《空間向量的數(shù)乘運算》教學設計

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1、 教學設計 3． 1.2 空間向量的數(shù)乘運算 整體設計 教材分析 本節(jié)課是在學習了空間向量的相關概念和空間向量加減法法則的基礎上學習的， 是空間 向量加減法法則的進一步應用和補充． 本節(jié)課在介紹實數(shù)與向量乘積的意義的基礎上引入空 間向量共線定理， 類比平面向量基本定理得到空間向量共面定理， 為后面將要學習的空間向 量基本定理打下基礎，具有承上啟下的重要作用． 因為空間向量的數(shù)乘運算以及空間向量共線定理與平面向量數(shù)乘運算以及共線定理完 全一樣， 空間向量共面定理其實就是平面向量基本

2、定理的逆定理， 所以在教學中仍應采用類 比、比較的教學方法，通過問題驅(qū)動、啟發(fā)式、自主探究式的教學方法引導學生自主地完成 本節(jié)課的學習． 課時分配 1 課時 教學目標 知識與技能 1．掌握空間向量的數(shù)乘運算及其運算律． 2．理解共線向量定理和向量共面定理． 過程與方法 1．運用類比方法，經(jīng)歷向量的數(shù)乘運算和向量共線定理由平面向空間推廣的過程； 2．引導學生借助空間幾何體理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義． 情感、態(tài)度與價值觀 1．培養(yǎng)學生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學應用能力；

3、 2．培養(yǎng)學生的空間想象能力，能借助圖形理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義； 3．培養(yǎng)學生空間向量的應用意識． 重點難點 教學重點： 1．空間向量的數(shù)乘運算及其運算律、幾何意義； 2．空間向量的加減運算在空間幾何體中的應用； 3．空間向量共線定理和共面定理． 教學難點： 1．空間想象能力的培養(yǎng)，思想方法的理解和應用； 2．空間向量的數(shù)乘運算及其幾何的應用和理解； 3．空間向量共線定理和共面定理的理解． 教學過程 引入新課 提出問題： 請同學們回憶“平面向量的數(shù)乘運算”

4、的意義是什么， 么運算律． 活動設計：首先同學之間相互交流，教師適時介入，并一一板書出來． 活動結果： (板書 ) 1．實數(shù) λ和向量 a 的乘積 λa 是一個向量．  有什么性質(zhì)， 滿足什 2.|λa|＝|λ||a|. 3． λa 的方向 ①當 λ>0時， λa 的方向和 a 方向相同； ②當 λ<0時， λa 的方向和 a 方向相反． 4．數(shù)乘運算的運算律： ① λ( μa)＝ ( λμ)a； ② λ(a＋b)＝λa＋ λb. 設計意圖： 這既復習了“平面向量的數(shù)乘

5、運算”的意義、 性質(zhì)和運算律， 又為類比得出 “空間向量的數(shù)乘運算”的意義、 性質(zhì)和運算律作好了準備， 而且在下面得出“空間向量的 數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律時，只需將“平面向量的數(shù)乘運算”中的“平面”換成 “空間”即可．何樂而不為呢！ 探究新知 提出問題 1：上節(jié)課我們已經(jīng)學習了空間向量的加減法運算，請同學們類比“平面向量 的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律，猜想 (給出 )“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律．即實數(shù) λ和向量 a 的乘積 ( λa)的意義是什么？有什么性質(zhì)？滿足什么運算律？ 活動設計：教師從 2a，－ 2a

6、的意義中發(fā)現(xiàn)并類比平面中數(shù)乘的意義對學生進行引導，學生自己畫出 2a，－ 2a 并總結 λa 的意義和運算律， 然后自由發(fā)言，教師進行補充．師生發(fā) 現(xiàn)“空間向量的數(shù)乘運算”實際上就是“平面向量的數(shù)乘運算” . 活動成果： ( 活動結果同“引入新課”中的活動結果，只需特別標明“空間向量的數(shù)乘 運算”即可 ) 設計意圖：引導學生利用已經(jīng)學過的平面向量的數(shù)乘運算的意義類比得出空間向量數(shù)乘 運算的意義，并利用空間向量的加減法運算來驗證． 提出問題 2：在學習平面向量時，共線向量是怎么定義的？我們?nèi)绾我?guī)定 0 與任意向量

7、 的關系？在空間向量中，又應當怎樣定義和規(guī)定呢？ 活動設計：學生自由發(fā)言． 活動成果：同學們一致認為，只要照搬以前的定義和規(guī)定即可，即 (板書 ) 在空間，方向 相同或相反的向量稱為共線向量．我們規(guī)定 0 與任意向量共線． 設計意圖：復習平面向量共線的定義，類比得出空間向量共線的定義． 提出問題 3： a＝ λb 是 a， b 共線的什么條件？ 活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，教師巡視指導，并注意與學生交流．在 恰當?shù)臅r機提醒學生回憶“平面向量”中兩向量共線時的結論． 活動成果： (板

8、書 ) 若 a＝λb，則 a， b 方向相同或相反，或 a＝ 0，則 a， b 共線； 若 a，b 共線， b＝ 0，則不一定存在實數(shù) λ使得 a＝ λb.所以 a＝λb 是 a，b 共線的充分不 必要條件． 若 b≠0，則若 a， b 方向相同時，存在唯一確定的實數(shù)λ＝ |a| b ，使得 a＝ λb； | | 若 a，b 方向相反時，存在唯一確定的實數(shù) λ＝－ |a|，使得 a＝ λb； |b| 若 a＝0 時，存在唯一確定的實數(shù) λ＝ 0，使得 a＝ λb.

9、 空間向量共線定理： a， b 共線 (b≠ 0) 存在唯一確定的實數(shù) λ使得 a＝ λb. 推論：如果 l 為經(jīng)過已知點 A 且平行于已知非零向量 a 的直線，那么對于任意一點 O， 點 P 在直線 l 上的充要條件是存在實數(shù) t 滿足等式 → → OP＝ OA ＋ ta.其中向量 a 叫做直線 l 的方 向向量． 設計意圖：增強對空間向量數(shù)乘運算的

10、理解和運用，引出空間向量共線定理及其推論． 提出問題 4：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．對空間任意兩個不共線的向量 a、b，如果 p＝ xa＋yb，那么向量 p 與向量 a、b 有什么位置關系？反過來， 向量 p 與向量 a、 b 有什么位置關系時， p＝ xa＋ yb? 活動設計： 學生先獨立思考， 然后小組討論； 教師先提示同學們回憶平面向量基本定理， 然后巡視指導學生討論． 活動成果：空間向量共面定理：如果兩個向量 a、b 不共線，那么向量 p 與向量 a、 b 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)

11、對 (x， y)，使 p＝xa＋ yb. 設計意圖： 引導學生由平面向量基本定理入手， 探究出空間三個不共線向量共面的充要 條件． 理解新知 →→ → 提出問題 1：空間三點 A 、B、C 共線， O 為直線外一點，若 OA ＝ xOB ＋ yOC，則 x＋ y ＝？ → → → 反之，空間四點 A 、B 、C、O，若滿足 OA＝ xOB ＋ yOC，且 x＋y＝ 1，能否得到 A 、B 、 C 三點共線？ 活動設計：學生自由發(fā)

12、言，說出自己解決問題的思路，教師進行補充． 活動成果：思路分析： A、B、C 共線 → → AB ∥AC ，利用向量共線的定理解決． → → →→ 解： ∵A 、 B、 C 三點共線， ∴ AB ∥ AC .∴ 存在唯一確定的實數(shù) λ使得 AB ＝λAC ， → →→ → → 1 → λ → 即 OB－OA ＝ λ(OC－ OA )．∴ OA ＝－ OB＋ λ－ 1 OC. λ－ 1 ∴ x＝－ 1 ， y＝ λ .∴ x＋ y＝ 1. λ－ 1

13、λ－1 → → → ，且 x＋y＝ 1， 反之 ∵OA ＝ xOB ＋yOC → → → → →→ → ∴ OA ＝ xOB ＋ (1－ x)OC ，即 OA － OC＝ x(OB －OC)． → → ∴ CA ＝ xCB . → → 三點共線． ∴CA∥CB .∴A 、B、C A 、B 、C 三點共線的充要條件是對于空間任一點 → → O，都存在 x＋ y＝ 1，使得 OA＝ xOB

14、＋ → yOC. 設計意圖： 指導學生將點共線和向量共線進行轉(zhuǎn)化， 培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想， 深化對向量 共線定理的理解． 提出問題 2：已知空間任一點 O 和不共線三點 A 、 B、 C，滿足向量關系式 → → OP＝xOA ＋ → → yOB ＋ zOC(其中 x＋y＋ z＝ 1)的點 P 與 A、 B、 C 是否共面？ 活動設計：教師指導學生根據(jù)問題 1 解決的方案思考四點共面應該如何向向量關系轉(zhuǎn)化；學生自己在練習本上解決，不能解決的小組討論解決． 活動

15、成果： 1．P、A 、B、C 四點共面 → → → 向量 PA、 PB、 PC共面． 2．P、A、B、C 四點共面的充要條件是對于空間任一點 → O，都存在 x＋ y＋ z＝ 1，使得 OP → → → ＝xOA ＋ yOB ＋zOC. 設計意圖：指導學生將點共面和向量共面進行轉(zhuǎn)化，深化對向量共面定理的理解． 運用新知 如圖，已知平行四邊形 ABCD ，過平面 AC 外一點 O 作射線 OA ， OB ， OC，OD，在 四條射線上分別取點 E，F(xiàn)，G，H ，并且使 OAOE＝OBO

16、F＝ OGOC ＝ODOH＝ k，求證： E，F(xiàn)，G，H 四點共面． → → → 思路分析： 欲證 E， F， G，H 四點共面，只需證明 EH， EF，EG共面． 證明： 因為 OAOE ＝OBOF ＝ OGOC ＝OHOD＝ k， → → → → → → → → 所以 OE＝ kOA ， OF＝ kOB ， OG ＝ kOC， OH ＝ kOD . 由于四邊形 ABCD 是平行四邊形，所以 → → →

17、 AC ＝AB ＋AD . → → → → → → → → 因此 EG＝ OG－ OE＝ k(OC －OA )＝ kAC ＝ k(AB ＋ AD ) → → → → → → → → → → ＝ k(OB － OA ＋ OD － OA )＝ OF－ OE＋ OH－OE＝ EF＋EH . 由向量共面的充要條件知 E， F， G，H 四點共面． 點評： 解決四點共面問題要等價轉(zhuǎn)化成向量共面問題． 鞏固練習 已知 E， F， G， H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB ， BC ， CD ，DA 的中

18、點，證明： E， F，G， H 四點共面． 證明： ∵ E， F， G， H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB ， BC ， CD， DA 的中點， → → → ∴ EH＝ FG＝ 1BD . 2 → → → → → ∴ EG＝ EF＋ FG＝ EF＋ EH . ∴ E， F， G， H 四點共面． 變練演編 如圖，在四棱

19、錐 P— ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， AC 、 BD 相交于點 O， E、F、 G、 H 分別是邊 PA、 PB、 PC、 PD 的中點． → (1)在圖中找出與向量 PA共線的一個向量； → → (2)在圖中找出與向量 OA ， PB共面的一個向量． → → → → 答案： (1)OG ，GO (2)AH ， CH 達標檢測

20、 1．下列命題中正確的是 ( ) A ．若向量 a 與非零向量 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線 B．向量 a， b， c 共面，即它們所在的直線共面 C．單位向量的模為 1 且共線 D．若 a∥ b，則存在唯一的實數(shù) λ，使 a＝ λb →→ → 2．空間四邊形 ABCD 中， M ，G 分別是 BC，CD 的中點，則 MG － AB ＋ AD 等于 () 3 → → →

21、 → A. 2DB B．3MG C． 3GM D ． 2MG 3．下列條件中，使 M 與 A，B，C 一定共面的是 ( ) →→→→ →1→1→ 1 → A.OM ＝ 2OA － OB －OC B.OM ＝ OA ＋ OB＋ 2 OC 5 3 → → → →→ → → C.MA ＋ MB＋ MC＝0 D.OM ＋OA＋OB＋OC＝ 0 4．有四個命題： ①若 p＝ xa＋ yb，則 p 與 a、 b 共面； ②若 p 與 a、 b 共面，則 p

22、＝ xa＋ yb； → → → ③若 MN ＝ xMA ＋ yMB ，則 M 、 N、A 、 B 共面； →→ → ④若 M 、N 、A 、 B 共面，則 MN ＝ xMA ＋ yMB . 其中真命題的個數(shù)是 ( ) A ． 1 B． 2 C． 3 D ． 4 答案： 1.A 2.B 3.C 4.B 課堂小結 1．知識收獲：空間向量的數(shù)乘運算法則和運算律；空間向量共線定理及其推論；空間 向量共面定理． 2．方法收獲： 類比方法、數(shù)形結合方法． 3．思維收獲：類比思想、

23、轉(zhuǎn)化思想． 布置作業(yè) 課本本節(jié)練習 2,3 題；補充練習． 補充練習 基礎練習 → → → 1．在四面體 O— ABC 中， OA ＝ a， OB＝b， OC＝ c，D 為 BC 的中點， E 為 AD 的中 → 點，則 OE＝ ________.( 用 a，b， c 表示 ) a b |≠ 0，且 a，b

24、 不共線時， a＋b 與 a－ b 的關系是 ( ) 2．當 | |＝| A ．共面 B．不共面 C．共線 D ．無法確定 3．已知兩個向量 1 2 → ＝e1 2 → ＝ 2e1 2→ ＝ 3e1 2 e ， e 不共線，如果 AB ＋e ， AC ＋ 8e ， AD － 3e ，則 A ， B， C， D 四點的位置關系是 ________． 1 1 1 2.A 3.共面 答案： 1. a＋ b＋ c

25、 2 4 4 拓展練習 1．數(shù)列 {a } 為等差數(shù)列， S 為其前 n 項和，空間三點 A 、B 、C 共線， O 為直線外一點， n n →→ → 且OA ＝ a1OB ＋ a101OC，則 S101＝ ________. 2．已知點 M 在平面 ABC 內(nèi)，并且對空間任一點 →→ → → O，OM ＝ xOA ＋ 1OB ＋ 1OC，則 x 的 3 3 值為 ________． 答案

26、： 1.101 2.1 2 3 設計說明 本節(jié)課介紹了空間向量的數(shù)乘運算的意義以及空間向量的共線定理和共面定理． 空間向 量的數(shù)乘運算由平面向量的數(shù)乘運算類比得到， 在平行六面體中驗證． 空間向量的共線定理由數(shù)乘運算的意義中發(fā)現(xiàn)，并經(jīng)過學生證明．空間向量共面定理由平面向量基本定理發(fā)現(xiàn)， 并結合共線定理由學生進行證明． 在理解新知環(huán)節(jié)， 重點設計問題加深對共線定理和共面定理的理解，得到三點共線和四點共面的充要條件． 本節(jié)課突出教師的主導作用和學生的主體地位， 在教師所提問題的引導下， 學生自主完成探究新知和理解新知的過程， 在運

27、用新知時進行變練演編， 加深學生對知識的理解和問題轉(zhuǎn)化的能力． 備課資料 1 如圖，在平行六面體 ABCD — A ′B ′ C′ D′中， E， F， G 分別是 A ′ D′， D′ D， D′ C′的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄孔C明： EG∥ AC. → → 思路分析： 要證明 EG∥ AC ，只需證 EG∥ AC . → uuuur →1 → 1 → 證明： ∵EG＝ ED '＋

28、 D′ G＝ AD ＋ AB ， 2 2 → → → → ， ∴EG∥ AC. AC ＝ AB ＋AD ＝ 2EG 2 已知向量 e1， e2 不共線， a＝e1＋ e2 ，b＝ 3e1－ 2e2， c＝ 2e1＋ 3e2，證明：向量 a， b， c 共面． 思路分析： 要證明向量 a， b， c 共面，只需證 a＝ mb＋ nc. 證明： 設 a＝ mb＋ nc，則 e1＋ e2＝ m(3e1－ 2e2)＋ n(2e1＋3e2)． 即 e1＋ e2＝ (3m＋ 2n)e1＋ (3n－ 2m)e2. 3m＋2n＝ 1， m＝ 1 ， 13 ∴ 解得 5 3n－ 2m＝ 1， n＝ 13. 1 5 ∴ a＝13b＋ 13c. ∴ 向量 a， b， c 共面． (設計者：殷賀 )