高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：4-1-2 圓的一般方程

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一、選擇題 1．兩圓x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圓心連線方程為(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 [答案]　C [解析]　兩圓的圓心分別為(2，－3)、(3,0)，直線方程為y＝(x－3)即3x－y－9＝0，故選C. 2．若方程x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圓，則λ的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B. C．(1，＋∞)∪ D．R [答案]　C [解析]　D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0 解不等式得λ<或λ>1，故選C. 3．過三點A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圓的方程是(　　) A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0 C．x2＋y2－4x－2y－20＝0 D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0 [答案]　C [解析]　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 分別代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得 ，解得故選C. 4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線是以(－2,3)為圓心，4為半徑的圓，則D、E、F的值分別為(　　) A．4，－6,3 B．－4,6,3 C．－4,6，－3 D．4，－6，－3 [答案]　D [解析]　圓心為(－，－)，∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6， 又R＝代入算得F＝－3. 5．與圓x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圓心，且過(1，－1)的圓的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 [答案]　B [解析]　圓心為(2，－3)， 半徑R＝＝. 6．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲線關(guān)于y＝x對稱，則必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F [答案]　A [解析]　圓心(－，－)在直線y＝x上，所以D＝E，故選A. 7．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 [答案]　C [解析]　令a＝0，a＝1，得方程組 解得所以定點C的坐標為(－1,2)． 則圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5， 即x2＋y2＋2x－4y＝0. 8．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為(　　) A. B．5 C．2 D．10 [答案]　B [解析]　由題意，得直線l過圓心M(－2，－1)， 則－2a－b＋1＝0，則b＝－2a＋1， 所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5， 所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5. 二、填空題 9．圓心是(－3,4)，經(jīng)過點M(5,1)的圓的一般方程為________． [答案]　x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [解析]　只要求出圓的半徑即得圓的標準方程，再展開化為一般式方程． 10．圓x2＋2x＋y2＝0關(guān)于y軸對稱的圓的一般方程是________． [答案]　x2＋y2－2x＝0 [解析]　已知圓的圓心為C(－1,0)，半徑r＝1，點C關(guān)于y軸的對稱點為C′(1,0)，則已知圓關(guān)于y軸對稱的圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 11．設(shè)圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是________． [答案]　x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 [解析]　設(shè)M(x，y)，A(2，－1)，則P(2x－2,2y＋1)，將P代入圓方程得：(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即為：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 12．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上任意一點關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝________. [答案]?。? [解析]　由題意可知直線l：x－y＋2＝0過圓心， ∴－1＋＋2＝0，∴a＝－2. 三、解答題 13．判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑． [分析]　本題可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立來判斷，也可把左端配方，看右端是否為大于零的常數(shù)． [解析]　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F(xiàn)＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，當m＝2時，D2＋E2－4F＝0，它表示一個點，當m≠2時，D2＋E2－4F>0，原方程表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝＝|m－2|. 解法二：原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，當m＝2時，它表示一個點， 當m≠2時，原方程表示圓的方程． 此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝|m－2|. 規(guī)律總結(jié)：(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法：①由圓的一般方程的定義判斷D2＋E2－4F是否為正．若D2＋E2－4F>0，則方程表示圓，否則不表示圓．②將方程配方變形成“標準”形式后，根據(jù)圓的標準方程的特征，觀察是否可以表示圓． (2)在書寫本題結(jié)果時，易出現(xiàn)r＝(m－2)的錯誤結(jié)果，導(dǎo)致這種錯誤的原因是沒有理解對一個數(shù)開偶次方根的結(jié)果為非負數(shù)． 14．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為，求圓的一般方程． [分析]　根據(jù)圓心、半徑滿足的條件列出關(guān)系式，從而求出參數(shù)D與E的值． [解析]　圓心C(－，－)，∵圓心在直線x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，　① 又r＝＝， ∴D2＋E2＝20，?、? 由①②可得或 又圓心在第二象限，∴－<0即D>0， ∴ ∴圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 規(guī)律總結(jié)：在求解過程中，要注意圓心在第二象限這一限定條件，避免增解． 15．自A(4,0)引圓x2＋y2＝4的割線ABC，求弦BC中點P的軌跡方程． [分析]　由題目可獲取以下主要信息： ①點A(4,0)是定圓外一點； ②過A的直線交圓于B，C兩點． 解答本題可先設(shè)出動點P的坐標(x，y)，然后由圓的幾何性質(zhì)知OP⊥BC，再利用kOP·kAP＝－1，求出P(x，y)滿足的方程．也可由圓的幾何性質(zhì)直接得出動點P與定點M(2,0)的距離恒等于定長2，然后由圓的定義直接寫出P點的軌跡方程． [解析]　方法一：(直接法) 設(shè)P(x，y)，連接OP，則OP⊥BC， 當x≠0時，kOP·kAP＝－1，即·＝－1， 即x2＋y2－4x＝0.?、? 當x＝0時，P點坐標(0,0)是方程①的解， ∴BC中點P的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(在已知圓內(nèi)的部分)． 方法二：(定義法) 由方法一知OP⊥AP，取OA中點M，則M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2， 由圓的定義知，P的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圓內(nèi)的部分)． 規(guī)律總結(jié)：針對這個類型的題目，常用的方法有(1)直接法，(2)定義法，(3)代入法，其中直接法是求曲線方程最重要的方法，它可分五個步驟：①建系，②找出動點M滿足的條件，③用坐標表示此條件，④化簡，⑤驗證；定義法是指動點的軌跡滿足某種曲線的定義，然后據(jù)定義直接寫出動點的軌跡方程；代入法，它用于處理一個主動點與一個被動點問題，只需找出這兩點坐標之間的關(guān)系，然后代入主動點滿足的軌跡方程即可． 16．已知圓經(jīng)過點(4,2)和(－2，－6)，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的方程． [解析]　設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圓經(jīng)過點(4,2)和(－2，－6)， 代入圓的一般方程，得 設(shè)圓在x軸上的截距為x1、x2，它們是方程x2＋Dx＋F＝0的兩個根，得x1＋x2＝－D.設(shè)圓在y軸上的截距為y1、y2，它們是方程y2＋Ey＋F＝0的兩個根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.?、? 由①②③聯(lián)立解得D＝－2，E＝4，F(xiàn)＝－20. ∴所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 規(guī)律總結(jié)：在涉及圓的方程中，若已知圓心和半徑之一，設(shè)標準方程較方便；若已知圓過定點，則設(shè)一般方程較方便．