高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：4-2-2 圓與圓的位置關(guān)系

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一、選擇題 1．圓C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置關(guān)系為(　　) A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．外離 [答案]　C [解析]　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，則d＝|C1C2|＝2，∴d＝|r1－r2|.∴兩圓內(nèi)切． 2．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交點(diǎn)為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 [答案]　A [解析]　直線AB的方程為：4x－4y＋1＝0，因此線段AB的垂直平分線斜率為－1，過圓心(1,0)，方程為y＝－(x－1)，故選A. 規(guī)律總結(jié)：兩圓相交時(shí)，公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心，故連心線所在直線就是弦AB的垂直平分線． 3．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圓C2與圓C1關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則圓C2的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25 [答案]　B [解析]　設(shè)⊙C2上任一點(diǎn)P(x，y)，它關(guān)于(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25. 4．兩圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0與x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 [答案]　C [解析]　r1＝2，r2＝3，d＝5，由于d＝r1＋r2所以兩圓外切，故公切線有3條，選C. 5．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長(zhǎng)，則a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是(　　) A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0 C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 [答案]　B [解析]　利用公共弦始終經(jīng)過圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心即可求得．兩圓的公共弦所在直線方程為：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它過圓心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0. 6．兩圓x2＋y2＝16與(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則R＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 [答案]　C [解析]　設(shè)一個(gè)交點(diǎn)P(x0，y0)，則x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0， ∵兩切線互相垂直， ∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16. ∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3. 7．(2012～2013·湖南長(zhǎng)沙模擬)若圓(x－a)2＋(y－a)2＝4上，總存在不同的兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D. [答案]　C [解析]　圓(x－a)2＋(y－a)2＝4的圓心C(a，a)，半徑r＝2，到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)的集合構(gòu)成一個(gè)圓，這個(gè)圓的圓心是原點(diǎn)O，半徑R＝1，則這兩個(gè)圓相交，圓心距d＝＝|a|，則|r－R|r1＋r2＝3， ∴圓O和圓C外離，無公共點(diǎn)，∴A∩B＝?. 二、填空題 9．圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直線方程是________． [答案]　4x＋3y－2＝0 [解析]　兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x＋3y－2＝0. 10．若點(diǎn)A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，則圓(x－a)2＋y2＝1與圓x2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系是________． [答案]　外切 [解析]　∵點(diǎn)A(a，b)在圓x2＋y2＝4上， ∴a2＋b2＝4. 又圓x2＋(y－b)2＝1的圓心C1(0，b)，半徑r1＝1， 圓(x－a)2＋y2＝1的圓心C2(a,0)，半徑r2＝1， 則d＝|C1C2|＝＝＝2， ∴d＝r1＋r2.∴兩圓外切． 11．與直線x＋y－2＝0和圓x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． [答案]　(x－2)2＋(y－2)2＝2 [解析]　已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－6)2＝18，則過圓心(6,6)且與直線x＋y－2＝0垂直的方程為x－y＝0.方程x－y＝0分別與直線x＋y－2＝0和已知圓聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由題意知所求圓在已知直線和已知圓之間，故所求圓的圓心為(2,2)，半徑為，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2. 12．已知點(diǎn)P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________． [答案]　3－5 [解析]　兩圓的圓心和半徑分別為C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2， ∴d＝|C1C2|＝>r1＋r2＝5.∴兩圓外離． ∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3－3－2＝3－5. 三、解答題 13．已知圓O：x2＋y2＝25和圓C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B兩點(diǎn)，求公共弦AB的長(zhǎng)． [解析]　兩圓方程相減得弦AB所在的直線方程為4x＋2y－5＝0. 圓x2＋y2＝25的圓心到直線AB的距離d＝＝， ∴公共弦AB的長(zhǎng)為|AB|＝2＝2＝. 14．求經(jīng)過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程． [分析]　→ →→ [解析]　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－28λ－4＝0， 故圓心為(－，－)， 將橫縱坐標(biāo)代入x－y－4＝0得 －＋－4＝0， 解之，得λ＝－7， 于是所求圓的方程為(1－7)x2＋(1－7)y2＋6x－42y＋192＝0， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 規(guī)律總結(jié)：本題也可利用以下方法求解：(1)求出公共弦所在直線方程，進(jìn)而求出其垂直平方線方程，與直線x－y－4＝0聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)，然后求出半徑，可得圓的方程；(2)求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榻稽c(diǎn)在所求圓上，故可利用待定系數(shù)法求解． 15．求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓C的方程． [解析]　方法一：聯(lián)立兩圓方程 相減得公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0. 再由 聯(lián)立得兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圓以公共弦為直徑， ∴圓心C是公共弦的中點(diǎn)(2，－2)，半徑為 ＝5. ∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25. 方法二：由方法一可知公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ為參數(shù))． 可求得圓心C(－，－)． ∵圓心C在公共弦所在直線上， ∴4·＋3·－2＝0， 解得λ＝. ∴圓C的方程為x2＋y2－4x＋4y－17＝0. 16．(09·江蘇文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4 (1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程； (2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)． [解析]　(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心C1(－3,1)到直線l的距離為d＝， 因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2， ∴4＝()2＋d2，∴k(24k＋7)＝0， 即k＝0或k＝－， 所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0 (2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－(x－a)，因?yàn)镃1和C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等， 即＝ 整理得：|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|， ∴1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk， 即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5. 因?yàn)閗的取值有無窮多個(gè)，所以 ，或， 解得或 這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P1或點(diǎn)P2. 經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿足題目條件．