解析幾何大題帶答案.doc
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三、解答題 26.(江蘇18)如圖,在平面直角坐標系中,M、N分別是橢圓的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設(shè)直線PA的斜率為k (1)當直線PA平分線段MN,求k的值; (2)當k=2時,求點P到直線AB的距離d; (3)對任意k>0,求證:PA⊥PB 本小題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和推理論證能力,滿分16分. 解:(1)由題設(shè)知,所以線段MN中點的坐標為,由于直線PA平分線段MN,故直線PA過線段MN的中點,又直線PA過坐標 原點,所以 (2)直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 (3)解法一: 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二: 設(shè). 設(shè)直線PB,AB的斜率分別為因為C在直線AB上,所以 從而 因此 28. (北京理19) 已知橢圓.過點(m,0)作圓的切線I交橢圓G于A,B兩點. (I)求橢圓G的焦點坐標和離心率; (II)將表示為m的函數(shù),并求的最大值. (19)(共14分) 解:(Ⅰ)由已知得 所以 所以橢圓G的焦點坐標為 離心率為 (Ⅱ)由題意知,. 當時,切線l的方程,點A、B的坐標分別為 此時 當m=-1時,同理可得 當時,設(shè)切線l的方程為 由 設(shè)A、B兩點的坐標分別為,則 又由l與圓 所以 由于當時, 所以. 因為 且當時,|AB|=2,所以|AB|的最大值為2. 32.(湖南理21) 如圖7,橢圓的離心率為,x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。 (Ⅰ)求C1,C2的方程; (Ⅱ)設(shè)C2與y軸的焦點為M,過坐標原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E. (i)證明:MD⊥ME; (ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問:是否存在直線l,使得?請說明理由。 解 :(Ⅰ)由題意知 故C1,C2的方程分別為 (Ⅱ)(i)由題意知,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為. 由得 . 設(shè)是上述方程的兩個實根,于是 又點M的坐標為(0,—1),所以 故MA⊥MB,即MD⊥ME. (ii)設(shè)直線MA的斜率為k1,則直線MA的方程為解得 則點A的坐標為. 又直線MB的斜率為, 同理可得點B的坐標為 于是 由得 解得 則點D的坐標為 又直線ME的斜率為,同理可得點E的坐標為 于是. 因此 由題意知, 又由點A、B的坐標可知, 故滿足條件的直線l存在,且有兩條,其方程分別為 34.(全國大綱理21) 已知O為坐標原點,F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點,點P滿足 (Ⅰ)證明:點P在C上; (Ⅱ)設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上. 解: (I)F(0,1),的方程為, 代入并化簡得 …………2分 設(shè) 則 由題意得 所以點P的坐標為 經(jīng)驗證,點P的坐標為滿足方程 故點P在橢圓C上。 …………6分 (II)由和題設(shè)知, PQ的垂直平分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點為M,則,AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點為。 …………9分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心,NA為半徑的圓上 …………12分 36.(山東理22) 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點,且△OPQ的面積=,其中O為坐標原點. (Ⅰ)證明和均為定值; (Ⅱ)設(shè)線段PQ的中點為M,求的最大值; (Ⅲ)橢圓C上是否存在點D,E,G,使得?若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請說明理由. (I)解:(1)當直線的斜率不存在時,P,Q兩點關(guān)于x軸對稱, 所以 因為在橢圓上, 因此 ① 又因為 所以 ② 由①、②得 此時 (2)當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為 由題意知m,將其代入,得 , 其中 即 …………(*) 又 所以 因為點O到直線的距離為 所以 又 整理得且符合(*)式, 此時 綜上所述,結(jié)論成立。 (II)解法一: (1)當直線的斜率存在時, 由(I)知 因此 (2)當直線的斜率存在時,由(I)知 所以 所以,當且僅當時,等號成立. 綜合(1)(2)得|OM||PQ|的最大值為 解法二: 因為 所以 即當且僅當時等號成立。 因此 |OM||PQ|的最大值為 (III)橢圓C上不存在三點D,E,G,使得 證明:假設(shè)存在, 由(I)得 因此D,E,G只能在這四點中選取三個不同點, 而這三點的兩兩連線中必有一條過原點, 與矛盾, 所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D,E,G. 40.(天津理18)在平面直角坐標系中,點為動點,分別為橢圓的左右焦點.已知△為等腰三角形. (Ⅰ)求橢圓的離心率; (Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡方程. 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. (I)解:設(shè) 由題意,可得 即 整理得(舍), 或所以 (II)解:由(I)知 可得橢圓方程為 直線PF2方程為 A,B兩點的坐標滿足方程組 消去y并整理,得 解得 得方程組的解 不妨設(shè) 設(shè)點M的坐標為, 由 于是 由 即, 化簡得 將 所以 因此,點M的軌跡方程是 42.(重慶理20)如題(20)圖,橢圓的中心為原點,離心率,一條準線的方程為. (Ⅰ)求該橢圓的標準方程; (Ⅱ)設(shè)動點滿足:,其中是橢圓上的點,直線與的斜率之積為,問:是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求的坐標;若不存在,說明理由. 解:(I)由 解得,故橢圓的標準方程為 (II)設(shè),則由 得 因為點M,N在橢圓上,所以 , 故 設(shè)分別為直線OM,ON的斜率,由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點是橢圓上的點,設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值,又因,因此兩焦點的坐標為 14- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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