信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章·西安電子科技大學(xué).ppt

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第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2傅里葉級(jí)數(shù)4.3周期信號(hào)的頻譜4.4非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì)4.6周期信號(hào)的傅里葉變換4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8取樣定理,,,,,,,,點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),,,第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),一、矢量正交與正交分解,時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。,矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即,4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集,如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。,例如對于一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即A=vx+2.5vy+4vz矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。,4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集,1.定義：,定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)?1(t)和?2(t),若滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱?1(t)和?2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2.正交函數(shù)集：,若n個(gè)函數(shù)?1(t)，?2(t)，…，?n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。,4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),3.完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集{?1(t)，?2(t)，…，?n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，1，2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。,(i=1，2，…，n),4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),三、信號(hào)的正交分解,設(shè)有n個(gè)函數(shù)?1(t)，?2(t)，…，?n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為f(t)≈C1?1+C2?2+…+Cn?n,如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為,4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),為使上式最小,展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫為,即,所以系數(shù),4.1信號(hào)分解為正交函數(shù),代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）,在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有,上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。,函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和,4.2傅里葉級(jí)數(shù),4.2傅里葉級(jí)數(shù),一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式,設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T，角頻率?=2?/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù),系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù),可見，an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。,4.2傅里葉級(jí)數(shù),式中，A0=a0,上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；A1cos(?t+?1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；A2cos(2?t+?2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n?t+?n)稱為n次諧波。,可見An是n的偶函數(shù)，?n是n的奇函數(shù)。an=Ancos?n，bn=–Ansin?n，n=1,2,…,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為,4.2傅里葉級(jí)數(shù),二、波形的對稱性與諧波特性,1.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo),,bn=0，展開為余弦級(jí)數(shù)。,2.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點(diǎn),an=0，展開為正弦級(jí)數(shù)。,實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以,4.2傅里葉級(jí)數(shù),,,3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(tT/2),此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0,三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/2,4.2傅里葉級(jí)數(shù),上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，?–n=–?n，則上式寫為,令A(yù)0=A0ej?0ej0?t，?0=0,所以,4.2傅里葉級(jí)數(shù),令復(fù)數(shù),稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。,n=0,1,2，…,表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。F0=A0/2為直流分量。,4.2傅里葉級(jí)數(shù),四、周期信號(hào)的功率——Parseval等式,直流和n次諧波分量在1?電阻上消耗的平均功率之和。n≥0時(shí)，|Fn|=An/2。,周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為,4.3周期信號(hào)的頻譜,4.3周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn),一、信號(hào)頻譜的概念,從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和?n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和?n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn。,4.3周期信號(hào)的頻譜,例：周期信號(hào)f(t)=試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。,解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即,顯然1是該信號(hào)的直流分量。,的周期T1=8,的周期T2=6,所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=,4.3周期信號(hào)的頻譜,是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；,是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；,畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,4.3周期信號(hào)的頻譜,二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn),舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為?的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）,4.3周期信號(hào)的頻譜,,n=0,1，2，…,Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。,零點(diǎn)為,特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。,4.3周期信號(hào)的頻譜,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：,(a)T一定，?變小，此時(shí)?（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：?1/?=（2?/?）/(2?/T)=T/?增多。(b)?一定，T增大，間隔?減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。,4.4傅里葉變換,4.4非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換,一、傅里葉變換,非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔?趨近于無窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令,(單位頻率上的頻譜）,稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。,4.4傅里葉變換,考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時(shí)，∑→∫,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式,F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù),4.4傅里葉變換,也可簡記為,F(jω)=F[f(t)]f(t)=F–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω),F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為F(jω)=|F(jω)|ej?(ω)=R(ω)+jX(ω),說明(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分,4.4傅里葉變換,二、常用函數(shù)的傅里葉變換,單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–?tε(t)，?>0實(shí)數(shù),2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–??t?,?>0,4.4傅里葉變換,3.門函數(shù)(矩形脈沖),4.沖激函數(shù)?(t)、?(t),4.4傅里葉變換,5.常數(shù)1,有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，?(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。可構(gòu)造一函數(shù)序列{fn(t)}逼近f(t)，即,而fn(t)滿足絕對可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j?)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F(j?)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,4.4傅里葉變換,構(gòu)造f?(t)=e-??t?，?>0←→,所以,又,因此，1←→2??(?),另一種求法：?(t)←→1代入反變換定義式，有,將?→t，t→-?,再根據(jù)傅里葉變換定義式，得,6.符號(hào)函數(shù),4.4傅里葉變換,7.階躍函數(shù)?(t),4.4傅里葉變換,歸納記憶：,1.F變換對,2.常用函數(shù)F變換對：,,δ(t),ε(t),e-?tε(t),gτ(t),sgn(t),e–?|t|,,,,,,,1,1,,2πδ(ω),4.5傅里葉變換的性質(zhì),4.5傅里葉變換的性質(zhì),一、線性(LinearProperty),Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)then,Proof:F[af1(t)+bf2(t)],=[aF1(jω)+bF2(jω)],[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)],4.5傅里葉變換的性質(zhì),ForexampleF(jω)=?,Ans:f(t)=f1(t)–g2(t),f1(t)=1←→2πδ(ω),g2(t)←→2Sa(ω),∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω),‖,-,4.5傅里葉變換的性質(zhì),二、時(shí)移性質(zhì)(TimeshiftingProperty),Iff(t)←→F(jω)then,where“t0”isrealconstant.,Proof:F[f(t–t0)],4.5傅里葉變換的性質(zhì),ForexampleF(jω)=?,Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5),g6(t-5)←→,g2(t-5)←→,∴F(jω)=,‖,+,4.5傅里葉變換的性質(zhì),三、對稱性質(zhì)(SymmetricalProperty),Iff(t)←→F(jω)then,Proof:,（1）,in(1)t→ω，ω→tthen,（2）,in(2)ω→-ωthen,∴F(jt)←→2πf(–ω)end,F(jt)←→2πf(–ω),4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample,←→F(jω)=?,Ans:,ifα=1,,∴,*if,F(jω)=?,4.5傅里葉變換的性質(zhì),四、頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty),Iff(t)←→F(jω)then,Proof:,where“ω0”isrealconstant.,F[ejω0tf(t)],=F[j(ω-ω0)]end,Forexample1,f(t)=ej3t←→F(jω)=?,Ans:1←→2πδ(ω)ej3t1←→2πδ(ω-3),4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample2,f(t)=cosω0t←→F(jω)=?,Ans:,F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)],Forexample3,Giventhatf(t)←→F(jω),Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?,4.5傅里葉變換的性質(zhì),五、尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty),Iff(t)←→F(jω)then,where“a”isanonzerorealconstant.,Proof:,F[f(at)]=,Fora>0,,F[f(at)],fora<0,,F[f(at)],Thatis,,f(at)←→,Also,lettinga=-1,,f(-t)←→F(-jω),演示,4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample1,Giventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?,Ans:f(t–b)←→,e-jωbF(jω),f(at–b)←→,or,f(at)←→,f(at–b)=,4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample2,f(t)=←→F(jω)=?,Ans:,Usingsymmetry,,usingscalingpropertywitha=-1,,sothat,,4.5傅里葉變換的性質(zhì),六、卷積性質(zhì)(ConvolutionProperty),Convolutionintimedomain：,Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω),Convolutioninfrequencydomain：,Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω),Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω),4.5傅里葉變換的性質(zhì),Proof:,F[f1(t)*f2(t)]=,Usingtimeshifting,Sothat,,F[f1(t)*f2(t)]=,=F1(jω)F2(jω),4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample,Ans:,Usingsymmetry,,4.5傅里葉變換的性質(zhì),七、時(shí)域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationintimedomain),Iff(t)←→F(jω)then,Proof:,f(n)(t)=?(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=?(t)*f(t)←→,4.5傅里葉變換的性質(zhì),f(t)=1/t2←→?,Forexample1,Ans:,4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample2,Giventhatf?(t)←→F1(jω)Proof,f(t)←→F1(jω)+?[f(-∞)+f(∞)]?(?),,Proof,So,Summary:iff(n)(t)←→Fn(jω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F(jω)=Fn(jω)/(jω)n,4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample3,Determinef(t)←→F(jω),Ans:,f”(t)=?(t+2)–2?(t)+?(t–2),F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–j2ω=2cos(2ω)–2,F(jω)=,Notice:,dε(t)/dt=?(t)←→1,ε(t)←→1/(jω),4.5傅里葉變換的性質(zhì),八、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain),Iff(t)←→F(jω)then,(–jt)nf(t)←→F(n)(jω),where,Forexample1,Determinef(t)=tε(t)←→F(jω)=?,Ans:,4.5傅里葉變換的性質(zhì),Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→,It’swrong.Because?(?)?(?)and(1/j?)?(?)isnotdefined.,Forexample2,Determine,Ans:,九、帕斯瓦爾關(guān)系(Parseval’sRelationforAperiodicSignals),,Proof,|F(jω)|2isreferredtoastheenergy-densityspectrumoff(t).單位頻率上的頻譜(能量密度譜）Js,4.5傅里葉變換的性質(zhì),Forexample,Determinetheenergyof,Ans:,4.5傅里葉變換的性質(zhì),4.5傅里葉變換的性質(zhì),十、奇偶性(Parity),Iff(t)isreal,then,=R(ω)+jX(ω),Sothat,R(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,?(ω)=–?(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω),4.6周期信號(hào)的傅里葉變換,4.6周期信號(hào)傅里葉變換,一、正、余弦的傅里葉變換,1←→2πδ(ω)由頻移特性得ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)],4.6周期信號(hào)傅里葉變換,二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換,例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)?T(t)=,解：,(1),4.6周期信號(hào)傅里葉變換,例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。,解：周期信號(hào)f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。即,f(t)=?T(t)*f0(t),F(jω)=Ω?Ω(ω)F0(jω),F(jω)=,本題f0(t)=g2(t)←→,(2),(2)式與上頁(1)式比較，得,這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。,對周期信號(hào)：,對非周期信號(hào)：,其基本信號(hào)為ej?t,一、基本信號(hào)ej?t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),說明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=–∞總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號(hào)ej?t時(shí)，其響應(yīng),而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j?)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。,y(t)=H(j?)ej?t,H(j?)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。,y(t)=h(t)*ej?t,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,二、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),ej?t,,H(j?)ej?t,F(j?)ej?td?,,F(j?)H(j?)ej?td?,齊次性,,可加性,‖,f(t),‖,y(t)=F–1[F(j?)H(j?)],,Y(j?)=F(j?)H(j?),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,頻率響應(yīng)H(j?)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j?)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j?)之比，即,?H(j?)?稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ(?)稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。?H(j?)?是?的偶函數(shù)，θ(?)是?的奇函數(shù)。,頻域分析法步驟：,傅里葉變換法,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,對周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。,周期信號(hào),若,則可推導(dǎo)出,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：某LTI系統(tǒng)的?H(j?)?和θ(?)如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解法一：用傅里葉變換,F(j?)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)],Y(j?)=F(j?)H(j?)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)],H(j?)=?H(j?)?ejθ(?),=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)],y(t)=F-1[Y(j?)]=2+2sin(5t),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù),f(t)的基波角頻率Ω=5rad/s,f(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt),H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0,y(t)=2+40.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,三、頻率響應(yīng)H(j?)的求法,1.H(j?)=F[h(t)],2.H(j?)=Y(j?)/F(j?)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。,例1：某系統(tǒng)的微分方程為y(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,j?Y(j?)+2Y(j?)=F(j?),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,f(t)=e-tε(t)←→,Y(j?)=H(j?)F(j?),y(t)=(e-t–e-2t)ε(t),例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以u(píng)C(t)為輸出，求其h(t)。,解：畫電路頻域模型,h(t)=e-tε(t),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對于信號(hào)的作用大體可分為兩類：一類是信號(hào)的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。,1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為Y(j?)=Ke–j?tdF(j?),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j?)的要求是：(a)對h(t)的要求：h(t)=K?(t–td)(b)對H(j?)的要求：H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j?td即?H(j?)?=K,θ(?)=–?td,上述是信號(hào)無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。,(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,2、理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。?c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：,(1)沖激響應(yīng),h(t)=?-1[g2?c(?)e-j?td]=,可見，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,(2)階躍響應(yīng),g(t)=h(t)*?(t)=,經(jīng)推導(dǎo)，可得,稱為正弦積分,特點(diǎn)：有明顯失真，只要?c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。,gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895,4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析,3、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0,t<0即響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足,并且,稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。,4.8取樣定理,4.8取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)。可以說，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。,一、信號(hào)的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)。,4.8取樣定理,如圖一連續(xù)信號(hào)f(t),用取樣脈沖序列s(t)(開關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為TS，fS=1/TS稱為取樣頻率。,得取樣信號(hào)fS(t)=f(t)s(t),取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)為FS(j?)=(1/2?)F(j?)*S(j?),4.8取樣定理,沖激取樣,若s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列?Ts(t),則稱為沖激取樣。,如果f(t)是帶限信號(hào)[即f(t)的頻譜只在區(qū)間（-?m，?m)為有限值，而其余區(qū)間為0]。,設(shè)f(t)←→F(j?)，取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù),FS(j?)=(1/2?)F(j?)*ωS?ωs(ω),ωS=2π/TS,s(t)=?Ts(t)←→ωS?ωs(ω),4.8取樣定理,,=,,,,*,=,上面在畫取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j?)中取出F(j?)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無法恢復(fù)原信號(hào)。,4.8取樣定理,二、時(shí)域取樣定理,當(dāng)ωS≥2ωm時(shí)，將取樣信號(hào)通過下面的低通濾波器,其截止角頻率ωC取ωm<ωC<ωS-ωm。即可恢復(fù)原信號(hào)。,由于fs(t)=f(t)s(t)=f(t),H(j?)←→h(t)=,為方便，選ωC=0.5ωS,則TsωC/π=1,4.8取樣定理,所以,根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t)，有,只要已知各取樣值f(nTs),就出唯一地確定出原信號(hào)f(t)。,時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜在區(qū)間（-?m，?m)以外為0的帶限信號(hào)f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts<1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。,通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率，把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。,頻域取樣定理：根據(jù)時(shí)域與頻域的對偶性，可推出頻域取樣定理。P191一個(gè)在時(shí)域區(qū)間（-tm,tm)以外為0的時(shí)限信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(j?)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs[fs<1/(2tm)]上的樣值點(diǎn)F(jn?s)確定。,4.8取樣定理,,