高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：3-3-2 兩點(diǎn)間的距離公式

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一、選擇題 1．已知點(diǎn)A(a,0)，B(b,0)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為(　　) A．a(chǎn)－b B．b－a C. D．|a－b| [答案]　D [解析]　代入兩點(diǎn)間距離公式． 2．一條平行于x軸的線段長(zhǎng)是5個(gè)單位，它的一個(gè)端點(diǎn)是A(2,1)，則它的另一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5) [答案]　A [解析]　∵AB∥x軸，∴設(shè)B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7. 3．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. [答案]　C [解析]　|AB|＝＝＝，∴當(dāng)a＝時(shí)，|AB|取最小值． 4．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，－1)，則|AB|等于(　　) A．5 B．4 C．2 D．2 [答案]　C [解析]　設(shè)A(x,0)、B(0，y)，由中點(diǎn)公式得x＝4，y＝－2，則由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|＝＝＝2. 5．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，則三角形AB邊上的中線長(zhǎng)為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(－1，－1)． ∴|CD|＝＝； 故選A. 6．已知三點(diǎn)A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　C [解析]　|AB|＝＝3， |BC|＝＝， |AC|＝＝， ∴|AC|＝|BC|≠|(zhì)AB|， 且|AB|2≠|(zhì)AC|2＋|BC|2. ∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等邊三角形． 7．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過(guò)定點(diǎn)A、B，則|AB|等于(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　易得A(0，－2)，B(－1，)． 8．在直線2x－3y＋5＝0上求點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A(2,3)距離為，則P點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(5,5) B．(－1,1) C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1) [答案]　C [解析]　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則y＝， 由|PA|＝得(x－2)2＋(－3)2＝13， 即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5， 當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝1， 當(dāng)x＝5時(shí)，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)． 二、填空題 9．已知點(diǎn)M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，則實(shí)數(shù)m＝________. [答案]　1或3 [解析]　由題意得＝2，解得m＝1或m＝3. 10．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，則a＝________. [答案]　 [解析]?。?， 解得a＝. 11．已知點(diǎn)A(4,12)，在x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [答案]　(9,0)或(－1,0) [解析]　設(shè)P(a,0)，則＝13， 解得a＝9或a＝－1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,0)或(－1,0)． 12．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(7,8)、B(10,4)、C(2，－4)，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為_(kāi)_______． [答案]　 三、解答題 13．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， (1)求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)； (2)證明△ABC為等腰直角三角形． [解析]　(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， ∵點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，∴即M(2,2)， 由兩點(diǎn)間的距離公式得： |AM|＝＝. ∴BC邊上的中線AM長(zhǎng)為. (2)由兩點(diǎn)間的距離公式得 |AB|＝＝2， |BC|＝＝2， |AC|＝＝2， ∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC為等腰直角三角形． 14．求證：等腰梯形的對(duì)角線相等． [證明]　已知：等腰梯形ABCD. 求證：AC＝BD. 證明：以AB所在直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性質(zhì)知B(a,0)，C(－b，c)． 則|AC|＝＝， |BD|＝＝， ∴|AC|＝|BD|. 即：等腰梯形的對(duì)角線相等． 15．已知直線l1：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，過(guò)點(diǎn)A作直線l2與已知直線交于點(diǎn)B且|AB|＝5，求直線l2的方程． [解析]　當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則 ?(k＋2)x＝k＋7， 而k≠－2，故解得x＝，所以B(，)， 又由|AB|＝5，利用兩點(diǎn)間距離公式得 ＝5?k＝－， 此時(shí)l2的方程為3x＋4y＋1＝0. 而當(dāng)l2的斜率不存在時(shí)，l2的方程為x＝1. 此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,4)，則|AB|＝|4－(－1)|＝5，也滿足條件綜上，l2的方程為3x＋4y＋1＝0或x＝1. 16．如下圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪設(shè)兩條筆直的小路，已知矩形花園的長(zhǎng)AD＝5 m，寬AB＝3 m，其中一條小路定為AC，另一條小路過(guò)點(diǎn)D，問(wèn)是否在BC上存在一點(diǎn)M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？若存在，則求出小路DM的長(zhǎng)． [分析]　建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)幾何問(wèn)題為代數(shù)運(yùn)算． [解析]　以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． 因?yàn)锳D＝5 m，AB＝3 m， 所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)． 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0)，因?yàn)锳C⊥DM， 所以kAC·kDM＝－1， 即·＝－1. 所以x＝3.2，即BM＝3.2， 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3.2,0)時(shí)，兩條小路AC與DM相互垂直． 故在BC上存在一點(diǎn)M(3.2,0)滿足題意． 由兩點(diǎn)間距離公式得DM＝＝.