高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第四篇 第4講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及性質

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第4講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及性質 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1.(2013·蘭州模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象對應的函數(shù)解析式為 (　　)． A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin 解析　由所給圖象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，則f(x)＝sin的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應的函數(shù)解析式為y＝sin＝sin，故選D. 答案　D 2．(2013·東營模擬)將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ個單位，得到函數(shù)y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的圖象，由題意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值為. 答案　C 3．(2012·浙江)把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是 (　　)． 解析　把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y＝cos x＋1的圖象，然后把所得函數(shù)圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝cos(x＋1)的圖象，故選A. 答案　A 4．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，則下列結論中正確的是 (　　)． A．函數(shù)y＝f(x)·g(x)的周期為2 B．函數(shù)y＝f(x)·g(x)的最大值為1 C．將f(x)的圖象向左平移個單位后得到g(x)的圖象 D．將f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)的圖象 解析　∵f(x)＝sin＝cos x， g(x)＝cos＝cos＝sin x， ∴y＝f(x)·g(x)＝cos x·sin x＝sin 2x. T＝＝π，最大值為，∴選項A，B錯誤． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<的部分圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________. 解析　因為＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.將代入解析式可得：π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝. 答案　2　 6．(2012·長沙調研)已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 解析　∵f(x)與g(x)的圖象的對稱軸完全相同，∴f(x)與g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范圍是. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)(2012·陜西)函數(shù)f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設α∈，f＝2，求α的值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3，∴A＋1＝3，即A＝2， ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為， ∴最小正周期T＝π， ∴ω＝2，故函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin＋1. (2)f＝2sin＋1＝2，即sin＝， ∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，故α＝. 8．(13分)(2012·山東)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． 解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A＝A sin. 因為A＞0，由題意知A＝6. (2)由(1)知f(x)＝6sin. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位后得到 y＝6sin＝6sin的圖象； 再將得到圖象上各點橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象． 因此g(x)＝6sin. 因為x∈，所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域為[－3,6]． B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2012·濰坊期末)如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置P(x，y)．若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系為 (　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　由題意可得，函數(shù)的初相位是，排除B，D.又函數(shù)周期是60(秒)且秒針按順時針旋轉，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故選C. 答案　C 2．(2012·東莞二模)若函數(shù)f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)的圖象關于點M對稱，且在x＝處函數(shù)有最小值，則a＋ω的一個可能的取值是 (　　)． A．0 B．3 C．6 D．9 解析　因為函數(shù)f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)＝·sin(ωx＋φ)的圖象關于點M對稱，且在x＝處函數(shù)有最小值，所以必有k，n∈Z，兩式相減得：＝(k－2n)π＋，即ω＝6(k－2n)＋3＝6m＋3，k，n，m∈Z，結合四個選項，ω可能取到的值是3或9.將ω＝6m＋3，k，n，m∈Z代入f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)，得y＝sin(6m＋3)x＋acos(6m＋3)x.當圖象關于點M對稱時，有sin＋acos＝0，即a＝0.所以函數(shù)解析式應為f(x)＝sin ωx(ω>0)． 回驗a＋ω＝3時的函數(shù)性質與題設中在x＝處函數(shù)有最小值不符，故只有a＋ω＝9，故選D. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·東北四校一模)已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則φ的值為________． 解析　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0時，有－≤x≤－，此時函數(shù)單調遞增，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則必有 解得故φ＝. 答案　 4．設函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，且其圖象關于直線x＝對稱，則在下面四個結論中： ①圖象關于點對稱；②圖象關于點對稱；③在上是增函數(shù)；④在上是增函數(shù)． 其中正確結論的編號為________． 解析　∵y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π， ∴ω＝＝2，又其圖象關于直線x＝對稱， ∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z. 由φ∈，得φ＝，∴y＝sin. 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)． ∴y＝sin關于點對稱．故②正確． 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∴函數(shù)y＝sin的單調遞增區(qū)間為 (k∈Z)． ∵(k∈Z)．∴④正確． 答案?、冖? 三、解答題(共25分) 5．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ 2sin＋cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因為f(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)∵將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象， ∴g(x)＝f＝2sin[＋] ＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴當x＋＝，即x＝時，sin＝1，g(x)取得最大值2. 當x＋＝，即x＝π時，sin＝－，g(x)取得最小值－1. 6．(13分)(2012·安徽)設函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)設函數(shù)g(x)對任意x∈R，有g＝g(x)，且當x∈時，g(x)＝－f(x)．求g(x)在區(qū)間[－π，0]上的解析式． 解　(1)f(x)＝cos＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x， 故f(x)的最小正周期為π. (2)當x∈時，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故 ①當x∈時，x＋∈. 由于對任意x∈R，g＝g(x)， 從而g(x)＝g＝sin ＝sin(π＋2x)＝－sin 2x. ②當x∈時，x＋π∈. 從而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x. 綜合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式為 g(x)＝ 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.