高一數學（人教A版）必修2能力強化提升：3-1-2 兩條直線平行與垂直的判定

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一、選擇題 1．下列命題 ①如果兩條不重合的直線斜率相等，則它們平行； ②如果兩直線平行，則它們的斜率相等； ③如果兩直線的斜率之積為－1，則它們垂直； ④如果兩直線垂直，則它們的斜率之積為－1. 其中正確的為(　　) A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全錯 [答案]　B [解析]　當兩直線l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合時，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1，故①③正確；當兩直線都與x軸垂直時，其斜率不存在，但它們也平行，故②錯；當兩直線中一條直線與x軸平行(或重合)，另一條直線與x軸垂直時，它們垂直，但一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在，故④錯． 2．過點A(1,2)和點B(－3,2)的直線與x軸的位置關系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不對 [答案]　B [解析]　∵A、B兩點縱坐標相等， ∴直線AB與x軸平行． 3．已知直線l1和l2互相垂直且都過點A(1,1)，若l1過原點O(0,0)，則l2與y軸交點的坐標為(　　) A．(2,0) B．(0,2) C．(0,1) D．(1,0) [答案]　B [解析]　設l2與y軸交點為B(0，b)， ∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1. ∴kOAkAB＝－1. ∴×＝－1， 解得b＝2，即l2與y軸交點的坐標為(0,2)． 4．已知直線l1經過兩點(－1，－2)，(－1,4)，直線l2經過兩點(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，則y＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．1 [答案]　D [解析]　∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0， ∴y＝1.故選D. 5．直線l1的斜率為2，l1∥l2，直線l2過點(－1,1)且與y軸交于點P，則P點坐標為(　　) A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3) [答案]　D [解析]　設P(0，y)　∵l1∥l2　∴＝2 ∴y＝3　故選D. 6．滿足下列條件的直線l1與l2，其中l(wèi)1∥l2的是(　　) ①l1的斜率為2，l2過點A(1,2)，B(4,8) ②l1經過點P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x軸，但不經過P點； ③l1經過點M(－1,0)，N(－5，－2)，l2經過點R(－4，3)，S(0,5)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ [答案]　B 7．已知兩點A(2,0)、B(3,4)，直線l過點B，且交y軸于點C(0，y)，O是坐標原點，且O、A、B、C四點共圓，那么y的值是(　　) A．19 B. C．5 D．4 [答案]　B [解析]　由于A、B、C、O四點共圓， 所以AB⊥BC　∴·＝－1　∴y＝ 故選B. 8．過點E(1,1)和點F(－1,0)的直線與過點M(－，0)和點N(0，)(k≠0)的直線的位置關系是(　　) A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 [答案]　C [解析]　kEF＝＝，kMN＝＝， 又當k＝2時，EF與MN重合． 二、填空題 9．經過點P(－2，－1)和點Q(3，a)的直線與傾斜角是45°的直線平行，則a＝________. [答案]　4 [解析]　由題意，得tan45°＝，解得a＝4. 10．已知△ABC的三個頂點分別是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，點D(m,1)在邊BC的高所在的直線上，則實數m＝________. [答案]　 [解析]　由題意得AD⊥BC，則有kADkBC＝－1， 所以有·＝－1，解得m＝. 11．直線l過點A(0,1)和B(－2,3)，直線l繞點A順時針旋轉90°得直線l1，那么l1的斜率是______；直線l繞點B逆時針旋轉15°得直線l2，則l2的斜率是______． [答案]　1　－ [解析]　∵kAB＝－1，∴直線l的傾斜角α＝135°. (1)∵l1與l垂直，∴kl1＝1. (2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°， ∴∠β＝135°＋15°＝150°， ∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－. 12．直線l1，l2的斜率k1，k2是關于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根，若l1⊥l2，則b＝________；若l1∥l2，則b＝________. [答案]　2　－ [解析]　當l1⊥l2時，k1k2＝－1， ∴－＝－1.∴b＝2. 當l1∥l2時，k1＝k2， ∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－. 三、解答題 13．直線l1經過點A(m,1)，B(－3,4)，直線l2經過點C(1，m)，D(－1，m＋1)，當l1∥l2或l1⊥l2時，分別求實數m的值． [解析]　當l1∥l2時， 由于直線l2的斜率存在，則直線l1的斜率也存在， 則kAB＝kCD，即＝，解得m＝3； 當l1⊥l2時， 由于直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，則kABkCD＝－1， 即·＝－1，解得m＝－. 綜上，當l1∥l2時，m的值為3；當l1⊥l2時，m的值為－. 14．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求點D的坐標； (2)試判定?ABCD是否為菱形？ [解析]　設D(a，b)，∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴kAB＝kCD，kAD＝kBC， ∴，解得， ∴D(－1,6)． (2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1， ∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD. ∴?ABCD為菱形． 15．已知四邊形ABCD的頂點A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形． [分析]　分類討論直角梯形ABCD的腰和底，利用直線平行和垂直的斜率關系解決． [解析]　(1)如下圖，當∠A＝∠D＝90°時， ∵四邊形ABCD為直角梯形， ∴AB∥DC且AD⊥AB. ∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1. (2)如下圖，當∠A＝∠B＝90°時， ∵四邊形ABCD為直角梯形， ∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1. ∴ 解得m＝，n＝－. 綜上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 16．已知定點A(－1,3)，B(4,2)，以A、B為直徑的端點作圓與x軸有交點C，求交點C的坐標． [分析]　本題中有三個點A、B、C，由于AB為直徑，C為圓上的點，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，則必有kAC·kBC＝－1.列出方程求解即可． [解析]　以線段AB為直徑的圓與x軸交點為C，則AC⊥CB.據題設條件可知AC，BC的斜率均存在．設C(x,0)，則kAC＝，kBC＝. ∴·＝－1.去分母解得x＝1或2. ∴C(1,0)或C(2,0)． 規(guī)律總結：當AC或BC的斜率不存在時，不滿足AC⊥BC.這是很明顯的(上圖)．故不需對AC或BC斜率不存在的情形作討論．