《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社習(xí)題解析第五章.ppt

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,幾何與代數(shù),主講:關(guān)秀翠,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,東南大學(xué)線性代數(shù)課程,,特征值和特征向量,|?E–A|=|?E–(P?1AP)|,??i=tr(A),??i=|A|,A可逆?A的特征值≠0,1/?是A?1的特征值;|A|/?是A*的特征值.,|?E–A|=|?E–AT|,A?=???f(A)?=f(?)?,對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān),AT=A???R,對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交,相似對角化,,,P–1AP=diag(?1,…,?n),,?A有n個l.i.的特征向量,A(復(fù))???r(?iE?A)=n?ni,A有n個不同特征值?A??,A的零化多項式的根可能是但未必都是A的特征值.,32.設(shè)n?2,?,?都是n維實特征向量,且?,?是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，p,q都是非零實數(shù)，A=p??T+q??T.證明:(1)?,?都是A的特征向量,并求相應(yīng)特征值.(2)A相似于對角陣，并求相應(yīng)對角陣.,證明：,,,,(1)A?=p??T?+q??T?,所以實對稱矩陣A可相似于對角陣.,=p??T?,=p?,A?=p??T?+q??T?,=q??T?,=q?,從而?,?都是A的特征向量,相應(yīng)特征值為p,q.,(2),AT=(p??T+q??T)T=p??T+q??T=A,r(A)=r(p??T+q??T)?r(p??T)+r(q??T)=2,當(dāng)n=2時，A相似于對角陣?=diag(p,q),32.設(shè)n?2,?,?都是n維實特征向量,且?,?是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，p,q都是非零實數(shù)，A=p??T+q??T.證明:(1)?,?都是A的特征向量,并求相應(yīng)特征值.(2)A相似于對角陣，并求相應(yīng)對角陣.,證明：,,,,所以實對稱矩陣A可相似于對角陣.,從而?,?都是A的特征向量,相應(yīng)特征值為p,q.,(2),r(A)?2,當(dāng)n=2時，A相似于對角陣?=diag(p,q),當(dāng)n>2時，|A|=0,,則Q?1AQ=diag(p,q,0,…,0),0是A的一個特征值,,p,q都是非零實數(shù)，,0對應(yīng)的特征向量與?,?正交,,設(shè)0對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為?3,…,?n,,令Q=(?,?,?3,…,?n),,32.設(shè)n?2,?,?都是n維實特征向量,且?,?是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，p,q都是非零實數(shù)，A=p??T+q??T.證明:(1)?,?都是A的特征向量,并求相應(yīng)特征值.(2)A相似于對角陣，并求相應(yīng)對角陣.,,,,所以實對稱矩陣A可相似于對角陣?.,(2),r(A)?2,當(dāng)n=2時，A相似于對角陣?=diag(p,q),當(dāng)n>2時，,Q?1AQ=diag(p,q,0,…,0),(3)當(dāng)k滿足什么條件時，kE+A正定？,kE+A與kE+?相似,(3)當(dāng)k>max{?p,?q}時，kE+A正定.,(3)當(dāng)k>max{0,?p,?q}時，kE+A正定.,,證明:,A?=?1?,?T?=1,,?B?=A???1??T?=A???1?=?=0?,,對A?i=?i?i,?i≠?,i=2,…,n,?B的特征值為,設(shè)n階實對稱陣A的特征值為是A的屬于?1的單位特征向量，證明：的特征值為,B?i=A?i??1??T?i,?B?i=A?i=?i?i.,??T?i=0,,可去掉,,33.設(shè)n階實對稱陣A的特征值為?是A的屬于?1的單位特征向量，證明：的特征值為,證明:,?B的特征值為,實對稱陣A可正交相似對角化,則令正交陣,Q=(?,q2,?,qn),s.t.,,Q?1AQ=?=diag(?1,…,?n),?Q?1BQ=Q?1AQ??1Q?1??TQ,=???1QT??TQ,?TQ=(?T?,?Tq2,?,?Tqn),=(1,0,?,0),?Q?1BQ=???1(?TQ)T?TQ,(?TQ)T?TQ,=diag(1,0,…,0),=diag(?1??1,?2…,?n),=diag(0,?2…,?n),證明:(1),若n階方陣A滿足A2=2A.證明：(1)r(2E?A)+r(A)=n,(2)A相似于對角陣；,所以A相似于對角陣.,r(2E?A)+r(A)?r(2E?A+A)=n,,?r(2E?A)+r(A)?n,,(2E?A)A=2A?A2=0,?r(2E?A)+r(A)=n.,A的所有可能的特征值?滿足?2?2?=0,(2),??=0,2.,由Ax=?,A對應(yīng)0有n?r(A)個線性無關(guān)的特征向量.,由(2E?A)x=?,A對應(yīng)2有n?r(2E?A)個線性無關(guān)的特征向量.,?n階方陣A共有2n?n=n個線性無關(guān)的特征向量,(3)若r(A)=r,求|A+E|.,解:(3),若n階方陣A滿足A2=2A.證明：(1)r(2E?A)+r(A)=n,(2)A相似于對角陣；,并且A相似于對角陣.,A的所有可能的特征值?滿足?2?2?=0,??=0,2.,(3)若r(A)=r,求|A+E|.,r(A)=r,則與A相似的對角陣?中有r個2,其余為0.,則存在可逆陣P,使得,|A+E|,=|?+E|,=3r,P?1AP=?,由P?1(A+E)P=?+E知,(2)證明:(用最小多項式),若n階方陣A滿足A2=2A.證明：(1)r(2E?A)+r(A)=n,(2)A相似于對角陣；,所以A相似于對角陣.,A的所有可能的特征值?滿足f(?)=?2?2?=0,??=0,2.,(3)若r(A)=r,求|A+E|.,由性質(zhì)5.3，最小多項式m(?)能整除f(?)，,因為f(?)沒有重根，,故最小多項式m(?)沒有重根.,