高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第八篇 第8講 立體幾何中的向量方法(二)
第8講 立體幾何中的向量方法(二)A級基礎(chǔ)演練(時(shí)間:30分鐘滿分:55分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量、法向量,若cosm,n,則l與所成的角為 ()A30° B60° C120° D150°解析設(shè)l與所成的角為,則sin |cosm,n|,30°.答案A2正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱BB1中點(diǎn),G是DD1中點(diǎn),F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FBBC,則GB與EF所成的角為 ()A30° B120° C60° D90°解析如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA1,由已知條件,得G,B,E,F(xiàn),cos,0,則.答案D3長方體ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 ()A. B. C. D.解析建立坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2)(1,0,2),(1,2,1),cos,.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案B4(2013·杭州月考)在正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin,的值為 ()A. B. C. D.解析設(shè)正方體的棱長為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可知(2,2,1),(2,2,1),cos,sin,答案B二、填空題(每小題5分,共10分)5(2013·連云港模擬)若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1),直線l的一個(gè)方向向量為a(2,3,3),則l與所成角的正弦值為_解析cosn,a.又l與所成角記為,即sin |cosn,a|.答案.6如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90°,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是_解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),則(0,1,1),(2,0,2),·2,cos,EF和BC1所成角為60°.答案60°三、解答題(共25分)7(12分)如圖,四面體ABCD中,AB、BC、BD兩兩垂直,ABBCBD4,E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值;(2)求E到平面ACD的距離;(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值解如圖,分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,4)、C(4,0,0)、D(0,4,0),E(2,0,0)、F(0,2,2)(1)(0,0,4),(2,2,2),|cos,|,異面直線AB與EF所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n(x,y,1),則(4,0,4),(4,4,0),xy1,n(1,1,1,)F平面ACD,(2,2,2),E到平面ACD的距離為d.(3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cosn,|8(13分)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,ADBC,ABC90°,PA平面ABCD,PA3,AD2,AB2,BC6.(1)求證:BD平面PAC;(2)求二面角PBDA的大小(1)證明如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),(0,0,3),(2,6,0),(2,2,0)·0,·0.BDAP,BDAC.又PAACA,BD面PAC.(2)解設(shè)平面ABD的法向量為m(0,0,1),設(shè)平面PBD的法向量為n(x,y,z),則n·0,n·0.(2,0,3),解得令x,則n(,3,2),cosm,n.二面角PBDA的大小為60°.B級能力突破(時(shí)間:30分鐘滿分:45分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1如圖,在四面體ABCD中,AB1,AD2,BC3,CD2.ABCDCB,則二面角ABCD的大小為 ()A.B.C.D.解析二面角ABCD的大小等于AB與CD所成角的大小.而22222|·|·cos ,即121492×2cos,cos,AB與CD所成角為,即二面角ABCD的大小為.故選B.答案B2如圖,設(shè)動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上,記.當(dāng)APC為鈍角時(shí),則的取值范圍是 ()A. B.C. D.解析由題設(shè)可知,以、為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)由(1,1,1),得(,),所以(,)(1,0,1)(1,1),(,)(0,1,1)(,1,1)顯然APC不是平角,所以APC為鈍角等價(jià)于cos APCcos,0,這等價(jià)于·0,即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0,得 1.因此,的取值范圍為.答案D二、填空題(每小題5分,共10分)3(2011·全國)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_解析如圖,建立直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA1由已知條件A(1,0,0),E,F(xiàn),設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,z),面AEF與面ABC所成的二面角為,由得令y1,z3,x1,則n(1,1,3)平面ABC的法向量為m(0,0,1)cos cosn,m,tan .答案4在三棱錐OABC中,三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OAOBOC,M是AB邊的中點(diǎn),則OM與平面ABC所成角的正切值是_解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)OAOBOC1,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),M,故(1,1,0),(1,0,1),.設(shè)平面ABC的法向量為n(x,y,z),則由得令x1,得n(1,1,1)故cosn,所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為,其正切值為.答案三、解答題(共25分)5(12分)(2012·新課標(biāo)全國)如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBCAA1,D是棱AA1的中點(diǎn),DC1BD.(1)證明:DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小(1)證明由題設(shè)知,三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn),故DCDC1.又ACAA1,可得DCDC2CC,所以DC1DC.而DC1BD,DCBDD,所以DC1平面BCD.因?yàn)锽C平面BCD,所以DC1BC.(2)解由(1)知BCDC1,且BCCC1,則BC平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1兩兩相互垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz.由題意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2)則(0,0,1),(1,1,1),(1,0,1)設(shè)n(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,則即可取n(1,1,0)同理,設(shè)m(x,y,z)是平面C1BD的法向量,則即可取m(1,2,1)從而cosn,m.故二面角A1BDC1的大小為30°.6.(13分)(2012·全國)如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA底面ABCD,AC2,PA2,E是PC上的一點(diǎn),PE2EC.(1)證明:PC平面BED;(2)設(shè)二面角APBC為90°,求PD與平面PBC所成角的大小(1)證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AC為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,則P(0,0,2),E,B.于是(2,0,2),從而·0,·0,故PCBE,PCDE.又BEDEE,所以PC平面BDE.(2)解(0,0,2),(,b,0)設(shè)m(x,y,z)為平面PAB的法向量,則m·0,且m·0,即2z0且xby0,令xb,則m(b,0)設(shè)n(p,q,r)為平面PBC的法向量,則n·0,且n·0,即2p2r0且bqr0,令p1,則r,q,n.因?yàn)槊鍼AB面PBC,故m·n0,即b0,故b,于是n(1,1,),(,2),cosn,n,60°.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和n,互余,故PD與平面PBC所成的角為30°.特別提醒:教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容.