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1、第6章 分離性公理
§6.1 ,Hausdorff空間
本節(jié)重點(diǎn):
掌握空間的定義及它們之間的不同與聯(lián)系；
掌握各空間的充要條件；
熟記常見的各種空間.
現(xiàn)在我們回到我們在第二章中提出來的什么樣的拓?fù)淇臻g的拓?fù)淇梢杂伤哪骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來這一問題．為了回答這個(gè)問題勢必要求我們對度量空間的拓?fù)湫再|(zhì)有充分的了解．讀者將會(huì)發(fā)現(xiàn)，本章中所提到的諸分離性公理，實(shí)際上是模仿度量空間的拓?fù)湫再|(zhì)逐步建立起來的．對諸分離性的充分研究使我們在§6.5中能夠?qū)τ谇笆鰡栴}作一個(gè)比較深刻的（雖然不是完全的）回答．
定義6.1.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必
2、有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一個(gè)點(diǎn)（即如果x，y∈X，x≠y,則或者x有一個(gè)開鄰域U使得yU,或者y有一個(gè)開鄰域V使得xV)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)空間．
拓?fù)淇臻g自然不必都是空間，例如包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)的平庸空間就不是空間．
定理6.1.1 拓?fù)淇臻gX是一個(gè)空間當(dāng)且僅當(dāng)X中任意兩個(gè)不同的單點(diǎn)集有不同的閉包．（即如果x，y∈X，x≠y，則．）
證明 充分性:設(shè)定理中的條件成立．則對于任何x，y∈X，x≠y，由于，因此或者成立，或者成立．當(dāng)前者成立時(shí)，必定有．（因?yàn)榉駝t).這推出x有一個(gè)不包含y的開鄰域．同理，當(dāng)后者成立時(shí)，y有一個(gè)不包含x的開鄰域．這證明X是一個(gè)空間．
必
3、要性:設(shè)X是一個(gè)空間．若x，y∈X，x≠y，則或者x有一個(gè)開鄰域U使得或者y有一個(gè)開鄰域V使得．若屬前一種情形，由于，若屬后一種情形，同樣也有．
定義6.1.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)開鄰域不包含另一個(gè)點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)空間．
空間當(dāng)然是空間．但反之不然．例如設(shè)X={0,1}，T={,{0},X},則T是X的一個(gè)拓?fù)洌⑶彝負(fù)淇臻g(X，T)是的但不是的．（請讀者自己驗(yàn)證，）
定理6.1.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則以下條件等價(jià)：
?。?）X是一個(gè)空間；
?。?）X中每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集；
（3）X中每一個(gè)有限子集都
4、是閉集．
證明?。?）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)x∈X．當(dāng)X是一個(gè)空間時(shí)，對于任何y∈X，y≠x，點(diǎn)x有一個(gè)鄰域U使得，即.這證明單點(diǎn)集{x}是一個(gè)閉集．
?。?）蘊(yùn)涵（3）．這是顯然的.因?yàn)橛邢迋€(gè)閉集的并仍然是閉集.
?。?）蘊(yùn)涵（1）．設(shè)x,y∈X,x≠y,當(dāng)(3)成立時(shí)單點(diǎn)集{x}和{y}都是閉集．從而分別是y和x的開鄰域，前者不包含x，后者不包含y．這就證明了X是一個(gè)空間.
下面的兩個(gè)定理表明，空間中關(guān)于凝聚點(diǎn)和序列收斂的性質(zhì)和我們在數(shù)學(xué)分析中熟知的多了一些類似之處．
定理6.1.3 設(shè)X是一個(gè)空間．則點(diǎn)x∈X是X的子集A的一個(gè)凝聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x的每一個(gè)鄰域U中都含有A中的
5、無限多個(gè)點(diǎn),即U∩A是一個(gè)無限集．
證明 定理充分性部分是明顯的．以下證明必要性部分．假設(shè)x∈X,x∈d(A)．如果x有一個(gè)開鄰域U使得U∩A是一個(gè)有限集，則集合B=U∩A-{x}也是一個(gè)有限集，因此是一個(gè)閉集．因此U－B是一個(gè)開集，并且是x的一個(gè)鄰域．此外易見
(U－B)∩(A-{x})=.這蘊(yùn)含著x不是A的凝聚點(diǎn),與假設(shè)矛盾．
定理6.1.4 設(shè)X是一個(gè)空間．則X中的一個(gè)由有限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的序列{}（即集合{|i∈Z+}是一個(gè)有限集）收斂于點(diǎn)x∈X當(dāng)且僅當(dāng)存在N＞0使得=x對于任何i≥N成立．
證明 由于X是一個(gè)空間，集合A＝{|≠x,i=1,2…}是一個(gè)有限集，所以是
6、一個(gè)閉集．從而是x的一個(gè)開鄰域．于是存在N＞0使得當(dāng)i≥N有，因而=x.
定義6.1.3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果X中任何兩個(gè)不相同的點(diǎn)各自有一個(gè)開鄰域使得這兩個(gè)開鄰域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，則點(diǎn)x有一個(gè)開鄰域U，點(diǎn)y有一個(gè)開鄰域V，使得U∩V=），則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)Hausdorff空間，或空間．
hausdorff空間一定是空間，但反之不然．
例6.1.1 非Hausdorff的空間的例子．
設(shè)X是一個(gè)包含著無限多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間．由于X中的每一個(gè)有限子集都是閉集，因此它是一個(gè)空間．然而在拓?fù)淇臻gX中任何兩個(gè)非空的開集一定會(huì)有非空的交．這是因?yàn)閄中每一
7、個(gè)非空開集都是X中的有限子集的補(bǔ)集，而X又是一個(gè)無限集的緣故．由此易見X必然不是一個(gè)空間．
定理6.1.5 Hausdorff空間中的任何一個(gè)收斂序列只有一個(gè)極限點(diǎn)．
證明 設(shè){}是Hausdorff空間X中的一個(gè)序列，并且有 于是對于j＝1，2，點(diǎn)有一個(gè)開鄰域，使得．故存在＞O使得當(dāng)i≥時(shí)有．任意選取M＞max{}．可見，這是一個(gè)矛盾．
但在空間中定理6.1.5卻可以不成立．例如設(shè)拓?fù)淇臻gX如例6.1.1中所述，{}是X中的任何一個(gè)由兩兩不同的點(diǎn)構(gòu)成的序列，即當(dāng)i≠j時(shí)有.此時(shí)對于任何y∈X和y的任一鄰域U,由于U的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，所以存在N＞0使得當(dāng)i≥N時(shí)有∈U．于是lim=y．也就是說，序列{}收斂于X中的任何一個(gè)點(diǎn)．
作業(yè):
P155 3.4.5.
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