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1、
第三章
1.有兩束方向相反的平行熱中子束射到的薄片上，設(shè)其上某點(diǎn)自左面入射的中子束強(qiáng)度為。自右面入射的中子束強(qiáng)度為。計(jì)算：
（1）該點(diǎn)的中子通量密度；
（2）該點(diǎn)的中子流密度；
（3）設(shè)，求該點(diǎn)的吸收率。
解：（1）由定義可知：
（2）若以向右為正方向：
可見其方向垂直于薄片表面向左。
（3）
2.設(shè)在處中子密度的分布函數(shù)是：
其中：為常數(shù)， 是與軸的夾角。求：
（1） 中子總密度；
（2） 與能量相關(guān)的中子通量密度;
（3） 中子流密度。
解：由于
2、此處中子密度只與與軸的夾角相關(guān)，不妨視為視角，定義在平面影上與軸的夾角為方向角，則有：
（1） 根據(jù)定義：
可見，上式可積的前提應(yīng)保證，則有：
（2）令為中子質(zhì)量，則
（等價(jià)性證明：如果不做坐標(biāo)變換，則依據(jù)投影關(guān)系可得：
則涉及角通量的、關(guān)于空間角的積分：
對(duì)比：
3、
可知兩種方法的等價(jià)性。）
（3）根據(jù)定義式：
利用不定積分：（其中為正整數(shù)），則：
6．在某球形裸堆（R=0.5米）內(nèi)中子通量密度分布為
.
試求：
（1）;
（2）的表達(dá)式，設(shè)；
（3）每秒從堆表面泄露的總中子數(shù)（假設(shè)外推距離很小，可略去不濟(jì)）。
解：（1）由
4、中子通量密度的物理意義可知，φ必須滿足有限、連續(xù)的條件
（2） 中子通量密度分布：
（為徑向單位矢量）
（3）泄漏中子量=徑向中子凈流量球體表面積
5、
中子流密度矢量：
∵僅于r有關(guān)，在給定r處各向同性
7.設(shè)有一立方體反應(yīng)堆，邊長 中子通量密度分布為：
已知 試求：
（1）的表達(dá)式；
（2）從兩端及側(cè)面每秒泄露的中子數(shù)；
（3）每秒被吸收的中子數(shù)（設(shè)外推距離很小，可略去）。
解：有必要將坐標(biāo)原點(diǎn)取在立方體的幾何中心
6、，以保證中子通量始終為正。為簡(jiǎn)化表達(dá)式起見，不妨設(shè)。
（1） 利用斐克定律：
（2）先計(jì)算上端面的泄漏率：
同理可得，六個(gè)面上的總的泄漏率為：
其中，兩端面的泄漏率為：
側(cè)面的泄漏率為：
（如果有同學(xué)把問題理解為“六個(gè)面”上的總的泄露，也不算錯(cuò)）
（3）由，可得：
由于外推距離可忽略，只考慮堆體積內(nèi)的吸收反應(yīng)率：
8.圓柱體裸堆內(nèi)中子通量密度分布為
其中，為反應(yīng)堆的高度和半徑（假定外推距離可略去不計(jì)）。試求：
（1） 徑向和軸向的平均
7、中子通量密度和最大中子通量密度之比；
（2） 每秒從堆側(cè)表面和兩個(gè)端面泄露的中子數(shù)；
（3） 設(shè),反應(yīng)堆功率為，求反應(yīng)堆內(nèi)的裝載量。
解：
9.試計(jì)算時(shí)的鈹和石墨的擴(kuò)散系數(shù)。
解：查附錄3可得，對(duì)于的中子：
8.65
0.9259
3.85
0.9444
對(duì)于：
同理可得，對(duì)于：
10.設(shè)某石墨介質(zhì)內(nèi)，熱中子的微觀吸收和散射截面分別為σa=4.510-2靶和σs=4.8靶。試計(jì)算石墨的熱中子擴(kuò)散長度L
8、和吸收自由程λa，比較兩者數(shù)值大小，并說明其差異的原因。
：
12.計(jì)算時(shí)水的熱中子擴(kuò)散長度和擴(kuò)散系數(shù)。
解： 查79頁表3-2可得，時(shí)：，由定義可知：
所以:
中子溫度利用56頁（2-81）式計(jì)算：
其中，介質(zhì)吸收截面在中子能量等于
再利用“”律：
（若認(rèn)為其與在時(shí)的值相差不大，直接用熱中子數(shù)據(jù)計(jì)算：
這是一種近似結(jié)果）
利用57頁的（2-88）式
13.如圖3-15所示，
9、在無限介質(zhì)內(nèi)有兩個(gè)源強(qiáng)為，試求和點(diǎn)的中子通量密度和中子流密度。
16.設(shè)有一強(qiáng)度為的平行中子束入射到厚度為的無限平板層上。求：
（1）中子不遭受碰撞而穿過平板的概率;
（2）平板內(nèi)中子通量密度的分布;
（3）中子最終擴(kuò)散穿過平板的概率。
解：（1）
（2） 此情況相當(dāng)于一側(cè)有強(qiáng)度為的源，建立以該側(cè)所在橫坐標(biāo)為原點(diǎn)的一維坐標(biāo)系，則擴(kuò)散方程為：
邊界條件：（1）.
（2）.
方程的普遍解為：
由邊界條件（1）可得：
由邊界條件（2）可得：
所以：
（3） 此問相當(dāng)
10、于求處單位面積的泄漏率與源強(qiáng)之比：
17.設(shè)有如圖3-16所示的單位平板“燃料柵元”，燃料厚度為,柵元厚度為，假定熱中子在慢化劑內(nèi)據(jù)黁分布源（源強(qiáng)為）出現(xiàn)。在柵元邊界上的中子流為零（即假定柵元之間沒有中子的凈轉(zhuǎn)移）。試求：
（1）屏蔽因子，其定義為燃料表面上的中子通量密度與燃料內(nèi)的平均中子通量密度之比；
（2）中子被燃料吸收的份額。
解：（1）以柵元幾何中線對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為原點(diǎn)，建立一維坐標(biāo)系。在這樣的對(duì)稱的幾
何條件喜愛，對(duì)于所要解決的問題，我們只需要對(duì)的區(qū)域進(jìn)行討論。
燃料內(nèi)的單能中子擴(kuò)散方程：
11、 邊界條件：（1）.
（2）.
通解形式為：
利用斐克定律：
代入邊界條件（1）：
代入邊界條件（2）：
所以：
（3） 把該問題理解為“燃料內(nèi)中子吸收率/燃料和慢化劑內(nèi)總的中子吸收率”，設(shè)燃料和慢化劑的宏觀吸收截面分別為和，則有：
回顧擴(kuò)散長度的定義，可知：，所以上式化為：
（這里是將慢化劑中的通量視為處處相同，大小為，其在處的流密度自然為0，但在a處情況特殊：
12、如果認(rèn)為其流密度也為0，就會(huì)導(dǎo)致沒有向燃料內(nèi)的凈流動(dòng)、進(jìn)而燃料內(nèi)通量為0這一結(jié)論！所以對(duì)于這一極度簡(jiǎn)化的模型，應(yīng)理解其求解的目的，不要嚴(yán)格追究每個(gè)細(xì)節(jié)。）
21.在一無限均勻非增值介質(zhì)內(nèi)，每秒每單位體積均勻地產(chǎn)生個(gè)中子，試求：
（1）介質(zhì)內(nèi)的中子通量密度分布；
（2）如果處插入一片無限大的薄吸收片（厚度為,宏觀吸收截面為），證明
這時(shí)中子通量密度分布為
（提示：用源條件）
解：（1） 建立以無限介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系（對(duì)此問題表達(dá)式比較簡(jiǎn)單），建立擴(kuò)散方程：
即：
邊界條件：1.
2.
設(shè)存
13、在連續(xù)函數(shù)滿足：
（1）
（2）
可見，函數(shù)滿足方程，其通解形式：
由條件（1）可知：,
由方程（2）可得：
再有條件2可知：，所以：
（實(shí)際上，可直接由物理模型的特點(diǎn)看出通量處處相等這一結(jié)論，進(jìn)而其梯度為0）
（2）此時(shí)須以吸收片中線上任一點(diǎn)為原點(diǎn)建立一維直角坐標(biāo)系，想考慮正半軸，建立擴(kuò)散方程：
即：
邊界條件：i. ii.
iii.
對(duì)于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度內(nèi)通量的畸變。
參考上一問中間過程，
14、可得通解形式：
由于條件ii可得：
由條件iii可得：
所以：
對(duì)于整個(gè)坐標(biāo)軸，只須將式中坐標(biāo)加上絕對(duì)值號(hào)，證畢。
22.假設(shè)源強(qiáng)為的無限平面源放置在無限平板介質(zhì)內(nèi)，源強(qiáng)兩側(cè)平板距離分別為和（圖3-17），試求介質(zhì)內(nèi)的中子通量密度分布（提示：這是非對(duì)稱問題，處的邊界條件應(yīng)為：）
（1）中子通量密度連續(xù)；
（2）
解：以源平面任一一點(diǎn)味原點(diǎn)建立一維直角坐標(biāo)系，建立擴(kuò)散方程：
邊界條件： i. ; ii. ;
iii. ; i
15、v. ;
通解形式：
由條件i： （1）
由條件ii:
（2）
由條件iii，iv:
(3)
(4)
聯(lián)系（1）可得：
結(jié)合（2）可得：
所以：
23.在厚度為的無限平板介質(zhì)內(nèi)有一均勻體積源，源強(qiáng)為，試證明其中子通量密度分布為（其中為外推距離）
證明：以平板中線上任一點(diǎn)位原點(diǎn)建立一維直角坐標(biāo)系，先考慮正半軸，建立擴(kuò)散方程：
即：
邊界條件：i. ii. iii.
16、 參考題21，可得通解形式：
由條件ii可得：
再由條件iii可得：
所以：
由于反曲余弦為偶函數(shù)，該解的形式對(duì)于整個(gè)坐標(biāo)軸都是適用的。證畢。
24. 設(shè)半徑為的均勻球體內(nèi)，每秒每單位體積均勻產(chǎn)生個(gè)中子，試求球體內(nèi)的中子通量
密度分布。
解：以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系嗎，建立擴(kuò)散方程：
即：
邊界條件：i. ii. iii.
通解：
由條件iii:
再由條件ii：
所以：（此時(shí)：）
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