高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第八篇 第6講 空間向量及其運(yùn)算

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第6講 空間向量及其運(yùn)算 A級(jí)　基礎(chǔ)演練 (時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．在下列命題中： ①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； ②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； ③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c，共面； ④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故②錯(cuò)誤；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0，故選A. 答案　A 2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝ (　　)． A．－4 B．－2 C．4 D．2 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案　D 3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是(　　)． A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析　若c、a＋b、a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底． 答案　C 4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為 (　　)． A．0 　　　　 B. C. 　　　　 D. 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c， 由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是________． ①＝2－－；②＝＋＋； ③＋＋＝0；④＋＋＋＝0； 解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，則、、為共面向量，即M、A、B、C四點(diǎn)共面． 答案?、? 6.在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝________. 解析　如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c， ·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0. 答案　0 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足＝(＋＋)． (1)判斷、、三個(gè)向量是否共面； (2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)． 解　(1)由已知＋＋＝3 ， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，，共面且基線過(guò)同一點(diǎn)M， ∴四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)． 8．(13分)如右圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心， (1)試證：A1、G、C三點(diǎn)共線； (2)試證：A1C⊥平面BC1D； (3)求點(diǎn)C到平面BC1D的距離． (1)證明　＝＋＋＝＋＋， 可以證明：＝(＋＋)＝， ∴∥，即A1、G、C三點(diǎn)共線． (2)證明　設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可證：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D. (3)解　∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2， 即||＝a，因此||＝a. 即C到平面BC1D的距離為a. B級(jí)　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·海淀月考)以下四個(gè)命題中正確的是 (　　)． A．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示 B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間向 量的另一組基底 C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0 D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同時(shí)為1，設(shè)μ≠1，則a＝b＋c，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾． 答案　B 2．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是 (　　)． A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析?。剑剑?－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知在一個(gè)60°的二面角的棱上，如圖有兩個(gè)點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c， 由已知條件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6， 〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60° ||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2 ＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68， 則||＝2. 答案　2 cm 4．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值等于________． 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c. OA與BC所成的角為θ， ·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16. ∴cos θ＝＝＝. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三點(diǎn)共線． 證明　設(shè)＝a，＝b，＝c，則 ＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B、G、N三點(diǎn)共線． 6．(13分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，計(jì)算： (1)·；(2)·；(3)EG的長(zhǎng)； (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 解　設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝， (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－； (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是(0°，90°]， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.