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1、春風(fēng)化雨，潤物無聲
本次活動圍繞函數(shù)的概念，以《變量與函數(shù)》和《正比例函數(shù)》為課題，觀摩了三節(jié)研究課，課后進(jìn)行了深入的研討．其中所包含的數(shù)學(xué)思想方法的精髓，猶如“春風(fēng)化雨”，融入到課堂教學(xué)之中，必將發(fā)生深遠(yuǎn)的影響．本文擬對函數(shù)概念的理解、對函數(shù)概念教學(xué)的思考以及對函數(shù)思想方法的感悟談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識．
感想之一：理解??
1．函數(shù)概念的發(fā)展
我們熟知，概念是人們對客觀事物在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，經(jīng)過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動，逐步認(rèn)識到它的本質(zhì)屬性以后才形成的．函數(shù)的概念也不例外．
縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，從早期幾何觀念下的函數(shù)，到十八世紀(jì)代數(shù)觀念下的函數(shù)，
2、到十九世紀(jì)對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)，再到現(xiàn)代的集合論下的函數(shù)，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度，不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，逐漸形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式．
1930年，提出的現(xiàn)代函數(shù)定義為：若對集合M的任意元素，總有集合Ｎ確定的元素與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為．元素稱為自變元，元素稱為因變元．
2．初中學(xué)段的函數(shù)概念
在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)無疑是一個核心概念．初中學(xué)段引入的函數(shù)概念，是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，強(qiáng)調(diào)的是對于函數(shù)概念的形式化的定義，用“變量”來描述函數(shù)；到高中之后，再進(jìn)一步從集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)，來刻畫函數(shù)的概念．
初中學(xué)段的函數(shù)定義為：在一個變化過程中，如果有
3、兩個變量和，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與它對應(yīng)，則稱為自變量，為的函數(shù)．
分析這個定義對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，它強(qiáng)調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對應(yīng)”，并且明確了“對是單值對應(yīng)”，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對“映射”的要求 ，但是沒有從“集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域．
可見，目前我們初中學(xué)段所涉及的函數(shù)定義的核心，應(yīng)該僅僅是函數(shù)概念三個要素中的對應(yīng)關(guān)系，并且明確其為“單值對應(yīng)”關(guān)系．
3．教材中函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式
人教版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材對函數(shù)概念的引入方式為：實(shí)際例子（問題）→數(shù)學(xué)解答→從過程中提煉出函數(shù)概念．這種方式注重了函數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)背景，強(qiáng)化了問
4、題中的“變化與對應(yīng)”的關(guān)系，所呈現(xiàn)的函數(shù)概念結(jié)構(gòu)較系統(tǒng)和完整．
其中，所突顯的函數(shù)定義中的核心問題，就是“變化與對應(yīng)”，主要包括了兩層含義：第一，兩個變量是互相聯(lián)系的，一個變量變化時，另一個變量也發(fā)生變化；第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的．這是關(guān)于函數(shù)的最基本、最樸素的刻畫．
感想之二：運(yùn)用
本次活動圍繞函數(shù)的概念，以“變量與函數(shù)”和“正比例函數(shù)”為課題的三節(jié)研究課，均涉及到數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，三節(jié)課都經(jīng)歷了概念的引入、概念的形成、概念的深化、概念的反思這樣一個過程．那么，在這樣的過程中，如何將對上述函數(shù)概念的理解付諸實(shí)踐，轉(zhuǎn)化為自覺的教學(xué)行為，需
5、要對學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的心理建構(gòu)過程進(jìn)行探討．
1．概念的引入
學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時，新的信息對學(xué)生來講基本上是陌生的，零碎的和彼此孤立的，需要教師選擇能作為新知識的生長點(diǎn)的舊知識，將新知識的各因素聯(lián)系起來，并以組織好的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，通過啟發(fā)，激活學(xué)生頭腦中的舊知識，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的心理傾向，使學(xué)生對反映新知識內(nèi)容的文字、符號先有一個表層的認(rèn)識．
在民航廣州子弟學(xué)校林俊偉執(zhí)教的《變量與函數(shù)》這節(jié)課中，教師通過票房收入問題、測試成績問題、溫度變化問題，讓學(xué)生借助于已學(xué)習(xí)過的實(shí)數(shù)的運(yùn)算、列代數(shù)式及求代數(shù)式的值、一次方程（組）等知識，將一些原本“靜態(tài)”的數(shù)或“靜態(tài)”的字母表示的數(shù)，“置身
6、”于一種“動態(tài)”的變化的過程之中，不僅使學(xué)生感知到實(shí)際問題中存在著變量之間的對應(yīng)關(guān)系，突出了一個“變”字，而且，在問題的呈現(xiàn)形式上，有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，也隱含了在函數(shù)關(guān)系中表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系有解析式法、列表法和圖象法．這樣，教師將學(xué)生帶入到發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念的最近區(qū)域，使他們對函數(shù)的概念有了一些粗略的總體印象，為下一步抽象出函數(shù)的概念奠定了基礎(chǔ)．
2．概念的形成
荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家佛賴登塔爾認(rèn)為：在課堂教學(xué)中，教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，就是在于引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識、技能的途徑和方法．
《變量與函數(shù)》的兩節(jié)研究課，都是通過對大量實(shí)際問題的分析，引導(dǎo)
7、學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中所存在的兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，抽象出“共性”問題，并形式化為函數(shù)的概念，使學(xué)生感知以下函數(shù)概念形成的過程：在同一個變化過程中，第一，發(fā)生變化的量稱為“變量”；第二，不變的量稱為“常量”；第三，如果有兩個變量和，對于的每一個值，都有唯一的值與它對應(yīng)，則稱為自變量，為的函數(shù)；第四，如果當(dāng)時，，那么稱為當(dāng)時的函數(shù)值．
在這樣的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考，“思”有所“得”，“思”有所“悟”，不僅使學(xué)生認(rèn)識到引進(jìn)常量、變量、函數(shù)概念的必要性，而且感悟并逐步學(xué)會如何給數(shù)學(xué)概念下定義的方法．
3．概念的深化
當(dāng)學(xué)生初步建立了函數(shù)的概念之后，應(yīng)該說，對它的理解還是膚淺的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)
8、生逐步探求新舊知識間的深層聯(lián)系與區(qū)別，如果不能深刻揭示這種內(nèi)隱的聯(lián)系與區(qū)別，那么在學(xué)生頭腦中初步獲得的新痕跡很快就會消失．
撫順市第十五中學(xué)劉敏老師執(zhí)教的《正比例函數(shù)》，教師是通過利用動畫媒體，直觀地反映了正比例函數(shù)的圖形特征與解析式的關(guān)系，從“形”的角度，引導(dǎo)學(xué)生完成了對正比例函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的較為深入的認(rèn)識．
大連市第九中學(xué)張一穎老師執(zhí)教的《變量與函數(shù)》，在活動7，教師輔導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的概念，對一些問題進(jìn)行了分析、判斷，通過讓學(xué)生辨析，幫助他們理清了函數(shù)固有的本質(zhì)特征，再由教師講授，使學(xué)生達(dá)到深刻性理解．
民航廣州子弟學(xué)校林俊偉老師執(zhí)教的《變量與函數(shù)》，在“概念鞏固”的環(huán)節(jié)，通
9、過表格、圖象、解析式等不同形式，完成了對函數(shù)概念“舉一反三”不斷深化完善的過程．
三節(jié)課均揭示了函數(shù)概念的本質(zhì)屬性：第一，“誰”是“誰”的變量；第二，“唯一”的對應(yīng)關(guān)系．特別地，教師在闡釋函數(shù)概念時，運(yùn)用了少量而典型的反例，這樣的做法起到了對比反襯的作用，可以幫助學(xué)生提高對函數(shù)概念理解的水平．
4．概念的反思
反思，其目的是為了更好地促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)概念的內(nèi)化性的理解．通過反思，不僅可以梳理概念學(xué)習(xí)的過程，去偽存真、去粗取精，逐步深化對概念的理解，完成對函數(shù)概念的建構(gòu)；通過反思，還可以評價自己在認(rèn)知加工過程中所閃現(xiàn)出的思維火花，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想和方法，對提高數(shù)學(xué)思維能力起到了積極的作用．
10、
在反思?xì)w納部分，劉敏老師提出了“本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過程？有怎樣的收獲？”；張一穎老師提出了“對自己說，你有哪些收獲？對同學(xué)說，你有哪些溫馨提示？對老師說，你有哪些疑惑？”；林俊偉老師以結(jié)構(gòu)框圖的形式，展示了函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)．
通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法進(jìn)行歸納小結(jié)，有利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效地梳理，加強(qiáng)記憶，形成能力．使學(xué)生體會到本節(jié)課在知識與方法兩個方面的收獲與感悟，充分彰顯了教師的教育智慧．
感想之三：升華
函數(shù)概念的引入，實(shí)現(xiàn)了從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變．在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，數(shù)學(xué)課程中所討論問題中的數(shù)量關(guān)系基本上是靜態(tài)的，引入函數(shù)概念
11、之后，不僅使討論的內(nèi)容增加了運(yùn)動變化的問題，而且提供了居高臨下地重新審視已學(xué)內(nèi)容的觀點(diǎn)，使得在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識體系得到了擴(kuò)充與完善．
由于函數(shù)概念比較抽象，因此，對函數(shù)概念的認(rèn)識，需要一個循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過程，初中學(xué)段，學(xué)生只要認(rèn)識到函數(shù)是描述客觀世界的變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，它反映的是變量間的一種動態(tài)關(guān)系，并且可以從數(shù)和形兩個角度加以描述；認(rèn)識到函數(shù)體現(xiàn)的是“變化與對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，即：變量之間不是孤立的，而是互相聯(lián)系的，一個變量的變化會引起其它變量的相應(yīng)變化，這些變量之間存在對應(yīng)關(guān)系．
特別要注意的是，由于初步學(xué)習(xí)函數(shù)概念時強(qiáng)調(diào)的是變化中的對應(yīng)，所以對于常值函數(shù)=f(x)=c（常數(shù)），建議也不必過早涉及，因?yàn)閷W(xué)生剛接觸常量與變量的概念，往往不易理解常值函數(shù)是特殊的變量，更不可能在映射的高度上認(rèn)識函數(shù)概念中的“對應(yīng)”可以是“多對一”的形式（這時并不強(qiáng)調(diào)一定是變量）．這些問題都可以在以后的學(xué)習(xí)中陸續(xù)解決．
“春風(fēng)化雨，潤物無聲”，意在“春雨來了，隨風(fēng)而至，悄無聲息，滋潤萬物”，在我們驚喜于春雨的柔和細(xì)膩、無聲中滋潤萬物之時，筆者以為，更包含了對事物潛移默化的影響，或者察覺不到的影響．
春風(fēng)化雨潤物無聲 (2)
