2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt

2.3.2 平面與平面垂直的判定,目標導(dǎo)航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,點擊進入 情境導(dǎo)學,知識探究,1.二面角 (1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的 ,這兩個半平面叫二面角的 .圖中的二面角可記作:二面角-AB-或-l-或P-AB-Q.,棱,面,(2)二面角的平面角:如圖,在二面角-l-的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作 的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角.,垂直于棱l,探究2:教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角? 答案:可以構(gòu)成三個二面角,如圖所示. 分別是-a-,-c-,-b-. 這三個二面角都是90.,直角,2.平面與平面垂直 (1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是 ,就說這兩個平面互相垂直.平面與垂直,記作 .,直二面角,(2)判定定理,另一個平面的垂線,探究2:過平面外一點,可以作多少個與已知平面垂直的平面? 答案:無數(shù)多個. 過平面外一點可以作平面的一條垂線,過此垂線可以作出無數(shù)個平面,這些平面都與已知平面垂直.,自我檢測,1.(二面角)下列結(jié)論:(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角; (2)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個半平面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補. (3)二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個半平面內(nèi)作射線所成角的最小角; (4)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系. 其中正確的是( ) (A) (B) (C) (D),B,2.(判定定理)對于直線m,n和平面,能得出的一個條件是( ) (A)mn,m,n (B)mn,=m,n (C)mn,n,m (D)mn,m,n,3.(二面角)在二面角-l-的棱l上任選一點O,若AOB是二面角-l-的平面角,則必須具有的條件是( ) (A)AOBO,AO,BO (B)AOl,BOl (C)ABl,AO,BO (D)AOl,BOl,且AO,BO,C,D,4.(面面垂直的判定)已知l,則過l與垂直的平面( ) (A)有1個 (B)有2個 (C)有無數(shù)個 (D)不存在,C,5.(二面角)三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PAB,PBC都是邊長為2的正三角形,AC= ,則二面角A-PB-C的大小為 .,答案:60,6.(面面垂直判定定理)在三棱錐P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,則在三棱錐P-ABC的四個面中,互相垂直的面有 對.,答案:3,題型一,求二面角,【例1】如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中:,課堂探究素養(yǎng)提升,(1)求二面角D-AB-D的大小;,解:(1)在正方體ABCD-ABCD中,AB平面ADDA,所以ABAD, ABAD,因此DAD為二面角D-AB-D的平面角,在RtDDA中, DAD=45. 所以二面角D-AB-D的大小為45.,(2)若M是CD的中點,求二面角M-AB-D的大小.,解:(2)因為M是CD的中點,所以MA=MB,取AB的中點N,連接MN,則MNAB.取CD的中點H,連接HN,則HNAB. 從而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45. 所以二面角M-AB-D的大小為45.,方法技巧 (1)二面角的平面角滿足:頂點在二面角的棱上;兩邊分別在二面角的兩個半平面內(nèi);兩邊分別與二面角的棱垂直. (2)二面角的平面角是兩條射線所成的角,因此二面角不一定是銳角,其范圍為0180.,即時訓練1-1:已知D,E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點,且A1D=2B1E=B1C1.求過D,E,C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.,解:如圖所示,在平面AA1B1B內(nèi)延長DE和A1B1交于點F,則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點.于是C1F為這兩個平面的交線.因而,所求二面角即為二面角D-C1F-A1. 因為A1DB1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分別為DF和A1F的中點. 因為A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1A1C1. 又因為CC1平面A1B1C1,FC1平面A1B1C1,所以CC1FC1. 又因為A1C1,CC1為平面AA1C1C內(nèi)的兩條相交直線, 所以FC1平面AA1C1C. 因為DC1平面AA1C1C,所以FC1DC1. 所以DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角. 由已知A1D=A1C1, 則DC1A1=45. 故所求二面角的大小為45.,【備用例1】在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的正方形,PD平面ABCD, PD=a. (1)求證:AC平面PBD;,(1)證明:因為四邊形ABCD為正方形, 所以ACBD, 又PD平面ABCD, 所以ACPD, 又PDBD=D, 所以AC平面PBD.,(2)求二面角P-BC-D的平面角;,(2)解:因為四邊形ABCD為正方形,所以BCCD, 又PD平面ABCD,所以BCPD. 又CDPD=D,所以BC平面PCD, 所以BCPC, 所以PCD為二面角P-BC-D的平面角, 在RtPCD中,因為PD=DC=a, 所以PCD=45, 即二面角P-BC-D的平面角為45.,(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.,題型二,平面與平面垂直的判定,【例2】 (1)如圖(1)在四面體ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求證:平面ABD平面BCD;,(2)如圖(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點,點E在AC上,且DEA1E. 求證:平面A1AD平面BCC1B1; 求證:平面A1DE平面ACC1A1.,證明:(2)因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱, 所以BB1平面ABC,又AD平面ABC, 所以ADBB1,又D為BC的中點, 所以ADBC,又BCBB1=B, 所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADA1, 所以平面A1AD平面BCC1B1. 因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱, 所以AA1平面ABC,又DE平面ABC, 所以AA1DE,又DEA1E,A1EAA1=A1,所以DE平面ACC1A1, 又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1.,證明:因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱, 所以AA1平面A1B1C1, 又FB1平面A1B1C1,所以AA1FB1, 又A1B1C1為等邊三角形, F為A1C1的中點,所以B1FA1C1, 又A1C1AA1=A1,所以B1F平面ACC1A1,又B1F平面AB1F, 所以平面AB1F平面ACC1A1.,變式探究:若本例中(2)改為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F為A1C1的中點,求證:平面AB1F平面ACC1A1.,方法技巧 判定兩平面垂直的常用方法:(1)定義法:即說明兩個平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直,即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;(3)性質(zhì)法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.,即時訓練2-1:如圖所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.,證明:法一 (利用定義證明),法二 (利用判定定理)因為SA=SB=SC,且BSA=CSA=60, 所以SA=AB=AC, 所以點A在平面SBC上的射影為SBC的外心. 因為SBC為直角三角形, 所以點A在SBC上的射影D為斜邊BC的中點, 所以AD平面SBC. 又因為AD平面ABC, 所以平面ABC平面SBC.,【備用例2】 (2018石家莊期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD的中點.若PA平面ABCD,PA=AD,求證:平面AEC平面PDC.,證明:因為PA平面ABCD,CD平面ABCD, 所以PACD, 又ADCD,且ADPA=A, 所以CD平面PAD, 又AE平面PAD, 所以CDAE. 因為PA=AD,E為PD中點, 所以AEPD. 又CDPD=D, 所以AE平面PDC, 又AE平面AEC, 所以平面AEC平面PDC.,【備用例3】 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1= AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點.,(1)證明:因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面 所以BB1AB, 又因為ABBC,BB1BC=B, 所以AB平面B1BCC1, 因為AB平面ABE. 所以平面ABE平面B1BCC1.,(1)求證:平面ABE平面B1BCC1;,(2)求證:C1F平面ABE;,(3)求三棱錐E-ABC的體積.,題型三,線面垂直、面面垂直的綜合問題,【思考】 如何作二面角的平面角? 提示:作二面角的三種常用方法: (1)定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖,則AOB為二面角-l-的平面角.,(2)垂直法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角. (3)垂線法:過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則AOB為二面角的平面角或其補角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角.,【例3】 如圖,在三棱錐P-ABC中,PA平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 . (1)求證:平面PAB平面ABC;,(2)E為BA的延長線上一點,若二面角P-EC-B的大小為30,求BE的長.,方法技巧 (1)證明垂直關(guān)系時要注意利用線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化. (2)求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,這就需要緊扣它的三個條件,即這個角的頂點是否在棱上;角的兩邊是否分別在兩個半平面內(nèi);這兩邊是否都與棱垂直.在具體作圖時,還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:線面的垂直,圖形的對稱性,與棱垂直的面等.,即時訓練3-1:如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED;,(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD. 又BE平面ABCD,所以BEAC,又BDBE=B, 所以AC平面BED,又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED.,(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積.,謝謝觀賞！,