高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第六篇 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法

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第六篇 數(shù) 列 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法 A級　基礎演練 (時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a100等于 (　　)． A．1 B．－1 C．2 D．0 解析　法一　由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得該數(shù)列為1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…. 由此可得此數(shù)列周期為6，故a100＝－1. 法二　an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1， 兩式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an， ∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1. 答案　B 2．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，則此數(shù)列是 (　　)． A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列 解析　∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴當n≥2時，Sn－1＋Sn＝an. 兩式相減得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)． 當n＝1時，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0， ∴an＝0(n∈N*)，故選C. 答案　C 3．(2013·北京朝陽區(qū)一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝ (　　)． A．－16 B．16 C．31 D．32 解析　當n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1， 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)． ∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16. 答案　B 4．(2013·山東省實驗中學測試)將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為梯形數(shù)，根據(jù)圖形的構成，此數(shù)列的第2 014項與5的差即a2 014－5＝(　　)． A．2 020×2 012 B．2 020×2 013 C．1 010×2 012 D．1 010×2 013 解析　結合圖形可知，該數(shù)列的第n項an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故選D. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．數(shù)列{an}的通項公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前________項的和最大． 解析　易知a1＝20>0，顯然要想使和最大，則應把所有的非負項求和即可，這樣只需求數(shù)列{an}的最末一個非負項．令an≥0，則－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可見，當n＝11時，a11＝0，故a10是最后一個正項，a11＝0，故前10或11項和最大． 答案　10或11 6．(2013·杭州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________；an＝________. 解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝， 則an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n. 答案　2　n 三、解答題(共25分) 7．(12分)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通項公式． 解　∵an＝an－1＋(n≥2)， ∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)． 又a1＋2＝3，故數(shù)列{an＋2}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．∴an＋2＝3n， 即an＝3n－2. 8．(13分)(2013·西安質檢)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． (1)證明　當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當n＝1時，a1＝不適合上式． 故an＝ B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．在數(shù)列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，則x2 013＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．－ C. D．1 解析　將x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再將x2代入xn＋1＝－1， 得x3＝1，所以數(shù)列{xn}的周期為2，故x2 013＝x1＝1. 答案　D 2．定義運算“*”，對任意a，b∈R，滿足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．設數(shù)列{an}的通項為an＝n**0，則數(shù)列{an}為(　　)． A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列 解析　由題意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，顯然數(shù)列{an} 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；又函數(shù)y＝x＋在[1，＋∞)上為增函數(shù)， 所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列． 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·合肥模擬)已知f(x)為偶函數(shù)，f(2＋x)＝f(2－x)，當－2≤x≤0時，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，則a2 013＝________. 解析　∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)． 故f(x)周期為4， ∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 答案　 4．(2012·太原調(diào)研)設函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)， ∴?2a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)． 6．(13分)(2012·山東)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù) 列{bm}的前m項和Sm. 解　(1)因為{an}是一個等差數(shù)列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28. 設數(shù)列{an}的公差為d，則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)對m∈N*，若9m＜an＜92m， 則9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1， 故得bm＝92m－1－9m－1. 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝－ ＝. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設 計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.