甘肅省武威市高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程課件 新人教A版必修1.ppt

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3.1函數(shù)與方程,(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn).(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有.(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個(gè)也就是方程f(x)＝0的根.,1.函數(shù)的零點(diǎn),,知識(shí)梳理,f(x)＝0,x軸,零點(diǎn),f(a)f(b)<0,(a，b),f(c)＝0,c,對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.,2.二分法,f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,1.有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).2.三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)<0.()(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).()(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).(),,,,√,√,,1.(教材改編)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.3,,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,,,f(x)是增函數(shù)，又f(0)＝－1，f(1)＝，,∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).,,2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是A.y＝cosxB.y＝sinxC.y＝lnxD.y＝x2＋1,答案,解析,,由于y＝sinx是奇函數(shù)；y＝lnx是非奇非偶函數(shù)；y＝x2＋1是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn)；只有y＝cosx是偶函數(shù)又有零點(diǎn).,,,3.(2016吉林長(zhǎng)春檢測(cè))函數(shù)f(x)＝lnx＋x－－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(，1)B.(1,2)C.(2，e)D.(e,3),答案,解析,所以f(2)f(e)<0，,,4.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.,答案,解析,2,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).,5.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.,答案,解析,,∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(－1)f(1)0時(shí)，f′(x)＝2＋>0恒成立，,所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又因?yàn)閒(2)＝－2＋ln20，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.,,(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.多于4B.4C.3D.2,答案,解析,,由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如圖，觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).,思維升華,(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①解方程法；②零點(diǎn)存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,,,跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，＋∞),答案,解析,因?yàn)閒(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4).,,(2)函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.4B.5C.6D.7,答案,解析,,由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16].,由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，,而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，,故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1＋5＝6.,,題型二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用,例3(1)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2),答案,解析,,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，,又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)f(2)<0，,所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)0，即a2－10a＋9>0，解得a9.又由圖象得a>0，∴09.,幾何畫板展示,引申探究,本例(2)中，若f(x)＝a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是________.,答案,解析,,作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的圖象如右：,當(dāng)x＝0或x＝－3時(shí)，y1＝0，,思維升華,已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法(1)步驟：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；③解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍.(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法.,跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______.,答案,解析,,(－2,0),∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，,∴函數(shù)y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域?yàn)?0,2)，∴0<－a<2，∴－20且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ax－x－a＝0有兩個(gè)根，即函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)00，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).,5.已知函數(shù)則使方程x＋f(x)＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(1,2)B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞),√,答案,解析,,當(dāng)x≤0時(shí)，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；,當(dāng)x>0時(shí)，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞).故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)＝－a(x≠0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.,答案,解析,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2和3，則不等式af(－2x)>0的解集是___________.,答案,解析,,∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，,∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0?2x2＋x－3a)，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象(圖略)可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016衡水期中)若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點(diǎn)為m，函數(shù)g(x)＝logax＋x－4的零點(diǎn)為n，則的最小值為_(kāi)_____.,答案,解析,1,,設(shè)F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，則h(x)與F(x)，G(x)的交點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為m，n(m>0，n>0).因?yàn)镕(x)與G(x)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.又因?yàn)閥＝x和h(x)＝4－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,,(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；,如圖所示.,,故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3)若方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.,解答,,由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)00，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，且f(1)＝－4a，∴f(x)min＝－4a＝－4，a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,,令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,當(dāng)03，,故函數(shù)g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn)x0∈(3，e5).,