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第4講導數(shù)的熱點問題,板塊三專題突破核心考點,專題五函數(shù)與導數(shù),,[考情考向分析],利用導數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問題，高考中常與函數(shù)零點、不等式結合，證明不等式和求參數(shù)范圍問題是熱點題型，中高檔難度．,,,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,,熱點一利用導數(shù)證明不等式,用導數(shù)證明不等式是導數(shù)的應用之一，可以間接考查用導數(shù)判定函數(shù)的單調性或求函數(shù)的最值，以及構造函數(shù)解題的能力．,例1已知函數(shù)f(x)＝2x－lnx.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；,解答,證明,所以1＋ln2≤f(x)成立．,令t(x)＝e2x－1－2x，x∈(0，＋∞)．則t′(x)＝2(e2x－1－1)，,用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調性：若f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則①?x∈[a，b]，則f(a)≤f(x)≤f(b)；②對?x1，x2∈[a，b]，且x1
0時，證明：存在x0>0，使得f(x0)≤－a＋1.,證明,所以g(a)在(0,3)上單調遞減，在(3，＋∞)上單調遞增，所以g(a)min＝g(3)＝0，故g(a)≥0，,因此存在x0>0，使得f(x0)≤－a＋1.,,熱點二利用導數(shù)討論方程根的個數(shù),方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的走勢，通過數(shù)形結合思想直觀求解．,例2設函數(shù)f(x)＝ex－2a－ln(x＋a)，a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若a>0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；,解答,解∵函數(shù)f(x)在[0，＋∞)內(nèi)單調遞增，,即a≥e－x－x在[0，＋∞)內(nèi)恒成立．記g(x)＝e－x－x，則g′(x)＝－e－x－10，f(x)單調遞增．,當且僅當x0＋a＝1時，取等號．,∴f(x)min＝f(x0)>0，即函數(shù)f(x)沒有零點．,(1)函數(shù)y＝f(x)－k的零點問題，可轉化為函數(shù)y＝f(x)和直線y＝k的交點問題．(2)研究函數(shù)y＝f(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢．,,跟蹤演練2(2018全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；,證明,證明當a＝1時，f(x)≥1等價于(x2＋1)e－x－1≤0.設函數(shù)g(x)＝(x2＋1)e－x－1，則g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.當x≠1時，g′(x)0，h(x)沒有零點；(ⅱ)當a>0時，h′(x)＝ax(x－2)e－x.當x∈(0,2)時，h′(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增．,因為h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)上有一個零點；由(1)知，當x>0時，ex>x2，,故h(x)在(2，4a)上有一個零點．因此h(x)在(0，＋∞)上有兩個零點．,真題押題精練,真題體驗,(1)若f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)處導數(shù)相等，證明：f(x1)＋f(x2)>8－8ln2；,證明,因為x1≠x2，所以x1x2>256.,當x變化時，g′(x)和g(x)的變化如下表所示：,所以g(x)在(256，＋∞)上單調遞增，故g(x1x2)>g(256)＝8－8ln2，即f(x1)＋f(x2)>8－8ln2.,(2)若a≤3－4ln2，證明：對于任意k>0，直線y＝kx＋a與曲線y＝f(x)有唯一公共點．,證明,則f(m)－km－a>|a|＋k－k－a≥0，,所以存在x0∈(m，n)，使f(x0)＝kx0＋a，所以對于任意的a∈R及k∈(0，＋∞)，直線y＝kx＋a與曲線y＝f(x)有公共點．,由(1)可知g(x)≥g(16)，又a≤3－4ln2，故－g(x)－1＋a≤－g(16)－1＋a＝－3＋4ln2＋a≤0，所以h′(x)≤0，即函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，因此方程f(x)－kx－a＝0有唯一一個實根．綜上，當a≤3－4ln2時，對于任意k>0，直線y＝kx＋a與曲線y＝f(x)有唯一公共點．,押題預測,押題依據(jù)有關導數(shù)的綜合應用試題多考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調性、導數(shù)與不等式等基礎知識和基本方法，考查轉化與化歸的數(shù)學思想方法，本題的命制正是根據(jù)這個要求進行的．,解答,押題依據(jù),即x＋y－ln2－1＝0.,解答,解存在．理由如下：,令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1，當a<1時，a－1e－1成立，,
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