2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式課件 新人教A版選修4-5.ppt

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1、二 一般形式的柯西不等式,1.三維形式的柯西不等式 設(shè)α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),則 ≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時(shí),即β=0,或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,3)時(shí),等號(hào)成立. 做一做 若a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,則ax+by+cz的取值范圍是 . 解析：由三維形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)2≤49=36,所以-6≤ax+by+cz≤6. 答案：[-6,6],,2.一般形式的柯

2、西不等式 設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實(shí)數(shù),則 (a1b1+a2b2+…+anbn)2, 當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.,,,,名師點(diǎn)撥一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣,其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié),左邊是平方和的積,右邊是積的和的平方.在使用時(shí),關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式.,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.,,√,,探究一,探究二,思維辨析,利用三維形

3、式的柯西不等式解決問(wèn)題 分析：結(jié)合柯西不等式,將不等式左邊添乘(a+b+c)進(jìn)行證明.,探究一,探究二,思維辨析,反思感悟應(yīng)用柯西不等式證明不等式的方法與技巧 應(yīng)用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵是首先根據(jù)待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造符合柯西不等式的形式及特點(diǎn),然后利用柯西不等式進(jìn)行證明.構(gòu)造符合柯西不等式的形式時(shí),可以有以下幾種方法,(1)巧拆常數(shù);(2)重新安排各項(xiàng)的次序;(3)改變式子的結(jié)構(gòu);(4)添項(xiàng)等.,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練1 已知x,y,z為實(shí)數(shù),求證(x+2y+3z)2≤14(x2+y2+z2). 證明：由柯西不等式可知(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y

4、+3z)2,,探究一,探究二,思維辨析,【例2】 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為 . 分析：由a+2b+3c與a2+4b2+9c2的關(guān)系是前者各項(xiàng)平方和為后者,則可將a2+4b2+9c2添乘(12+12+12),從而構(gòu)造三維形式的柯西不等式進(jìn)行求解. 解析：由柯西不等式可得(a2+4b2+9c2)(12+12+12)=[a2+(2b)2+(3c)2](12+12+12)≥(a1+2b1+3c1)2=(a+2b+3c)2=62=36,即3(a2+4b2+9c2)≥36,則a2+4b2+9c2≥12,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立.又a+2b+3c=6,

5、可得a=2,b=1,c= ,故a2+4b2+9c2的最小值為12. 答案：12,探究一,探究二,思維辨析,反思感悟應(yīng)用柯西不等式求最值的方法與技巧 應(yīng)用柯西不等式求最值的關(guān)鍵首先是根據(jù)已知條件,構(gòu)造符合柯西不等式的形式及特點(diǎn),然后利用柯西不等式求解最值.構(gòu)造符合柯西不等式的形式時(shí),可以有以下幾種方法,(1)巧乘常數(shù);(2)添項(xiàng);(3)改變式子的結(jié)構(gòu);(4)重新安排各項(xiàng)的次序等.,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練2 已知x,y,z為實(shí)數(shù),且 +z2=2,求x+y+z的最大值.,探究一,探究二,思維辨析,利用一般形式的柯西不等式解決問(wèn)題 【例3】若ai,bi∈R+(i=1,2,…,n), 分

6、析：首先將a1b1+…+anbn改寫(xiě)為 ,同時(shí),將不等式左邊第二項(xiàng)也進(jìn)行類似改寫(xiě),然后利用一般形式的柯西不等式即可證明.,探究一,探究二,思維辨析,反思感悟運(yùn)用一般形式的柯西不等式解決問(wèn)題的關(guān)鍵是首先將所給代數(shù)式進(jìn)行整理變形,使之符合柯西不等式的基本形式,然后運(yùn)用柯西不等式.,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練3 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),求證(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2). 證明：由柯西不等式可得4(a2+b2+c2+d2)=(12+12+12+12)(a2+b2+c2+d2)≥(1a+1b+1c+1d)2=(a+b+c+d)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)

7、,等號(hào)成立),故原不等式成立.,探究一,探究二,思維辨析,忽視柯西不等式等號(hào)成立的條件致錯(cuò) 典例已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t的最小值. 錯(cuò)解求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值. 故u=ax+by+cz的最大值為5,從而t的最小值為5.,正解求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.由柯西不等式,得 u2=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=19=9,u=ax+by+cz≤3,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)u=ax+by+cz的最大值為3,從而t的最小值為3.,探究一,探究二,思維辨析,糾錯(cuò)心得本題

8、錯(cuò)誤在于利用基本不等式求最值時(shí),忽視了等號(hào)成立的條件從而得到錯(cuò)誤結(jié)果.有些求最值問(wèn)題,如果無(wú)法利用基本不等式求最值,可考慮采用柯西不等式求最值,本題利用柯西不等式很容易求最值.,探究一,探究二,思維辨析,答案：4,1 2 3 4 5,,,,,,1.若a,b,c,x,y,z∈R,則下列不等式中不正確的是( ) A.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2 B.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ay+bz+cx)2 C.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(az+bx+cy)2 解析：對(duì)照柯西不等式可知,選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 答案：D,1 2 3 4

9、 5,,,,,,2.n個(gè)正數(shù)的和與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是 ( ) A.1 B.n C.n2 D.,答案：C,1 2 3 4 5,,,,,,3.已知a2+b2+c2+d2=10,則ab+bc+cd+ad的最小值為 ( ) A.10 B.-10 C.100 D.-100 解析：由柯西不等式得(ab+bc+cd+ad)2≤(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)=100,當(dāng)且僅當(dāng) ,即|a|=|b|=|c|=|d|時(shí),等號(hào)成立.所以|ab+bc+cd+ad|≤10,即-10≤ab+bc+cd+ad≤10. 答案：B,1 2 3 4 5,,,,,,4.若x2+y2+z2=5,則2x+y+2z的最大值為 . 解析：由柯西不等式可得(22+12+22)(x2+y2+z2)≥(2x+y+2z)2,當(dāng)且僅,1 2 3 4 5,,,,,,