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1、
第二講 數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和
研熱點（聚焦突破）
類型一 數(shù)列的通項問題
1．累加法求通項：形如an＋1－an＝f(n)．
2．累乘法求通項：形如＝f(n)．
3．構(gòu)造法：形如：an＋1＝pan＋q.
4．已知Sn求an，即an＝
[例1] (2012年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解析] (1)當(dāng)n＝1時，T1＝2S1－12.
因為T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.
(2)當(dāng)n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝
2、2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，
所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
②－①得an＋1＝2an＋2.
所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)．
當(dāng)n＝1時，a1＋2＝3，a2＋2＝6，則＝2，所以當(dāng)n＝1時也滿足上式．所以{an＋2}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.
跟蹤訓(xùn)練
數(shù)列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，數(shù)列{an}的通項公式為________．
解析：由題意，當(dāng)n≥2時，
3、a1·a2·a3·…·an＝n2，①
故當(dāng)n＝2時，有a1·a2＝22＝4，
又因為a1＝1，所以a2＝4.
故當(dāng)n≥3時，
有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，②
由，得an＝.
而當(dāng)n＝1時，a1＝1，不滿足上式，n＝2時，滿足上式．
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝
答案：
類型二 數(shù)列求和
數(shù)列求和的方法技巧
(1)轉(zhuǎn)化法
有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并；
(2)錯位相減法
這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{
4、an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列；
(3)裂項相消法
利用通項變形，將通項分裂成兩項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和．
[例2] (2012年高考浙江卷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
[解析] (1) 由Sn＝2n2＋n，得
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
所以an＝4n－1，n∈N*.
由4n－1＝an＝4log2bn＋
5、3，得bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]
＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
跟蹤訓(xùn)練
(2012年高考課標(biāo)全國卷)數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為( )
A．3 690 B．3 660
C．1 845
6、 D．1 830
解析：利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解．
∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1 830.
答案：D
類型三 數(shù)列的綜合應(yīng)用
7、
1．?dāng)?shù)列的綜合應(yīng)用多涉及函數(shù)、不等式、解析幾何等知識．
2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性的判斷方法：
(1)作差：an＋1－an與0的關(guān)系；
(2)作商：與1的關(guān)系．
[例3] (2012年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.
[解析] (1)∵a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，
∴2(a2＋5)＝a1＋a3.
又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1，
∴2
8、a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7.
由得∴a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，①
∴當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝an－2n＋1.②
①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n，
∴an＋1＝3an＋2n.
兩邊同除以2n＋1得＝·＋，
∴＋1＝(＋1)．
又由(1)知＋1＝(＋1)，∴數(shù)列{＋1}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
∴＋1＝·()n－1＝()n，∴an＝3n－2n，
即數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2n.
(3)證明：∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n
＝C·1n·20＋C·1n－1·21＋C·1n－2·22＋…＋C·10
9、·2n－2n
＝1＋2n＋2(n2－n)＋…＋2n－2n
>1＋2n＋2(n2－n)＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)，
∴＝<＝·，
∴＋＋…＋
<1＋[＋＋…＋]
＝1＋(1－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－<，
即＋＋…＋<.
跟蹤訓(xùn)練
(2012年北京東城模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，(n≥2，n∈N)．
(1)試判斷數(shù)列{＋(－1)n}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(2)設(shè)cn＝ansin ，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn.求證：對任意的n∈N*，Tn<.
解析：(1)由an＝得
＝＝(－1)n－，
所以＋(－1)n＝2·(－1)n－
＝
10、－2[＋(－1)n－1]．
又－1＝3≠0，
故數(shù)列{＋(－1)n}是首項為3，公比為－2的等比數(shù)列．
(2)證明：由(1)得＋(－1)n＝3·(－2)n－1.
所以＝3·(－2)n－1－(－1)n，
an＝，
所以cn＝ansin ＝(－1)n－1
＝<.
所以Tn<＝[1－()n]<.
析典題（預(yù)測高考）
高考真題
【真題】 (2012年高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資
11、金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元．
(1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式；
(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)．
【解析】 (1)由題意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d.
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d
＝()2an－2－d－d
＝…
＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]．
整理得an＝
12、()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1]
＝()n－1(3 000－3d)＋2d.
由題意，知am＝4 000，
即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
即該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元．
【名師點睛】 本題考查利用遞推數(shù)列求通項的方法，考查綜合利用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是求出遞推關(guān)系an＋1＝an－d，并變形求an.
考情展望
高考對數(shù)列的通項與求和的考查多以解答題形式出現(xiàn)，主要考查an與Sn的關(guān)系，以及錯位相減求和、裂項求和及分組轉(zhuǎn)化求和，難度中檔偏
13、上．
名師押題
【押題】 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)不等式組(n∈N*)表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)的整點(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)的個數(shù)為an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.求證：數(shù)列{bn＋6n＋9}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{bn}的通項公式．
【解析】 (1)由得0
2013年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四第二講 數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和教案 理
