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1、1,第三章多維隨機變量及其分布,1多維隨機變量的概念2隨機變量的獨立性3兩個隨機變量的函數(shù)的分布,2,從本講起，我們開始第三章的學習.,一維隨機變量及其分布,,多維隨機變量及其分布,它是第二章內(nèi)容的推廣.,3,,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.,在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)來確定的.,飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標)來確定的等等.,4,設,是定義在上的隨機變量,,由它們構成的一個維向,量.,以下重點討論二維隨機變量.,5,第一節(jié)二維隨機變量,二維隨機變量及其分布函數(shù)二維離散型隨
2、機變量二維連續(xù)型隨機變量,6,如果對于任意實數(shù),二元函數(shù),稱為二維隨機變量的分布函數(shù),,定義1,一、二維隨機變量的分布函數(shù),7,而和都是隨機變量,,也有各自的分,布函數(shù),,分別記為,變量(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數(shù).,依次稱為二維隨機,邊緣分布函數(shù),8,將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標,,那么,分布函數(shù)在點處的函數(shù)值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率.,分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋,9,隨機點落在矩形域,內(nèi)的概率為,,,,,,10,分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：,（1）F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，即對于任意固定的y,當x1
3、于任意固定的y,,且,對于任意固定的x,當y1
4、律.,,k=1,2,…,X的分布律,k=1,2,…,定義2,的值是有限對或可列無窮多對,,設二維離散型隨機變量,可能取的值是,記,如果二維隨機變量,全部可能取到的不相同,稱之為二維離散型隨機變量的分布律,,二、二維離散型隨機變量,14,也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律.,15,例1把一枚均勻硬幣拋擲3次，設X為3次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.,解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P{X=0,Y=3},P{X=1,Y=1},P{X=2,Y=1},P{X=3,Y=0},=3/8,=3/8,16,一
5、般地，對離散型r.v(X,Y)，,則(X,Y)關于X的邊緣分布律為,X和Y的聯(lián)合分布律為,離散型隨機變量的邊緣分布律,17,(X,Y)關于Y的邊緣分布律為,18,例1（續(xù)）把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.,解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P{X=0,Y=3},P{X=1,Y=1},P{X=2,Y=1},P{X=3,Y=0},=3/8,=3/8,19,P{X=0}=,P{X=1}=,P{X=2}=,P{X=3}=,P{Y=1}=,P{Y=3}=,=1/8,,P{X=0,Y
6、=1}+P{X=0,Y=3},=3/8,,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3},=3/8,,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3},P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3},=1/8.,=3/8+3/8=6/8,,=1/8+1/8=2/8.,20,我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21,聯(lián)合分布與邊緣分布的關系,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,22,,X的概率密度函數(shù),定義3,函數(shù)稱為二維,三、二維連續(xù)型隨機變量,23,二維連續(xù)型隨機
7、變量的概率密度具有性質(zhì),24,（X,Y）的概率密度的性質(zhì):,在f(x,y)的連續(xù)點,,25,例2設(X,Y)的概率密度是,(1)求分布函數(shù),(2)求概率.,26,解(1),當時,,故,當時,,27,(2),28,例3.已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。2)求P{0
8、服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.,記作（X,Y）～N().,39,例6試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度.,解,因為,所以,40,則有,41,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù).,同理,可見,由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,也就是說,對于給定的不同的對應,不同的二維正態(tài)分布,,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.,此例表明,42,,五、小結(jié),在這一節(jié)中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的分布函數(shù),離散型隨機變量的分布律以及連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).二維隨機變量的邊緣分布函數(shù),離散型隨機變量的邊緣分布律以及連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度函數(shù).,作業(yè)：P723，4,43,四、課堂練習,44,,,解,,暫時固定,當時,,當時,,故,暫時固定,,45,暫時固定,,,,暫時固定,當時,,當時,,故,,46,四、課堂練習,47,解(1),故,48,(2).,
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