐臺(tái)區(qū)期中,5)如圖所示,在邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD中,AC與BD相交于
12、O,剪去AOB,將剩余部分沿OC,OD折疊,使OA,OB重合,則四面體D-AOC的體積為(),A,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向4組合體的體積求解 例5(2016山東,文5改編)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為 (),C,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考組合體的體積如何求解? 解題心得組合體的體積,一般是利用分割法將其分割為幾個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何體的體積求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2018湖北荊州統(tǒng)考,9)如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)是1,在其上用粗實(shí)線和粗虛線畫(huà)出了某幾何體的三視圖,其中俯視圖中的曲
13、線是四分之一的圓弧,則這個(gè)幾何體的體積可能是(),B,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,球及其與球有關(guān)的切、接問(wèn)題,A,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考如何求解球的表面積、體積及與球有關(guān)的切、接問(wèn)題中的表面積、體積問(wèn)題? 解題心得1.求解球的表面積、體積問(wèn)題的關(guān)鍵是求出球的半徑,一般方法是依據(jù)條件建立關(guān)于半徑的等式. 2.多面體的外接球和內(nèi)切球問(wèn)題,其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置,找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系,結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑,然后利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算.常見(jiàn)的方法是將多面體還原到正方體或長(zhǎng)方體中再去求解. 3.球的截面問(wèn)題,首先
14、需理解兩個(gè)基本性質(zhì):球的任何一個(gè)截面都是圓面,球心和截面圓的圓心的連線垂直于截面.然后利用性質(zhì)解三角形求出球的半徑.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6 (2018黑龍江統(tǒng)考七模,6)如圖ABCD-A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方體,S-ABCD是高為1的正四棱錐,若點(diǎn)S,A1,B1,C1,D1在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為 (),D,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解析:如圖所示,連接A1C1,B1D1,交點(diǎn)為M,連接SM,易知球心O在直線SM上,設(shè)球的半徑R=OS=x,在RtOMB1中,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.求柱體、錐體、臺(tái)體與球的表面積、體積的問(wèn)題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)
15、解決. 2.求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面. 3.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.求組合體的表面積時(shí),組合體的銜接部分的面積問(wèn)題易出錯(cuò). 2.由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí),由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致錯(cuò)誤. 3.易混側(cè)面積與表面積的概念.,答案:B,典例2九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆
16、為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有() A.14斛B.22斛 C.36斛D.66斛 答案:B,答案:D,典例4我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為(),答案:C,解析:由三視圖知,該幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱,,所以三視圖
17、對(duì)應(yīng)幾何體的體積V=8-. 根據(jù)祖暅原理,不規(guī)則幾何體的體積V=V=8-.,答案:A,解析:如圖,由三視圖可知,天池盆上底面半徑為12寸,下底面半徑為6寸,高為12寸, 積水深6寸,,反思提升幾個(gè)例題很好地詮釋了考綱中對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的要求,加強(qiáng)對(duì)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查,引導(dǎo)考生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神,樹(shù)立民族自信心和自豪感,試題的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出試題本身.以中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍、九章算術(shù)、祖暅原理為背景,考查幾何體的體積、三視圖及體積計(jì)算.不僅檢測(cè)了考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.,(二)簡(jiǎn)單幾何體的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題 簡(jiǎn)單多面體外接球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn),
18、此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心O的位置問(wèn)題,其中球心的確定是關(guān)鍵.,1.外接球的問(wèn)題 (1)必備知識(shí): 簡(jiǎn)單多面體外接球的球心的結(jié)論. 結(jié)論1:正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn). 結(jié)論2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn). 結(jié)論3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn). 結(jié)論4:正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過(guò)計(jì)算找到. 構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體確定球心. 利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì),確定球心. (2)方法技巧:幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體.,2.內(nèi)切球問(wèn)題 (1)必備知識(shí): 內(nèi)切球球
19、心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等. 正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合. 正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上,但不一定重合. (2)方法技巧:體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.,3.典例剖析 典例1(2015全國(guó)2,理9)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB= 90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為() A.36B.64C.144D.256 答案:C 解析:由AOB面積確定,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積才最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉,所以VO-ABC= R=36,解得R=6,故S球=4R2=14
20、4.,典例2(2018山西太原三模,7)下圖是某四棱錐的三視圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該四棱錐的外接球的表面積為(),答案:C,解析:,典例3(2016全國(guó)3,理10)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(),答案:B 解析:由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個(gè)面相切.,變式探究1若將本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,求球O的表面積.,解 將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1, 則球O是長(zhǎng)方體AB
21、EC-A1B1E1C1的外接球. 體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑. 因此 . 故S球=4R2=169.,變式探究2若將本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”,若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,求該球的體積.,典例4(2018湖北荊州統(tǒng)考,11)在直三棱柱A1B1C1-ABC中, A1B1=3, B1C1=4,A1C1=5,AA1=2,則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為(),答案:A,反思提升1.幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的情況. (1)正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐都可構(gòu)造正方體. (2)三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都可構(gòu)造長(zhǎng)方體. (3)若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系,則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體. 2.(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí),一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解. (2)切球一般利用體積相等,把幾何體分割成以幾何體各個(gè)面為底面的小棱錐,求解切球半徑,接球半徑常用到截面圓半徑和球心距以及求半徑的直角三角形求解.也常常找到球心位置,利用平面幾何知識(shí)求解.,
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