2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題一 第2講 不等式與線性規(guī)劃

第2講不等式與線性規(guī)劃考情解讀1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.2.多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題1四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；變形0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)簡單指數(shù)不等式的解法當(dāng)a>1時，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；當(dāng)0<a<1時，af(x)>ag(x)f(x)<g(x)(4)簡單對數(shù)不等式的解法當(dāng)a>1時，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；當(dāng)0<a<1時，logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2五個重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a>0，b>0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a>0，b>0)3二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個常用結(jié)論(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的條件是熱點一一元二次不等式的解法例1(1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2(2)已知函數(shù)f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞增，則f(2x)>0的解集為()Ax|x>2或x<2 Bx|2<x<2Cx|x<0或x>4 Dx|0<x<4思維啟迪(1)利用換元思想，設(shè)10xt，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b，再解f(2x)>0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知條件0<10x<，解得x<lglg 2.(2)由題意可知f(x)f(x)即(x2)(axb)(x2)(axb)，(2ab)x0恒成立，故2ab0，即b2a，則f(x)a(x2)(x2)又函數(shù)在(0，)單調(diào)遞增，所以a>0.f(2x)>0即ax(x4)>0，解得x<0或x>4.故選C.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考的熱點，“三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法(1)不等式0的解集為()A(，1B，1C(，)1，)D(，1，)(2)已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0.若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A(2)C解析(1)原不等式等價于(x1)(2x1)<0或x10，即<x<1或x1，所以不等式的解集為(，1，選A.(2)pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m<0；命題q為真時，m24<0，解得2<m<2.故pq為真時，2<m<0.熱點二基本不等式的應(yīng)用例2(1)(2014·湖北)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F.如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/時；如果限定車型，l5，則最大車流量比中的最大車流量增加_輛/時(2)(2013·山東)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為()A0 B1 C. D3思維啟迪(1)把所給l值代入，分子分母同除以v，構(gòu)造基本不等式的形式求最值；(2)關(guān)鍵是尋找取得最大值時的條件答案(1)1 900100(2)B解析(1)當(dāng)l6.05時，F(xiàn)1 900.當(dāng)且僅當(dāng)v11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時當(dāng)l5時，F(xiàn)2 000.當(dāng)且僅當(dāng)v10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時比中的最大車流量增加100 輛/時(2)由已知得zx23xy4y2，(*)則1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211，所以當(dāng)y1時，的最大值為1.思維升華在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤(1)若點A(m，n)在第一象限，且在直線1上，則mn的最大值為_(2)已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為()A1 B. C2 D.答案(1)3(2)B解析(1)因為點A(m，n)在第一象限，且在直線1上，所以m，n>0，且1.所以·()2(當(dāng)且僅當(dāng)，即m，n2時，取等號)所以·，即mn3，所以mn的最大值為3.(2)2x2(xa)2a2·2a42a，由題意可知42a7，得a，即實數(shù)a的最小值為，故選B.熱點三簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思維啟迪通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題答案C解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時租金為z元，則z1 600x2 400y,x、y滿足畫出可行域如圖直線yx過點A(5,12)時縱截距最小，所以zmin5×1 6002 400×1236 800，故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)(1)已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是()A2 B2 C1 D1(2)(2013·北京)設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D.答案(1)D(2)C解析(1)畫出可行域，如圖所示w表示可行域內(nèi)的點(x，y)與定點P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1，故選D.(2)當(dāng)m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m<0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即m<m1，解得m<.1幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可3線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)定域畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；(2)平移畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；(3)求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值.真題感悟1(2014·山東)已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.> Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin y Dx3>y3答案D解析因為0<a<1，ax<ay，所以x>y.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x1，y0時，<1，A不成立B中，當(dāng)x0，y1時，ln 1<ln 2，B不成立C中，當(dāng)x0，y時，sin xsin y0，C不成立D中，因為函數(shù)yx3在R上是增函數(shù)，故選D.2(2014·浙江)當(dāng)實數(shù)x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案1，解析畫可行域如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，則a>0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1a.所以a的取值范圍是1a.押題精練1為了迎接2014年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P3，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(102P)萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為(4)萬元/萬件則促銷費用投入 萬元時，廠家的利潤最大？()A1 B1.5C2 D3答案A解析設(shè)該產(chǎn)品的利潤為y萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為2×()萬元，所以y2×()×P102Px16x(x>0)，所以y17(x1)17213(當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時取等號)，所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，故選A.2若點P(x，y)滿足線性約束條件點A(3，)，O為坐標(biāo)原點，則·的最大值為_答案6解析由題意，知(3，)，設(shè)(x，y)，則·3xy.令z3xy，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過點B時，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值為3×1×6.即·的最大值為6.(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1(2014·四川)若a>b>0，c<d<0，則一定有()A.> B.<C.> D.<答案D解析令a3，b2，c3，d2，則1，1，所以A，B錯誤；，所以<，所以C錯誤故選D.2下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析應(yīng)用基本不等式：x，y>0，(當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件當(dāng)x>0時，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當(dāng)xk，kZ時，sin x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當(dāng)x0時，有1，故選項D不正確3(2013·重慶)關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于()A. B.C. D.答案A解析由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，因a>0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2014·重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故選D.5已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為()A9 B8C7 D6答案B解析約束條件所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過A(1,4)時取得最大值，故zx2y1的最大值為12×418.二、填空題6已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1ln x)|<1的解集是_答案(，e2)解析|f(1ln x)|<1，1<f(1ln x)<1，f(3)<f(1ln x)<f(0)，又f(x)在R上為減函數(shù)，0<1ln x<3，1<ln x<2，<x<e2.7若x，y滿足條件且z2x3y的最大值是5，則實數(shù)a的值為_答案1解析畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，則當(dāng)直線z2x3y過點A(a，a)時，z2x3y取得最大值5，所以52a3a，解得a1.8若點A(1,1)在直線2mxny20上，其中mn>0，則的最小值為_答案解析點A(1,1)在直線2mxny20上，2mn2，()(21)(32)，當(dāng)且僅當(dāng)，即nm時取等號，的最小值為.三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍解(1)由x22x8>0得4<x<2，即A(4,2)yx(x1)1，當(dāng)x1>0，即x>1時y211，此時x0，符合要求；當(dāng)x1<0，即x<1時，y213，此時x2，符合要求所以B(，31，)，所以AB(4，31,2)(2)(ax)(x4)0有兩根x4或x.當(dāng)a>0時，Cx|4x，不可能CRA；當(dāng)a<0時，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a<0.故a的取值范圍為，0)10已知函數(shù)f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0<x1<1<x2<2.(1)證明：a>0；(2)若za2b，求z的取值范圍(1)證明求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)ax22bx2b.由函數(shù)f(x)在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，知x1、x2是f(x)0的兩個根，所以f(x)a(xx1)(xx2)當(dāng)x<x1時，f(x)為增函數(shù)，f(x)>0，由xx1<0，xx2<0得a>0.(2)解在題設(shè)下，0<x1<1<x2<2等價于即化簡得此不等式組表示的區(qū)域為平面aOb上的三條直線：2b0，a3b20,4a5b20所圍成的ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為A，B(2,2)，C(4,2)z在這三點的值依次為，6,8.所以z的取值范圍為(，8)11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：萬元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷售額S(單位：萬元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤LSC，且當(dāng)x2時，L3.(1)求k的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值解(1)由題意可得L因為當(dāng)x2時，L3，所以32×22，解得k18.(2)當(dāng)0<x<6時，L2x2，所以L2(x8)182(8x)182186，當(dāng)且僅當(dāng)2(8x)，即x5時取得等號當(dāng)x6時，L11x5.所以當(dāng)x5時L取得最大值6.所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時，每日的利潤可以達到最大，最大值為6萬元