高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：2-2-2 平面與平面平行的判定

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一、選擇題 1．如果兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行線中的一條，那么這兩個(gè)平面(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．都可能 [答案]　D [解析]　過(guò)直線的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，考慮兩個(gè)面的位置要全面． 2．在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，下列正確的是(　　) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′ [答案]　D 3．如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定 [答案]　A [解析]　∵E1和F1分別是A1B1和D1C1的中點(diǎn)， ∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1， ∴A1D1∥平面BCF1E1. 又E1和E分別是A1B1和AB的中點(diǎn)， ∴A1E1綊BE，∴四邊形A1EBE1是平行四邊形， ∴A1E∥BE1， 又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1， ∴A1E∥平面BCF1E1， 又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1， ∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 4．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是(　　) A．l∥β，l?α?α∥β B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β C．l∥m，l?α，m?β?α∥β D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β [答案]　D [解析]　如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB∥CD，則直線AB∥平面DC1，直線AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取BB1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC與平面BC1不平行，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；很明顯選項(xiàng)D是兩個(gè)平面平行的判定定理，所以選項(xiàng)D正確． 5．下列結(jié)論中： (1)過(guò)不在平面內(nèi)的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行； (2)過(guò)不在平面內(nèi)的一條直線，有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行； (3)過(guò)不在直線上的一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行； (4)過(guò)不在直線上的一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面與這條直線平行． 正確的序號(hào)為(　　) A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4) [答案]　C 6．若平面α∥平面β，直線a∥α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線中(　　) A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線 C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線 D．存在唯一一條與a平行的直線 [答案]　A [解析]　當(dāng)直線a?β，B∈a上時(shí)滿足條件，此時(shí)過(guò)B不存在與a平行的直線，故選A. 7．過(guò)平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有(　　) A．4條 B．6條 C．8條 D．12條 [答案]　D [解析]　如圖所示，以E為例，易證EI，EQ∥平面DBB1D1. 與E處于同等地位的點(diǎn)還有F、G、H、M、N、P、Q，故有符合題意的直線＝8條．以I為例，易證IE∥平面DBB1D1，與I處于同等地位的點(diǎn)還有J，K，L，故有符合題意的直線4條．∴共有8＋4＝12(條)． 8．如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論： ①平面EFGH∥平面ABCD； ②平面PAD∥BC； ③平面PCD∥AB； ④平面PAD∥平面PAB. 其中正確的有(　　) A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③ [答案]　C [解析]　把平面展開(kāi)圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個(gè)側(cè)面，則它們兩兩相交． ∵AB∥CD， ∴平面PCD∥AB. 同理平面PAD∥BC. 二、填空題 9．如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________． [答案]　平行 10．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線a，在β內(nèi)總存在直線b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________(填“平行”或“相交”)． [答案]　平行 [解析]　假若α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線a，設(shè)a∩l＝A，對(duì)于β內(nèi)的任意直線b，若b過(guò)點(diǎn)A，則a與b相交，若b不過(guò)點(diǎn)A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線b∥a.故α∥β. 11. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足________時(shí)，有MN∥平面B1BDD1. [答案]　點(diǎn)M在FH上 [解析]　∵FH∥BB1，HN∥BD，F(xiàn)H∩HN＝H， ∴平面FHN∥平面B1BDD1， 又平面FHN∩平面EFGH＝FH， ∴當(dāng)M∈FH時(shí)，MN?平面FHN， ∴MN∥平面B1BDD1. 12．如下圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中， ①BM∥平面DE； ②CN∥平面AF； ③平面BDM∥平面AFN； ④平面BDE∥平面NCF. 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________． [答案]?、佗冖邰? [解析]　展開(kāi)圖可以折成如圖a所示的正方體． 在正方體中，連接AN，如圖b所示． ∵AB∥MN，且AB＝MN， ∴四邊形ABMN是平行四邊形． ∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF，∴①②正確； 如圖c所示，連接NF，BE，BD，DM，可以證明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，則平面BDM∥平面AFN，同理可證平面BDE∥平面NCF，所以③④正確． 三、解答題 13．在三棱錐P－ABC中，E、F、G分別在側(cè)棱PA、PB、PC上，且＝＝＝，求證平面EFG∥平面ABC. [分析]　要證平面EFG∥平面ABC，依據(jù)判定定理需在平面EFG內(nèi)尋找兩條相交直線分別與平面ABC平行，考慮已知條件的比例關(guān)系可產(chǎn)生平行線，故應(yīng)從比例關(guān)系入手先找線線平行關(guān)系． [證明]　在△PAB中，∵＝，∴EF∥AB， ∵EF?平面ABC，AB?平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC， ∵EF∩FG＝F，且FG?平面EFG，EF?平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABC. 總結(jié)評(píng)述：欲證“面面平行”，可證“線面平行”；證“線面平行”，可通過(guò)證“線線平行”來(lái)完成，這是立體幾何最常用的化歸與轉(zhuǎn)化的思想． 14．如圖，F(xiàn)，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中點(diǎn)，求證：平面BDF∥平面B1D1H. [證明]　取DD1中點(diǎn)E， 連AE、EF. ∵E、F為DD1、CC1中點(diǎn)， ∴EF綊CD. ∴EF綊AB， ∴四邊形EFBA為平行四邊形． ∴AE∥BF. 又∵E、H分別為D1D、A1A中點(diǎn)， ∴D1E綊HA，∴四邊形HAED1為平行四邊形． ∴HD1∥AE， ∴HD1∥BF， 由正方體的性質(zhì)易知B1D1∥BD，且已證BF∥D1H. ∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF， ∴B1D1∥平面BDF. ∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF， ∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 15．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)，求證： (1)直線EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. [證明]　(1)如圖所示，連接SB. ∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)， ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1， ∴直線EG∥平面BDD1B1. (2)連接SD.∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 16．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，BC1∥平面AB1D1? [解析]?。?. 證明如下：如圖所示， 此時(shí)D1為線段A1C1的中點(diǎn)，連接A1B交AB1于O，連接OD1. 由棱柱的定義，知四邊形A1ABB1為平行四邊形， ∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)． 在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)， ∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. ∴當(dāng)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.