高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：1-3-2 球的體積和表面積

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一、選擇題 1．球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于 (　　) A.　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [答案]　D 2．半徑為R的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積是(　　) A．2R3 B.πR3 C.R3 D.R3 [答案]　C 3．把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為(　　) A．R B．2R C．3R D．4R [答案]　D 4．一個正方體與一個球表面積相等，那么它們的體積比是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝. 5．已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的表面積的比是(　　) A．6:5 B．5:4 C．4:3 D．3:2 [答案]　D [解析]　設(shè)球的半徑為R，則圓柱的高h(yuǎn)＝2R，底面的半徑也為R，∴＝＝. 6．(2012～2013山東臨清中學(xué)高一第三次月考試題)已知長方體一個頂點(diǎn)上三條棱的長分別是3、4、5，且它的頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是(　　) A．20 B．25 C．50π D．200π [答案]　C [解析]　長方體的體對角線即為球的直徑，∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π. 7．下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π [答案]　D [解析]　本題是三視圖還原為幾何體的正投影問題，考查識圖能力，空間想像能力．由題設(shè)可知，該幾何體是圓柱的上面有一個球，圓柱的底面半徑為1，高為3，球的半徑為1，∴該幾何體的表面積為 2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π. 8．64個直徑都為的球，記它們的體積之和為V甲，表面積之和為S甲；一個直徑為a的球，記其體積為V乙，表面積為S乙，則(　　) A．V甲>V乙且S甲>S乙 B．V甲S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙 [答案]　C [解析]　計(jì)算得V甲＝πa3，S甲＝4πa2，V乙＝πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙． 二、填空題 9．用過球心的平面將一個球平均分成兩個半球，則兩個半球的表面積和是原來整球表面積的________倍． [答案]　 [解析]　S球＝4πR2,2S半＝(2πR2＋πR2)×2＝6πR2， ＝＝. 10．若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱、圓錐、球的體積的比為________． [答案]　3:1:2 [解析]　V柱＝πR2×2R＝2πR3， V錐＝πR2×2R＝R3， V球＝πR3. V柱:V錐:V球＝3:1:2. 11．已知棱長為2的正方體的體積與球O的體積相等，則球O的半徑為________． [答案]　 [解析]　設(shè)球O的半徑為r，則πr3＝23， 解得r＝ 12．(2010·湖北高考)圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm. [答案]　4 [解析]　設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8 cm的水的體積為8πr2,3個球的體積和為3×πr3＝4πr3，由題意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4. 三、解答題 13．(2012～2013·福建廈門高一檢測)如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求該幾何體的表面積和體積． [解析]由三視圖可知此幾何體是半徑為2的半球． S＝×4πR2＋πR2＝12π， V＝πR3×＝π. 14．一試管的上部為圓柱形，底部為與圓柱底面半徑相同的半球形．圓柱形部分的高為h cm，半徑為r cm.試管的容量為108π cm3，半球部分容量為全試管容量的. (1)求r和h； (2)若將試管垂直放置，并注水至水面離管口4 cm處，求水的體積． [解析]　(1)∵半球部分容量為全試管容量的， ∴半球部分與圓柱體部分容量比為， 即＝ ∴h＝r，πr3×＝108π× ∴r＝3(cm)，h＝10(cm)． (2)V＝πr3×＋πr2×(h－4) ＝π×33×＋π×32×6＝72π(cm3)． 15．體積相等的正方體、球、等邊圓柱(軸截面為正方形)的全面積分別是S1、S2、S3，試比較它們的大小． [解析]　設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，等邊圓柱的底面半徑為r，則S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2. 由題意知，πR3＝a3＝πr2·2r， ∴R＝a，r＝a， ∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2， S3＝6π2＝6π·a2＝a2， ∴S23a2＝a2，即S1>S3. ∴S1、S2、S3的大小關(guān)系是S2

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