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第2講 一元二次不等式及其解法
A級 基礎演練
(時間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2012·南通二模)已知f(x)＝則不等式f(x)
2，因此x<0.
綜上，x<4.故f(x)0，不等式－c0，∴－0的解集是 ( )．
A．(0,1)∪(，＋∞) B．(－，1)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(－，)
解析 原不等式等價于或
∴x>或00的解集為，則不等式－cx2＋2x－a>0的解集為________．
解析 由ax2＋2x＋c>0的解集為知a<0，且－，為方程ax2＋2x＋c＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集為(－2,3)．
答案 (－2,3)
6．在實數(shù)集上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析 由題意知(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a.故－x2＋x＋a2－a<1對任意x∈R都成立．
即－x2＋x<－a2＋a＋1對任意x∈R都成立．
而－x2＋x＝－2＋≤，只需－a2＋a＋1>即可，即4a2－4a－3<0，解得－4的解集為{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)因為不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實數(shù)根，且b>1.
由根與系數(shù)的關系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0為x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①當c>2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|22時，不等式的解集為{x|20，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的條件下，
因為＋＝＝m－2，
所以＋＝2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范圍是{m|01的解集為 ( )．
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
解析 ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有兩個不同的零點，
又f(x)在(－2，－1)上有一個零點，則f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－1即為－x2－x>0，
解得－10對x∈R恒成立，則關于t的不等式a2t＋10對x∈R恒成立，
則Δ＝4a2－4a<0，所以0t2＋2t－3>0，
即所以10恒成立，則b的取值范圍是________．
解析 依題意，f(x)的對稱軸為x＝1，且開口向下，
∴當x∈[－1,1]時，f(x)是增函數(shù)．
若f(x)>0恒成立，則f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
4．(2012·浙江)設a∈R，若x>0時均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，則a＝________.
解析 顯然a＝1不能使原不等式對x>0恒成立，故a≠1且當x1＝，a≠1時原不等式成立．對于x2－ax－1＝0，設其兩根為x2，x3，且x20.當x>0時，原不等式恒成立，故x1＝滿足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝或a＝0(舍去)．
答案
三、解答題(共25分)
5．(12分)設函數(shù)f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求所有的實數(shù)a，使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立．
注 e為自然對數(shù)的底數(shù)．
解 (1)因為f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a＞0，所以f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，＋∞)．
(2)由題意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，
要使e－1≤f(x)≤e2，對x∈[1，e]恒成立，
只要解得a＝e.
6．(13分)(2013·金華模擬)設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個零點為m，n(m0的解集；
(2)若a>0，且00，即a(x＋1)(x－2)>0.
當a>0時，不等式F(x)>0的解集為{x|x<－1或x>2}；當a<0時，不等式F(x)>0的解集為{x|－10，且00.
∴f(x)－m<0，即f(x)
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