混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定.doc

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1、混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定 張本祥 孫博文 混沌理論是非線(xiàn)性科學(xué)的核心部分，它的理論及應(yīng)用價(jià)值很大，但是迄今為止，對(duì)混沌概念還沒(méi)有公認(rèn)的嚴(yán)格的定義，我們認(rèn)為，對(duì)混沌概念的界定應(yīng)從混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征入手，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)層次上考察，才有可能得出正確的完整的結(jié)論，本文將從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度討論混沌的本質(zhì)特征——有界、非周期和敏感初條件，并籍此嘗試對(duì)混沌概念的界定。 一、從混沌的Li—Yorke定義看數(shù)學(xué)混沌的本質(zhì)特征 現(xiàn)代科學(xué)意義上的混沌是個(gè)難以精確定義的概念，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對(duì)其做出不同的定義。1975年李天巖(Tianyan—Li

2、)和約克(Yorke)給出了混沌的一個(gè)數(shù)學(xué)定義，這也是第一次賦予混沌這個(gè)詞以嚴(yán)格的科學(xué)意義，混沌的李—約克定義如下： 設(shè)連續(xù)自映射f： ，I是R中的一個(gè)閉區(qū)間，如果存在不可數(shù)集合S I滿(mǎn)足 (1)S不包含周期點(diǎn)。 (2)任給X1，X2 S (Xl X2)有 ＞0 ＝0 這里 ，表示t重函數(shù)關(guān)系。 （3）任給X1 S及f的任意周期點(diǎn)P I有 ＞0 則稱(chēng)f在s上是混沌的[1]。 由李—約克的定義可見(jiàn)，他們是用三個(gè)方面的本質(zhì)特征來(lái)對(duì)混沌進(jìn)行刻劃的： (一)非周期 在李—約克對(duì)混沌映射的定義中，稱(chēng)f在S上是混沌的，

3、所依據(jù)的三個(gè)條件中的兩條是對(duì)非周期的刻劃：第(1)條表明混沌軌道排除了所有階的周期點(diǎn)，第(3)條意味著混沌軌道與任意的周期軌道都不具有漸近關(guān)系，而是原則上可區(qū)分的。它們實(shí)際上是從周期性角度對(duì)非周期性進(jìn)行的刻劃。我們可以這樣來(lái)理解混沌軌道的非周期性：如果我們?cè)跓o(wú)限精確的數(shù)學(xué)層次上跟蹤一條混沌軌道，我們經(jīng)歷的相點(diǎn)永遠(yuǎn)沒(méi)有重復(fù)的，而且整條混沌軌道雖然在任意有限長(zhǎng)的一段可能與某條周期軌道無(wú)限接近，但是無(wú)限長(zhǎng)的整條混沌軌道將與其產(chǎn)生有限大小的偏離，即在t→∞時(shí)，任意的混沌軌道與任意的周期軌道必然具有距離有限(非無(wú)限小)的相點(diǎn)。這樣當(dāng)我們要確定某個(gè)混沌軌道上的相點(diǎn)時(shí)，只能跟蹤軌道的全過(guò)程，而不可能利用任何

4、具周期意義的、有可壓縮性質(zhì)的所謂規(guī)律來(lái)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。 (二)敏感初條件 李—約克定義中的第(2)條實(shí)際上就是對(duì)混沌軌道所具有的“敏感初條件”的描述，即距離的下確界為0的無(wú)限接近的兩條軌道，其上確界卻是有限的，大于0的，由符號(hào)動(dòng)力學(xué)對(duì)一維拋物線(xiàn)滿(mǎn)映射的刻劃，[2]我們也可以看到，分別代表兩條混沌軌道的兩個(gè)無(wú)限接近的符號(hào)序列，即兩個(gè)無(wú)限精確條件下才可區(qū)分的無(wú)理數(shù)，意味著在無(wú)限次迭代后，最后會(huì)有宏觀層次上(對(duì)主體而言)的可區(qū)分的差別：L(左)、C(中)、R(右)，相點(diǎn)的L、C、R是在有限精確條件下，對(duì)主體來(lái)說(shuō)的可區(qū)分性。就是說(shuō)，在1／2n的分辨率下，差值大于1／2n的兩個(gè)初值，經(jīng)

5、n次迭代后，其符號(hào)序列中至少會(huì)有一個(gè)符號(hào)不同，進(jìn)一步地，李—約克的定義也表明混沌軌道中的相點(diǎn)與無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)，無(wú)理數(shù)的最后(實(shí)際上不存在最后)數(shù)字不同，就是不同的數(shù)，但這兩個(gè)“最后”數(shù)字不同的無(wú)理數(shù)代表了無(wú)限精確的情況，反映的是個(gè)無(wú)限過(guò)程，在這個(gè)無(wú)限過(guò)程下，數(shù)學(xué)上的混沌具有對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性。 (三)有界 在李—約克定義中，“有界”(即有確定的邊界)是作為定義的前提條件出現(xiàn)的，它設(shè)定了f是從I到 (I R)的映射，而I是R中的一個(gè)閉區(qū)間，這表明f把I映射回I，所有的相點(diǎn)不能超越I的確定邊界，這個(gè)“有界”的前提條件的設(shè)定是必要的，如果沒(méi)有這個(gè)限制條件，就不能保證系統(tǒng)是混沌的，例如

6、：映射f：Xn+1＝f(Xn)＝Xn2，當(dāng)X1＞1時(shí)，f會(huì)很快使Xn超越I的邊界而趨于∞，這時(shí)Xn的整個(gè)序列或說(shuō)軌道X1，X2，…Xn，…X∞顯然仍具有非周期、敏感初條件等混沌的本質(zhì)特征，但是它的演化過(guò)程是發(fā)散的，不會(huì)形成混沌吸引子。可見(jiàn)，“有界”是混沌的不可或缺的必要條件和本質(zhì)特征之一。 二、有限性條件下物理混沌的本質(zhì)特征 從李—約克給出的混沌的數(shù)學(xué)定義可見(jiàn)，其(2)(3)條都是在t→∞情況下的結(jié)論，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)混沌是與無(wú)窮過(guò)程相聯(lián)系的，這意味著不僅映射的次數(shù)t是無(wú)限的，而且相點(diǎn)的值的精確度也可以是無(wú)限的。然而我們知道，現(xiàn)實(shí)世界是有限的，有限性及其結(jié)果蘊(yùn)含

7、于一切事物之中，在相應(yīng)的方面規(guī)定著一切事物的性質(zhì)。[3]在真實(shí)的物理世界中，不僅映射的次數(shù)t是有限的，而且相點(diǎn)的值的精確度也是有限的。那么，李—約克的數(shù)學(xué)混沌所具有的三個(gè)本質(zhì)特征，是否仍是有限性制約下的物理混沌的本質(zhì)特征呢?或者說(shuō)，有限的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的混沌是否仍具有這三個(gè)本質(zhì)特征呢?下面我們就分別來(lái)討論。 (一)有界 從物理上說(shuō)，一般地我們所研究的和能研究的都是本質(zhì)上的回歸行為，其現(xiàn)實(shí)的測(cè)度空間總有確定的邊界，而無(wú)界的本質(zhì)上的非回歸行為則沒(méi)有一般意義，也就是說(shuō)，任何一個(gè)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的狀 態(tài)變量的值不可能是絕對(duì)的無(wú)窮大，只能是局限于確定范圍內(nèi)的有限值，因而是有界的。

8、再者，雖然混沌現(xiàn)象的主要特征是它的不穩(wěn)定性方面，但是它也有穩(wěn)定性的一方面，實(shí)際上混沌是局部不穩(wěn)定與整體穩(wěn)定這一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體，它的整體穩(wěn)定性是混沌現(xiàn)象的一個(gè)重要方面，是混沌系統(tǒng)所具有的穩(wěn)定機(jī)制的反映。還以?huà)佄锞€(xiàn)滿(mǎn)映射為例，它實(shí)際上就相當(dāng)于特定的拉伸與折疊變換(拉伸一倍，再對(duì)折)，其中拉伸操作使系統(tǒng)敏感初條件，導(dǎo)致了混沌行為的不穩(wěn)定方面，而折疊操作卻使系統(tǒng)的取值空間減小一半，把相點(diǎn)始終限制于最初的映射區(qū)間內(nèi)，它導(dǎo)致了混沌的穩(wěn)定性方面?？梢?jiàn)，具回歸行為的現(xiàn)實(shí)物理系統(tǒng)的穩(wěn)定機(jī)制及表觀上的整體穩(wěn)定性就是物理上的“有界”，“有界”也是物理混沌的一個(gè)本質(zhì)特征。 (二)非周期 在精確

9、度有限、映射次數(shù)(也即軌道長(zhǎng)度)有限的現(xiàn)實(shí)情況下，非零的有限的精確度雖然可能平滑掉混沌軌道中相點(diǎn)的相應(yīng)的有限大小的差別，從而在一定程度上“抑制”了混沌軌道的非周期性，即任何有限長(zhǎng)的一條軌道都可以用某種周期軌道來(lái)擬合，但是同一條軌道只要它延伸到足夠長(zhǎng)(不是無(wú)限長(zhǎng))，它與用以擬合它的任意的周期軌道仍將產(chǎn)生足夠的偏離，使兩者成為可區(qū)分的。就是說(shuō)，在有限精確條件下混沌軌道仍具有非周期性，仍意味著不重復(fù)、不可壓縮和無(wú)規(guī)律可循。如果要以有限長(zhǎng)的混沌軌道為條件來(lái)預(yù)測(cè)任意相點(diǎn)的位置，即依據(jù)有周期意義的、有可壓縮性質(zhì)(能以有限反映無(wú)限)的規(guī)律來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)，則只能是不確定的即概率性的(條件概率小于1)，而不可能是確

10、定的、非概率性的。 (三)敏感初條件 如上文所述，數(shù)學(xué)混沌敏感初條件表現(xiàn)為在t→∞條件下，間距的下確界為0的兩條軌道，其上確界大于0。而在物理上，初始條件原則上的不精確性，加之混沌系統(tǒng)的非線(xiàn)性不穩(wěn)定機(jī)制的作用，使初值的不精確性被迅速放大成為宏觀層次的不確定性，這就是物理混沌的敏感初條件的特征。 1．精確度有限的初始條件 初始條件是初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，雖然任何物理對(duì)象都有其自然的初始條件，但是人們所知道的初始條件原則上只能通過(guò)本質(zhì)上的測(cè)量過(guò)程獲得。由于反映著主體獲得的客體的信息的初始條件本質(zhì)上具有這種測(cè)量性質(zhì)，所以在以下幾種情況下，任何現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的初

11、始條件都不可能絕對(duì)精確，即初始條件有對(duì)主體而言的處于簡(jiǎn)并狀態(tài)的不可區(qū)分的精細(xì)結(jié)構(gòu)。 (1)物理對(duì)象固有的廣延性導(dǎo)致的不精確性。物質(zhì)的存在都有一定的局域性，都要占據(jù)一定的空間、時(shí)間、能量等范圍，所以事物在其測(cè)度空間中將有非0體積，如原子能級(jí)都有一定的非0寬度。 (2)測(cè)量過(guò)程直接導(dǎo)致的不精確性。因?yàn)椤皽y(cè)量”本質(zhì)上是主客體(測(cè)量者與被測(cè)系統(tǒng))間的一種相互作用，這種相互作用必須通過(guò)測(cè)量工具來(lái)進(jìn)行，所以測(cè)量結(jié)果的精確度不可能高于測(cè)量工具的精確度。雖然可以通過(guò)提高測(cè)量工具的精確性來(lái)提高測(cè)量結(jié)果的精確性，但是原則上這種不精確性是不可能根本消除的，它是永遠(yuǎn)伴隨測(cè)量過(guò)程而存在的。[4]

12、 (3)模糊性導(dǎo)致的不精確性。模糊性是模糊集合論中的一個(gè)基本概念，主要是指客觀事物的差異在中介過(guò)渡時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦彼”性，模糊性的存在是客觀的、普遍的。[5]系統(tǒng)的模糊性導(dǎo)致分辯率降低，進(jìn)而使精確的相軌道描述成為不可能的或不必要的。 (4)信息的不完全性導(dǎo)致的不精確性。為獲得初始條件所進(jìn)行的測(cè)量總是有一定成本的，在考慮成本的情況下，就會(huì)有信息的不完全性。因?yàn)槿魏蜗嗷プ饔枚际怯谐杀镜?，只有成本不受限制的時(shí)候，我們才會(huì)在所有情況下獲得完全的信息，但是現(xiàn)實(shí)中對(duì)初始條件的測(cè)量，測(cè)量主體愿意付出和所能付出的成本都是有限的。所以在某些情況下，我們不可能獲得完全的信息，而只能獲得有

13、限成本條件下的不完全的信息，不完全的信息將直接導(dǎo)致不精確性。 2．敏感初條件的意義 從穩(wěn)定性角度考慮，混沌軌道是局部不穩(wěn)定的，“敏感初條件”就是對(duì)混沌軌道的這種不穩(wěn)定性的描述。我們知道系統(tǒng)的具體動(dòng)力學(xué)行為由“動(dòng)力學(xué)方程+邊界條件”給出，[6]其中，動(dòng)力學(xué)方程 (這里指確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng))反映著該類(lèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，邊界條件代表著系統(tǒng)所處的具體環(huán)境，包括時(shí)間上的初始條件和空間上的邊界條件。如果廣義地把邊界理解為初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，那么系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)描述就成為：“動(dòng)力學(xué)方程+初始條件”，從而可以說(shuō)，任何系統(tǒng)的具體行為都是由其動(dòng)力學(xué)方程和初始條件共同決定的，初始條件是個(gè)不可或缺的

14、因素，但不是唯一的因素，它要和動(dòng)力學(xué)方程一起才能完全描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。 初始條件的不精確性在具有指數(shù)放大作用的動(dòng)力學(xué)方程即非線(xiàn)性機(jī)制的作用下，只需經(jīng)歷一個(gè)有限過(guò)程(而不是無(wú)限過(guò)程)，就可被放大成宏觀層次上的(對(duì)主體來(lái)說(shuō)有意義的)不確定性，這就是物理混沌所具有的本質(zhì)特征之一——敏感初條件的意義。 三、混沌概念的界定 我們認(rèn)為對(duì)任何一個(gè)科學(xué)概念的界定，都應(yīng)該是有主體、有原則、有本質(zhì)特征的，三個(gè)要素缺一不可，所以在首先討論了混沌的本質(zhì)特征后，這里將討論混沌的主體和界定混沌概念的原則，最后給出對(duì)混沌概念的界定。 (一)混沌行為的主體 有界、非周

15、期、敏感初條件是混沌行為或狀態(tài)所具有的本質(zhì)特征，那么是不是一切具有這些特征的行為或狀態(tài)都可看作是混沌呢?即混沌行為的主體是什么呢?我們認(rèn)為，應(yīng)把混沌行為的主體限定為“確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)”，因?yàn)椋阂环矫?，在?yán)格的科學(xué)意義上被仔細(xì)研究過(guò)的混沌系統(tǒng)都是確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)，另一方面，把那些機(jī)理不清的復(fù)雜行為當(dāng)做混沌來(lái)處理是不嚴(yán)格和不充分的。 1．確定性。是指具有因果關(guān)系的完全決定論的情況，用概率論的語(yǔ)言講，就是當(dāng)事件A與事件B存在著因果關(guān)系時(shí)，在事件B出現(xiàn)的條件下，A一定出現(xiàn)，條件概率P(A／B)=1。[7] 2．非線(xiàn)性。是相對(duì)于線(xiàn)性而言的，它可以從兩個(gè)方面來(lái)表述，其一是疊加原理不成立

16、，其二是物理變量間的函數(shù)關(guān)系不是直線(xiàn)，函數(shù)的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方[8]，非線(xiàn)性是動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的必要條件。 3．確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)。顧名思義，是指具有確定的非線(xiàn)性機(jī)制的系統(tǒng)，在物理上它有一定的不變的非線(xiàn)性物理機(jī)制，在數(shù)學(xué)上可以表示成一定的非線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型(如非線(xiàn)性微分方程、非線(xiàn)性映射關(guān)系等)。任何一個(gè)系統(tǒng)抽象為數(shù)學(xué)模型后，它主要包括三類(lèi)要素：控制參量、狀態(tài)變量和控制參量與狀態(tài)變量間的關(guān)系即機(jī)制，我們所認(rèn)為的確定性系統(tǒng)是指這三類(lèi)要素都明確的系統(tǒng)，即由確定的數(shù)學(xué)方程描述的，其中沒(méi)有未知的、不確定的機(jī)制和隨機(jī)項(xiàng)的系統(tǒng)?；煦缋碚摳嬖V我們，在沒(méi)有噪聲和外界擾動(dòng)情況下，確

17、定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)只有三種非過(guò)渡性的穩(wěn)態(tài)行為，即穩(wěn)定的周期行為、不穩(wěn)定的周期行為、非周期行為，這第三種行為就是我們討論的混沌行為。 (二)界定混沌概念的原則 由于混沌理論還有一些重要的基本問(wèn)題沒(méi)有解決，同時(shí)不同領(lǐng)域的研究者從各自角度依各自的需要進(jìn)行定義，所以至今對(duì)混沌還沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的、普適的定義，在眾多的對(duì)混沌的描述中，有的嚴(yán)格一些，有的寬泛一些，但可以說(shuō)都是不完備的、有缺陷的，并且有些定義之間是相互矛盾的。為了擺脫“混沌概念的概念混沌”狀態(tài)，使人們對(duì)混沌的本質(zhì)特征有一個(gè)明晰化的統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為對(duì)混沌概念的界定，無(wú)論是動(dòng)力機(jī)制上的刻劃，還是運(yùn)動(dòng)學(xué)上的描述，都應(yīng)遵循這樣

18、兩個(gè)原則： 1. 對(duì)混沌概念的界定，要抓住混沌的本質(zhì)的、深層次的特征，而不能采用非本質(zhì)的、表面的特征，被選擇的本質(zhì)特征應(yīng)是其它非本質(zhì)特征的基礎(chǔ)和前提而不是相反。例如：隨機(jī)性、不可長(zhǎng)期預(yù)測(cè)性和敏感初條件都是混沌的特征，但是其中敏感初條件是本質(zhì)的、深層次的特征，隨機(jī)性和不可長(zhǎng)期預(yù)測(cè)性只是敏感初條件的結(jié)果，所以前者不能作為本質(zhì)特征被用來(lái)界定混沌概念。 2．物理刻劃與數(shù)學(xué)定義相對(duì)應(yīng)，即在有限性條件下和在無(wú)限性條件下的表述應(yīng)是統(tǒng)一的，或說(shuō)是理論(本體論上的客觀混沌)與觀測(cè)(認(rèn)識(shí)論上的主觀混沌)應(yīng)是相對(duì)應(yīng)的。一方面，只在數(shù)學(xué)上定義混沌，如李—約克的定義，雖然有數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性和確定性

19、，但是由于混沌軌道中的相點(diǎn)是無(wú)理點(diǎn)，且迄今為止未能證明在整個(gè)參量空間中對(duì)應(yīng)混沌映射的參量值的總測(cè)度大于0[9]，所以不能保證這種純混沌的可觀測(cè)性。而且，由于實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)無(wú)法作到t→∞，所以也不能從有限的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)中判斷系統(tǒng)是否是李—約克混沌。另一方面，只在物理上用可觀測(cè)的特征來(lái)定義混沌，而沒(méi)有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)的數(shù)字描述，則不能保證其定義的普適性、深刻性和嚴(yán)格性，因而，在一定程度上喪失了作為定義應(yīng)有的性質(zhì)?？傊?，我們認(rèn)為用以界定混沌的本質(zhì)特征，應(yīng)是既有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，又是可觀測(cè)的，在理論上和觀測(cè)上都應(yīng)是有意義的，并且兩者是統(tǒng)一的、對(duì)應(yīng)的。 (三)對(duì)混沌概念的界定 綜上所述，我

20、們看到對(duì)于確定性非線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，無(wú)論是與無(wú)限過(guò)程相聯(lián)系的數(shù)學(xué)混沌，還是在有限性條件下的物理混沌，都具有“有界”、“非周期”和“敏感初條件”三個(gè)本質(zhì)特征，在此兩種情況下，這些特征的意義雖然不完全相同，但是它們之間有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。同時(shí)，它們又都是最基本的特征，是其它非本質(zhì)特征的基礎(chǔ)。所以，可以說(shuō)這三個(gè)本質(zhì)特征是滿(mǎn)足界定混沌概念的兩個(gè)原則的。 至此，我們認(rèn)為可以這樣來(lái)界定混沌概念，“混沌是確定性非線(xiàn)性系統(tǒng)的有界的敏感初條件的非周期行為”。只要能確定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，那么行為(或狀態(tài))主體就是確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)，而且它一定具有“有界”、“敏感初條件”和“非周期”三個(gè)本質(zhì)特征；反之，任何一個(gè)確定性

21、的非線(xiàn)性系統(tǒng)，只要它表現(xiàn)出“有界”、“非周期”和“敏感初條件”的特征，那么就可以認(rèn)為該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。 四、推論 在對(duì)混沌作了如上的界定后，籍此我們還可得出如下幾條推論： (一)混沌是決定論的。在數(shù)學(xué)上混沌軌道雖然是非周期性的，但是它是產(chǎn)生于確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)的，是完全因果性的，依據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制和初始條件，可以完全確定混沌軌道上的任何特定相點(diǎn)的位置，所以在這個(gè)層次上，混沌不僅是完全因果性的，而且是可以確定性地預(yù)測(cè)的。在物理上，由于不絕對(duì)精確初始條件的介入，非線(xiàn)性機(jī)制對(duì)初始不確定性的放大，使系統(tǒng)表現(xiàn)出宏觀不確定性，導(dǎo)致不能進(jìn)行長(zhǎng)期的精確預(yù)測(cè)。在這個(gè)意義

22、上，系統(tǒng)的軌道既有非周期性，也有不可長(zhǎng)期預(yù)測(cè)性及一定的不相關(guān)性，所以有充分理由認(rèn)為系統(tǒng)具有不確定性意義上的隨機(jī)性。但是不能因此就認(rèn)為混沌是非決定論的，因?yàn)樵诨镜摹⒈举|(zhì)層次上混沌仍是有確定的因果關(guān)系的，因而它是決定論的。 (二)混沌不僅是認(rèn)識(shí)論的存在而且是本體論的存在。在實(shí)際觀測(cè)中，由于初始條件的介入，內(nèi)外噪聲、擾動(dòng)的激發(fā)，對(duì)那些即使在數(shù)學(xué)上不是混沌的情況，系統(tǒng)也可能表現(xiàn)出“有界”、“非周期”和“敏感初條件”這些混沌的本質(zhì)特征，換言之，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的觀測(cè)能在更多的控制參量值處觀測(cè)到正的李雅普諾夫指數(shù)、連續(xù)的功率譜、確定的分維等。這種表觀的具有“有界”、“非周期”和“敏感初條件”特征的

23、物理混沌就是認(rèn)識(shí)論上的混沌行為。由前文的論述可知，混沌不僅是這種可觀測(cè)的、認(rèn)識(shí)論上的存在，而且在本體論上即在純數(shù)學(xué)上也是客觀存在的，如：拋物線(xiàn)滿(mǎn)映射情況下，在一定區(qū)間內(nèi)一條非周期的混沌軌道中有無(wú)窮多的無(wú)理點(diǎn)，同時(shí)存在著無(wú)窮多條不同的混沌軌道，與混沌軌道對(duì)應(yīng)的無(wú)理點(diǎn)的總測(cè)度與實(shí)數(shù)的總測(cè)度相等，而與周期軌道對(duì)應(yīng)的有理點(diǎn)的總測(cè)度卻為0。因而，在沒(méi)有初始條件介入的純數(shù)學(xué)上的或稱(chēng)本體淪上的混沌軌道也是客觀存在的，就是說(shuō)，不僅在實(shí)測(cè)中可以觀測(cè)到有理的具“有界”、“非周期”和“敏感初條件”特征的混沌，而且在純數(shù)學(xué)上，客觀存在著無(wú)理的具“有界”、“非周期”和“敏感初條件”特征的混沌，所以可以說(shuō)混沌不僅是認(rèn)識(shí)論

24、上的存在，而且也是本體論上的存在。 (三)混沌中的隨機(jī)性是外在的而非內(nèi)在的。在一些文獻(xiàn)中，混沌常被表述為“確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性，[10]-[13]我們認(rèn)為這種提法有值得商榷之處。雖然混沌運(yùn)動(dòng)在表現(xiàn)上非常不規(guī)則，而且在實(shí)測(cè)中只能對(duì)混沌軌道進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述，所以它被看成是隨機(jī)的，又因?yàn)檫@種隨機(jī)性與外界擾動(dòng)、噪聲等引起的隨機(jī)性不同，所以有人又稱(chēng)它為“內(nèi)在隨機(jī)性”，但是把這種表述作為混沌定義就容易產(chǎn)生這樣的錯(cuò)覺(jué)即“混沌中的隨機(jī)性是確定性系統(tǒng)本身產(chǎn)生的”，從而導(dǎo)致“確定論系統(tǒng)本身可以產(chǎn)生不確定行為”的錯(cuò)誤想法。我們主張“內(nèi)在”應(yīng)指非線(xiàn)性方程本身，指由方程描述的結(jié)構(gòu)、關(guān)系和操作。而混沌中的不確定

25、性是源于初始條件的不確定，非線(xiàn)性方程本身只不過(guò)對(duì)其起到一種放大作用，從而使初始條件的微小的不確定，放大成人們可以觀察到的宏觀不確定。我們知道，初始條件在一般情況下反映的是主體與客體系統(tǒng)間的關(guān)系，而不單純是客體系統(tǒng)自己的性質(zhì)，顯然它不是內(nèi)在的。所以說(shuō)混沌系統(tǒng)的“內(nèi)在隨機(jī)性”，雖然不是外界干擾造成的，但也不是內(nèi)在的，是人們觀察能力有限造成的初始條件的不確定性產(chǎn)生的，因此是外在的。 綜上所述，對(duì)混沌概念的界定，源于對(duì)混沌本質(zhì)特征的把握，而混沌概念本身的正確性又可以澄清理論上許多模糊的想法，從而達(dá)到對(duì)混沌現(xiàn)象的更加深刻地理解。 參考文獻(xiàn) [1][10]李京文等，《混沌理論與經(jīng)濟(jì)學(xué)》，

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