2019高中數(shù)學 第三章 變化率與導數(shù)單元測試2 北師大版選修1-1

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1、 第三章?變化率與導數(shù) (時間：100?分鐘，滿分：120?分) 一、選擇題(本大題共?10?小題，每小題?5?分，共?50?分．在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的) 1 1．已知函數(shù)?f(x)＝ ，則?f′(x)等于( ) 3 A．－ 3 3????????????????????????????B．0 C. 3 3  D.?3 ，∴f′(x)＝(??1 解析：選?B.∵f(x)＝ 1 3??????????????3  )

2、′＝0. Δ?t C．(3＋Δ?t)m/s?????????????????? D．(?? ＋Δ?t)m/s Δ?t?????????? Δ?t f（1＋Δ?x）－3 Δ?x 2．已知某質(zhì)點的運動規(guī)律為?s＝t2＋3(s?的單位：m，t?的單位：s)，則該質(zhì)點在?t＝3?s?到 t＝(3＋Δ?t)s?這段時間內(nèi)的平均速度為( ) 9 A．(6＋Δ?t)m/s B．(6＋Δ?t＋ )m/s 9 Δ?t Δ?s （3＋Δ?t）2＋3－（32＋3） 解析：選?A.平均速度為 ＝ ＝(6＋Δ?t)m/s. 3．函數(shù)?f(x)＝x3＋x＋1，則lim ＝(

3、 ) Δ?x→0 A．1 B．4 C．5 D．0 解析：選?B.由已知得?f(1)＝3，故lim Δ?x→0 f（1＋Δ?x）－3 Δ?x f（1＋Δ?x）－f（1） Δ?x ＝lim ＝f′(1)＝3x2＋1|x＝1＝4，故選?B. Δ?x→0 4．已知函數(shù)?y＝f(x)的圖像如圖，則?f′(xA)與?f′(xB)的大小關(guān)系是( ) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定 解析：選?B.由圖像可知，f′(xA)＜f′(xB)． 5．下

4、列求導運算中正確的是( ) 1 1 1 A．(x＋x)′＝1＋x2 B．(lg?x)′＝xln?10 C．(ln?x)′＝x D．(x2cos?x)′＝－2xsin?x 1 A．6x2＋x－??－sin??x??????????????? B．6x2＋x－??＋sin??x C．6x2＋??x－??＋sin??x?????????????? D．6x2＋??x－??－sin??x ＝6x2＋??x－??－sin??x. 1 1 1 解析：選?B.(x＋x)′＝1－x2，故?A?錯；(ln?x)′＝x，故?C?錯；(x

5、2cos?x)′＝2xcos?x－ x2sin?x，故?D?錯，故選?B. 3 6．已知?y＝2x3＋?x＋cos?x，則?y′等于( ) 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 1 解析：選?D.y′＝(2x3)′＋(x3)′＋(cos?x)′ 1 2 3 3 1 7．已知曲線?y＝x3－1?與曲線?y＝3－2x2?在?x＝x0?處的切線互相垂直，則?x0?的值為( ) B.? 3 A.  3 3 3 3 C.?3  D. 3 9 3 解析：選?D.因為?y＝x3－1??

6、y′＝3x2，y＝3－??x2??y′＝－x，由題意得?3x20·(－x0)＝－1，2 1 1 3?1 3?9 0 ，即?x0＝?? 解得?x3＝3 3＝?3  ，故選?D. 8．已知函數(shù)?y＝f(x)的圖像是下列四個圖像之一，且其導函數(shù)?y＝f′(x)的圖像如圖所示， 則該函數(shù)的圖像是( ) 9．在函數(shù)?y＝x3－8x?的圖像上，其切線的傾斜角小于???的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是 D B 解析：選?B.從導函數(shù)的圖像可以看

7、出，導函數(shù)值先增大后減小，x＝0?時最大，所以函數(shù) f(x)的圖像的變化率也先增大后減小，在?x＝0?時變化率最大．A?項，在?x＝0?時變化率最小， 故錯誤；C?項，變化率是越來越大的，故錯誤；?項，變化率是越來越小的，故錯誤．?項正確． π 4 ( ) 2 A．3 C．1 B．2 D．0 解析：選?D.由于?y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由題意，得?0＜3x2－8＜1，?＜x2＜3，解得－ 3＜x＜－?? 6，?? 6＜x＜???3，所以整數(shù)?x?不存在，故不等式的整數(shù)解有?0?個． 解析：選?B.g′(x)＝2

8、，h′(x)＝??，φ?′(x)＝3x2(x≠0)．解方程?g(x)＝g′(x)，即?2x ＝2，得?x＝1，即?a＝1；解方程?h(x)＝h′(x)，即?ln?x＝??，在同一坐標系中畫出函數(shù)?y＝ln?x， y＝??的圖像(圖略)，可得?1＜x＜e，即?1＜b＜e；解方程?φ?(x)＝φ?′(x)，即?x3＝3x2(x≠0)， 11．已知?f(x)＝??x3＋3xf′(0)，則?f′(1)等于________． 12．正弦曲線?y＝sin??x?上切線斜率等于?的點的橫坐標為________． 解析：y′＝cos??x，令?cos?x＝??，x＝2kπ?± ，k∈Z. 答案：2

9、kπ?± ，k∈Z 13．f(x)＝x3－??x2＋bx＋c??的圖像存在與直線???y＝1??平行的切線，則???b??的取值范圍是 解析：由題意知，存在?x?使?f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ?＝1－12b≥0，得?b≤? . 12 f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝??. 2 ì??an???ü ?n＋1t 8 3 2 2 3 3 10．定義方程?f(x)＝f′(x)的實數(shù)根?x0?叫做函數(shù)?f(x)的“新駐點”，若函數(shù)?g(x)＝2x， h(x)＝ln?x，φ?(x)＝x3(x≠0)的“新駐點”分別為?a，b，c，則?a，b，c?的大小關(guān)系為( )

10、 A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c 1 x 1 x 1 x 得?x＝3，即?c＝3.所以?c＞b＞a. 二、填空題(本大題共?5?小題，每小題?5?分，共?25?分．把答案填在題中橫線上) 1 3 解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，令?x＝0?得 f′(0)＝3f′(0)，∴f′(0)＝0， f′(x)＝x2，∴f′(1)＝1. 答案：1 1 2 1 π 2 3 π 3 1 2 ________． 1 12 1 答案：(－∞， ] 14．已知?a?為實數(shù)，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且?f′(

11、－1)＝0，則?a＝________． 解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4， 1 2 1 答案： 15．對正整數(shù)?n，設曲線?y＝xn(1－x)在?x＝2?處的切線與?y?軸交點的縱坐標為?an，則數(shù)列 í y的前?n?項和的公式為________． 解析：由?y＝xn(1－x)得?y′＝nxn－1(1－x)＋xn(－1)， ∴f′(2)＝－n·2n－1－2n. 3 ì??an???ü 則數(shù)列ín ＋1t f′(x)＝(2ln??2)′＋(ln?x)′＝??. Δ?t 218．(

12、本小題滿分?10?分)求曲線?y＝??和?y＝x?在它們交點處的兩條切線與?x?軸所圍成的三角 ??y＝x2 令?y＝0?分別得?x＝2?和?x＝??，即它們與?x?軸的交點分別為(2，0)和(??，0)，三角形面積?S ＝??×1×|2－??|＝??. ????????????????????????????????????(3)法一：f′(x)＝ ＝ . ????????????所以?f′(x)＝ ＝ . ì?y＝ ?? 1 1 2解：由í x?得?x＝1，y＝1.即交點為(1，1)，y′＝(??)′＝－???，y′＝(x?)′＝2x， 又∵切點為(2，－2n)． ∴切線

13、方程為： y＋2n＝－(n·2n－1＋2n)(x－2)． 令?x＝0，得?an＝(n＋1)·2n. y的通項公式為?2n，由等比數(shù)列前?n?項和公式求得其和為?2n＋1－2. ? 答案：2n＋1－2 三、解答題(本大題共?5?小題，共?55?分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分?10?分)求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)f(x)＝ln(8x)； (2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)； ex＋1 ? (3)f(x)＝ex－1. 解：(1)f(x)＝2ln?2＋ln?x， 1 x (2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)＝x(x

14、3＋1)＝x4＋x， ∴f′(x)＝4x3＋1. （ex＋1）′（ex－1）－（ex＋1）（ex－1）′ －2ex （ex－1）2 （ex－1）2 ex＋1 2 ?? 法二：因為?f(x)＝ex－1＝1＋ex－1， －2（ex－1）′ －2ex （ex－1）2 （ex－1）2 17．(本小題滿分?10?分)某物體按照?s(t)＝3t2＋2t＋4?的規(guī)律作直線運動，求物體運動?4?s 時的瞬時速度． 解：由于Δ?s＝3(t＋Δ?t)2＋2(t＋Δ?t)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δ?t＋3(Δ?t)2. Δ?s ＝2＋6t＋3Δ?t， 所以當?t?趨于

15、?4s?時，即Δ?t?趨于?0?時，平均變化率趨于?26，s′(4)＝26?m/s. 導數(shù)?s′(4)表示當?t＝4?s?時物體運動的瞬時變化率，即運動的瞬時速度． 1 x 形的面積． 1 x x2 y′|x＝1＝－1，y′|x＝1＝2，過交點的切線為?y－1＝－(x－1)和?y－1＝2(x－1)． 1 1 2 2 1 1 3 2 2 4 ( 19．本小題滿分?12?分)設?y＝f(x)是二次函數(shù)，方程?f(x)＝0?有兩個相等的實根，且?f′(x) ＝2x＋1.求?y＝f(x)的函數(shù)表達式． 解：∵f′(x)＝2x＋1， ∴f(x)＝x2＋x＋c(c?

16、為常數(shù))， 又∵方程?f(x)＝0?有兩個相等的實根，即?x2＋x＋c＝0?有兩個相等的實根，Δ＝12－4c＝0， 4 即?c＝??， ∴f(x)的表達式為?f(x)＝x2＋x＋??. 解：(1)當?a＝1?時，f(x)＝x2－3x＋ln?x，f′(x)＝2x－3＋??，因為?f′(1)＝0，f(1)＝－ x 即?f′(x)＝??????????????? ＝???????????????? ， 1 4 1 4 20．(本小題滿分?13?分)已知函數(shù)?f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln?x. (1)當?a＝1?時，求曲線?y＝

17、f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)當?a≥1?時，求證：當?x∈[1，e]時，f′(x)≥0，其中?e?為自然對數(shù)的底數(shù)． 1 x 2. 所以切線方程是?y＝－2. (2)證明：函數(shù)?f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln?x?的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2) 1 ＋?， 2ax2－（a＋2）x＋1 （2x－1）（ax－1） x x 當?a≥1?時，在?x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0， 可得?f′(x)≥0. 5