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1、第5章 有關(guān)可數(shù)性的公理
§5.1 第一與第二可數(shù)性公理
本節(jié)重點：
掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關(guān)系；
掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關(guān)連續(xù)映射的不變性、有限可積性、可遺傳性等問題；
掌握滿足第一可數(shù)性公理的空間中在一點鄰近的性質(zhì)及序列的性質(zhì)；
掌握常見的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間,哪些是第二可數(shù)性公理空間．
從§2.6節(jié)的討論可知，基和鄰域基對于確定拓撲空間的拓撲和驗證映射的連續(xù)性都有著重要的意義，它們的元素的“個數(shù)”越少，討論起來越是方便．因此我們試圖對拓撲空間的基或鄰域基的元素“個數(shù)”加以限制，但又希望加了限制的拓
2、撲空間仍能包容絕大多數(shù)常見的拓撲空間，如：歐氏空間、度量空間等．以下的討論表明，將基或鄰域基的元素的“個數(shù)”限定為可數(shù)是恰當?shù)模?
某拓撲空間的一個基或在某一點處的一個鄰域基，如果是一個可數(shù)族，我們則分別稱之為一個可數(shù)基和一個可數(shù)鄰域基．
定義5.1.1 一個拓撲空間如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，或簡稱為空間．
定理5.1.1 實數(shù)空間R滿足第二可數(shù)性公理
證明 令B為所有以有理數(shù)為它的兩個端點的開區(qū)間構(gòu)成的族．顯然B是一個可數(shù)族．
設(shè)U是R中的一個開集，對于每一個x∈U，存在實數(shù)>0，使得以x為中心以為半徑的球形鄰域
B（
3、x,）=(x-,x+)U
選取有理數(shù)，使得
于是我們有．這也就是說U可以表示為B中某些成員之并．這證明了B是R的一個基．
R有可數(shù)基B，所以R滿足第二可數(shù)性公理．
由于離散空間中的每一個單點子集都是開集，而一個單點集不能表為異于自身的非空集合的并，因此離散空間的每一個基必定包含著它的所有單點子集．所以包含著不可數(shù)多個點的離散空間是不滿足第二可數(shù)性公理的空間．
定義5.1.2 一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡稱為空間．
定理5.1.2 每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理．
證明 設(shè)X是一個度量
4、空間，x∈X則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成x處的一個可數(shù)鄰域基．
例5.1.1 不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子．
設(shè)X是包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間．我們證明X在它的任一點處都沒有可數(shù)鄰域基．因此X不滿足第一可數(shù)性公理．
用反證法來證明這一點．設(shè)X在點x∈X處有一個可數(shù)鄰域基ψ．則對于任何y∈X,y≠x，∵，，因此 ,將這個包含關(guān)系式的兩邊分別對于X中所有的異于x的點求并，可見
由于X是一個不可數(shù)集，因此上式的左邊是一個不可數(shù)集；由于ψ中只有可數(shù)個元素，并且每一個元素的補集都是可數(shù)集，因此上式的右邊是一個可數(shù)集．矛盾．
定理5.1.3 每一個滿
5、足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理．
證明 設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個可數(shù)基．對于每一個x∈X，根據(jù)定理2.6.7，
={B∈B|x∈B}
是點x處的一個鄰域基，它是B的一個子族所以是可數(shù)族．于是X在點x處有可數(shù)鄰域基B．
定理5.1.3的逆命題不成立．因為任何一個離散空間顯然滿足第一可數(shù)性公理，而前面已經(jīng)說過包含著不可數(shù)多個點的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理．
定理5.1.4 設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y是一個滿的連續(xù)開映射．如果X滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則Y也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）．(這是
6、關(guān)于連續(xù)映射下是否保持的性質(zhì))
證明 設(shè)X滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個可數(shù)基．由于f是一個開映射，={f(B)|B∈}是由Y中開集構(gòu)成的一個可數(shù)族．只需證明是Y的一個基．設(shè)U是Y中的一個開集，則(U)是X中的一個開集．因此存在
由于f是一個滿射，我們有
即U是中某些元素的并．這完成是Y的一個基的證明．
本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證．
根據(jù)定理5.1.4可見，拓撲空間滿足第一可數(shù)性公理和滿足第二可數(shù)性公理的性質(zhì)都是拓撲不變性質(zhì)．
拓撲空間的某種性質(zhì)稱為可遺傳性質(zhì)，如果一個拓撲空間具有這個性質(zhì)那么它的任何一個子空間也都具有這
7、個性質(zhì)．
例如離散性，平庸性都是可遺傳的性質(zhì)，但連通性卻明顯是不可遺傳的．
拓撲空間的某種性質(zhì)稱為對于開子空間（或閉子空間）可遺傳的性質(zhì)，如果一個拓撲空間具有這個性質(zhì)那么它的任何一個開子空間（閉于空間）也都具有這個性質(zhì)．
例如，局部連通性雖然不是可遺傳的性質(zhì)，但對于開子空間卻是可遺傳的．（參見§4.4習(xí)題第3題）將來我們會接觸到一些對閉子空間可遺傳的性質(zhì)．
緊接著的兩個定理表明拓撲空間滿足第一（或第二）可數(shù)性公理的性質(zhì)是可遺傳的，也是有限可積的．
定理5.1.5 滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間的任何一個子空間是滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理
8、）的空間．
證明 設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個可數(shù)基．如果Y是X的一個子集，根據(jù)定理3.1.7，集族={B∩Y|B∈B}是子空間Y的一個基，它明顯是可數(shù)族．
本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證．
定理5.1.6 設(shè)是n個滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間．則積空間滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）．
證明 我們只要證明n＝2的情形．
設(shè)都是滿足第二可數(shù)性公理的空間，分別是它們的可數(shù)基．根據(jù)定理3．2．4，集族
是積空間的一個基，它明顯是一個可數(shù)族．
本定理當n＝2時關(guān)于滿足第一可數(shù)性公
9、理的情形證明類似，請讀者自己補證．
根據(jù)定理5.1.l，定理5.1.5和定理5.1.6，我們立即可知：（事實上，這個推論也容易直接證明（參見習(xí)題1）．）
推論5.1.7 n維歐氏空間的每一個子空間都滿足第二可數(shù)性公理．
本節(jié)的余下部分我們討論滿足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質(zhì)．讀者將會看到在這種拓撲空間中序列的性質(zhì)與我們在數(shù)學(xué)分析中見到過的有著較多的類似之處，特別是定理2.7.2和定理2.7.3的逆命題對于這類拓撲空間成立．
定理5.1.8 設(shè)X是一個拓撲空間．如果在x∈X處有一個可數(shù)鄰域基，則在點x處有一個可數(shù)鄰域基使得對于任何i∈有 ，即
證明 設(shè)
10、{}是點x∈X處的一個可數(shù)鄰域基．對于每一個i∈，令
容易直接驗證便是點x處的滿足定理要求的一個可數(shù)鄰域基．
(即是個鄰域基套,一個套一個的．這個定理常用來選取趨向于x的序列中的點．)
定理5.1.9 設(shè)X是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，AX．則點x∈X是集合A的一個凝聚點的充分必要條件是在集合A－{x}中有一個序列收斂于x．
證明 定理的充分性部分的證明已見于第二章定理2.7.2，以下完成必要性部分的證明．
設(shè)x∈X是集合A的一個凝聚點，并且根據(jù)定理5.1.8可設(shè)是點x處的一個可數(shù)鄰域基套，滿足條件：對于每一個，i∈，,由于，可選?。蛄衶}是在A一{
11、x}中的．我們證明lim =x(x→∞)如下：
如果U是x的一個鄰域，則由于是x處的一個鄰域基套，所以存在N＞O使得．于是當i≥N時，我們有
定理5.1.10 設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，其中X滿足第一可數(shù)性公理；x∈X．則映射f:X→Y在點x∈X處連續(xù)的充分必要條件是：如果X中的序列{}收斂于x，則Y中的序列{f()}收斂于f(x)．
證明 定理的必要性部分的證明已見于定理2.7.3，以下完成充分性部分的證明．
假設(shè)定理中陳述的條件成立，我們要證明映射f:X→Y在點x處連續(xù)．用反證法．假設(shè)映射f在點x處不連續(xù)，這也就是說f(x)有一個鄰域V,使得（V）不是x的鄰
12、域．而這又意味著，x的任何一個鄰域U都不能包含在（V）中，即對于x的任何一個鄰域U，包含關(guān)系 不成立，也就是說
總括上一段的論證可見：f（x）有一個鄰域V使得對于x的任何一個鄰域U有
現(xiàn)在設(shè)是點x處的一個可數(shù)鄰域基，滿足條件：對于每一個i∈，
?。x取使得f()∈f(U)∩，即．明顯地，序列{}收斂于x．然而序列{f()}在f（x）的鄰域V中卻沒有任何一個點，所以不收斂于f（x）．這與反證假設(shè)矛盾．因此反證假設(shè)不成立，所以映射f在點x處連續(xù)．
定理 5.1.11 設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，其中X滿足第一可數(shù)性公理．則映射f:X→Y是一個連續(xù)映射的充分必要條件是：如果X中的序列{}收斂于x∈X，則Y中的序列{f()}收斂于f（x）．
證明 這是因為一個映射是一個連續(xù)映射當且僅當這個映射在它的定義域的每一個點處連續(xù)．（參見定理2.3.5．）
作業(yè):
P139 1． 6．
《點集拓撲學(xué)》第5章 §5.1 第一與第二可數(shù)性公理
