高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第九篇 第4講 橢圓

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第4講 橢 圓 A級　基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．橢圓＋y2＝1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點(diǎn)為P，則|PF2|＝ (　　)． A. B. C. D．4 解析　a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨設(shè)F1為左焦點(diǎn)，P在x軸上方，則F1(－，0)，設(shè)P(－，m)(m>0)，則＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根據(jù)橢圓定義：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝. 答案　A 2．(2012·江西)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 (　　)． A. B. C. D.－2 解析　因?yàn)锳，B為左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c. 又因?yàn)閨AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2. 所以離心率e＝＝，故選B. 答案　B 3．(2013·嘉興測試)已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　)． A. B. C.∪ D.∪ 解析　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1.當(dāng)m>1時，e2＝1－∈，解得m>；當(dāng)0b>0)的中心為O，左焦點(diǎn)為F，A是橢圓上的一點(diǎn).·＝0且·＝2，則該橢圓的離心率是 (　　)． A. B. C．3－ D．3＋ 解析　因?yàn)椤ぃ?，且·＝·(－)，所以·＝2，所以||＝||＝c，所以||＝c，且∠AOF＝45°，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)是F′，在△AOF′中，由余弦定理可得AF′＝ c，由橢圓定義可得AF＋AF′＝ c＋ c＝2a，即(1＋)c＝2a，故離心率e＝＝＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·青島模擬)設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為________． 解析　拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴橢圓方程為＋＝1. 答案?。? 6．(2013·佛山模擬)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，則橢圓C：＋＝1的離心率為________． 解析　由題意，得a4＝10，設(shè)公差為d，則a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，·＝0，若橢圓的離心率等于. (1)求直線AO的方程(O為坐標(biāo)原點(diǎn))； (2)直線AO交橢圓于點(diǎn)B，若三角形ABF2的面積等于4，求橢圓的方程． 解　(1)由·＝0，知AF2⊥F1F2， ∵橢圓的離心率等于，∴c＝a，可得b2＝a2. 設(shè)橢圓方程為x2＋2y2＝a2. 設(shè)A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c， ∴A(c，y0)，代入橢圓方程可得y0＝a， ∴A，故直線AO的斜率k＝， 直線AO的方程為y＝x. (2)連接AF1，BF1，AF2，BF2， 由橢圓的對稱性可知，S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2， ∴·2c·a＝4. 又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8. 故橢圓方程為＋＝1. 8．(13分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2. (1)求橢圓C的焦距； (2)如果＝2，求橢圓C的方程． 解　(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2. 所以橢圓C的焦距為4. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l(fā)的傾斜角為60°，知y1<0，y2>0， 直線l的方程為y＝(x－2)． 由消去x， 整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因?yàn)椋?，所以－y1＝2y2， 即＝2·，解得a＝3. 而a2－b2＝4，所以b2＝5. 故橢圓C的方程為＋＝1. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1. (2013·廈門質(zhì)檢)已知F是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓2＋y2＝相切于點(diǎn)Q，且＝2Q，則橢圓C的離心率等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　記橢圓的左焦點(diǎn)為F′，圓2＋y2＝的圓心為E，連接PF′，QE. ∵|EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝，＝2Q， ∴＝＝，∴PF′∥QE， ∴＝，且PF′⊥PF. 又∵|QE|＝(圓的半徑長)，∴|PF′|＝b. 據(jù)橢圓的定義知：|PF′|＋|PF|＝2a，∴|PF|＝2a－b. ∵PF′⊥PF，∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2， ∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2，∴2(a2－c2)＋b2＝2ab， ∴3b2＝2ab，∴b＝，c＝＝a，＝， ∴橢圓的離心率為. 答案　A 2．(2012·山東)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn)，以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為 (　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2012·泰安一模)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，且滿足∠MAB＝30°，則該雙曲線的離心率為________． 解析　如圖，以F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝c2，雙曲線的漸近線為y＝x. 由得M(a，b)， ∴△MAB為直角三角形． ∴在Rt△MAB中，tan 30°＝＝＝. ∴＝.∴e＝ ＝ ＝. 答案　 4.如圖，∠OFB＝，△ABF的面積為2－，則以O(shè)A為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)的橢圓方程為________． 解析　設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 由題可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a， ∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b. S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b ＝(2b－b)b＝2－， ∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴橢圓的方程為＋＝1. 答案?。? 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2012·南京二模) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2)．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T在橢圓C上． (1)解　由題意知，b＝＝. 因?yàn)殡x心率e＝＝，所以＝ ＝. 所以a＝2. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明　由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(－x0，y0)， 則直線PM的方程為y＝x＋1， ① 直線QN的方程為y＝x＋2. ② 法一　聯(lián)立①②解得x＝，y＝， 即T.由＋＝1，可得x＝8－4y. 因?yàn)?＋2＝ ＝＝＝＝1， 所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上． 法二　設(shè)T(x，y)，聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝. 因?yàn)椋?，所以2＋2＝1. 整理得＋＝(2y－3)2， 所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1. 所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上． 6．(13分)(2012·重慶) 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形． (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程． 解　(1) 如圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)． 因△AB1B2是直角三角形， 又|AB1|＝|AB2|， 故∠B1AB2為直角， 因此|OA|＝|OB2|，得b＝. 結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2， 故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝. 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2， 故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由題設(shè)條件S△AB1B2＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1. (2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根， 因此y1＋y2＝，y1·y2＝－， 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝－－＋16＝－， 由PB2⊥QB2，得·＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝±2. 所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.