《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社習(xí)題解析第六章.ppt

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,幾何與代數(shù)習(xí)題解析第六章,主講:關(guān)秀翠,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,東南大學(xué)線性代數(shù)課程,第六章二次型與二次曲面,6.3二次曲面,,x=Qy,,作直角系的旋轉(zhuǎn)變換,坐標(biāo)軸的平移,,g(y)=yT?y+B’Ty+c=0,y=z+?,,?1z12+?2z22+?3z32=bzi+d,Q正交,,Q正交且|Q|=1右手系→右手系,一般二次型f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0,實(shí)對稱陣的正交相似對角化問題??Q正交,s.t.,Q?1AQ=QTAQ=?=diag(?1,…,?n),p=3,q=0,r(g)=3,b=0,橢球面,球面,p=2,q=1,d>0,p=0,q=3,d0,d<0,雙葉雙曲面,d=0,二次錐面,r(g)=2,b?0,d=0,p=2,q=0,橢圓拋物面,p=1,q=1,雙曲拋物面,r(g)=2,b=0,d?0,p=2,q=0,橢圓柱面,p=1,q=1,雙曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1,q=0,p=0,q=1,拋物柱面,證明:,3.設(shè)A為n階方陣，證明二次型f(x)=xTAx的矩陣為,所以f(x)=xTAx的矩陣為,解:,因?yàn)锳x=?與ATAx=?同解，,9.設(shè)m?n矩陣A的秩為r，求二次型f(x)=xTATAx的規(guī)范形.,所以r(A)=r(ATA)=r.,f(x)=xTATAx,=(Ax)TAx,所以?x,f(x)=(Ax)TAx?0.,所以ATA的正慣性指數(shù)為r.,從而f(x)的規(guī)范形為g(y),證1:設(shè),所以A不是正定陣.,證2:令,顯然A,B相合,并且相合的矩陣有相同的正定性.,,則,,則,所以B不是正定陣.,所以A不是正定陣.,12.設(shè)A=(aij)為n階實(shí)對稱矩陣，若對角線上有一個(gè)aii?0,則A必不是正定矩陣.,證明:,設(shè)???為B對應(yīng)于?的特征向量,則,14.設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，B為n階實(shí)矩陣,且A與A?BTAB均為正定矩陣,?是B的一個(gè)實(shí)特征值,則|?|0,,>0,,?A,B都正定.,證明:(?),P?1AP=,M正定??1,…,?s,?1,…,?t>0,?A,B都正定.,15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=,AOOB,,,證明:M正定?A,B都正定.,②A,B實(shí)對稱,必存在正交陣P,Q,使得,?,證明:(?),③設(shè)A為s階的,則當(dāng)i?s時(shí),,M正定?M的順序主子式>0,?A,B的順序主子式>0,,,,A,B,O,O,,,,M的i階順序主子式,=A的i階順序主子式,,當(dāng)i>s時(shí),M的i階順序主子式,=|A|?B的i?s階順序主子式,,,?A,B都正定.,15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=,AOOB,,,證明:M正定?A,B都正定.,?,證明:(?),①因?yàn)锳,B都正定,,PTAP=E,QTBQ=E,,所以存在可逆陣P,Q使,因而M正定.,15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=,AOOB,,,證明:M正定?A,B都正定.,?,證明:(?),②因?yàn)锳,B都正定,,A=PTP,B=QTQ,,所以存在可逆陣P,Q使,因而M正定.,15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=,AOOB,,,證明:M正定?A,B都正定.,證明:,因?yàn)锳正定,,所以AT=A,A的所有特征值?i>0,i=1,2,…,n.,因?yàn)锳正交,,A的所有特征值?i2=1,則?i=1,i=1,2,…,n.,所以ATA=A2=E,,所以實(shí)對稱陣A與E相似.,即存在可逆矩陣P,使得,19.設(shè)A既是正定陣又是正交陣，證明：A是單位陣.,方陣A與E相似?A=E?,A與E相合?A正定,方陣A與E相抵?A可逆，,線性無關(guān),A=P1…PsQ1…Qt,滿秩,非奇異,非退化,?特征值均不為零,實(shí)對稱陣A可逆?正負(fù)慣性指數(shù)p+q=n.,?A的行向量組線性無關(guān),方陣A正交?A可逆.,實(shí)對稱陣A正定?A可逆.,反之不然,反之不然,??i>0,?p=n,?A=PTP,??k>0,A既是正定陣又是正交陣，則A是單位陣.,證明1:,因?yàn)锳可逆,所以A的正負(fù)慣性指數(shù)p+q=n.,并且p(?A)=q(A)=q.,設(shè)A與?A在實(shí)數(shù)域上相合,則p(?A)=p(A)=q,所以n=2p為偶數(shù).,設(shè)A為n階可逆實(shí)對稱矩陣，證明：如果A與?A在實(shí)數(shù)域上合同，則n必是偶數(shù).,證明1:,設(shè)A與?A在實(shí)數(shù)域上相合,則存在可逆陣P,使得,因?yàn)锳可逆,所以|A|?0.,所以n為偶數(shù).,證明:,已知n階方陣A相似于對角陣,并且A的特征向量均是矩陣B的特征向量.證明:AB=BA.,n階方陣A相似于對角陣,,所以A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,,設(shè)為p1,p2,…,pn,對應(yīng)的特征值設(shè)為?1,?2,…,?n.,A的特征向量均是B的特征向量,則B也有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量p1,…,pn,對應(yīng)的特征值設(shè)為t1,…,tn.,令P=(p1,p2,…,pn),?=diag(?1,?2,…,?n),T=diag(t1,t2,…,tn),,則P?1AP=?,P?1BP=T,?T=T?.,于是AB=(P?P?1)(PTP?1)=P?TP?1=PT?P?1,=(PTP?1)(P?P?1)=BA.,