2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 3.1 數(shù)學(xué)歸納法課件 北師大版選修4-5.ppt
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第二章3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點數(shù)學(xué)歸納法,在學(xué)校,我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象:排成一排的自行車,如果一個同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了,那么整排自行車就會倒下.,思考1試想要使整排自行車倒下,需要具備哪幾個條件?,答案第一輛自行車倒下;任意相鄰的兩輛自行車,前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下.,思考2由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法,那么,數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問題?,答案適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題.,梳理數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:證明當(dāng)時命題成立;假設(shè)當(dāng)_時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,nn0,nk1,nk(kN,且kn0),(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.(3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過程,正整數(shù),題型探究,類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時,等式成立,,證明,即當(dāng)nk1時,等式也成立.由(1)(2)可知,原等式對nN均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準(zhǔn)確表述nn0時命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點.并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時,必須使用歸納假設(shè).,證明,(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時,等式成立,,當(dāng)nk1時,122232k2(k1)2,所以當(dāng)nk1時等式也成立.由(1)(2)可知,等式對任何nN都成立.,類型二證明與整除有關(guān)的問題,例2求證:x2ny2n(nN)能被xy整除.,證明,證明(1)當(dāng)n1時,x2y2(xy)(xy)能被xy整除.(2)假設(shè)nk(k1,kN)時,x2ky2k能被xy整除,那么當(dāng)nk1時,x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2).x2ky2k與x2y2都能被xy整除,x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除.即當(dāng)nk1時,x2k2y2k2能被xy整除.由(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n,命題均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時,關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這往往要利用“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧來湊出nk時的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題得證.,跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明:n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN).,證明,證明(1)當(dāng)n1時,13233336能被9整除,所以結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN,k1)時結(jié)論成立,即k3(k1)3(k2)3能被9整除.則當(dāng)nk1時,(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3).因為k3(k1)3(k2)3能被9整除,9(k23k3)也能被9整除,所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除,即當(dāng)nk1時結(jié)論也成立.由(1)(2)知,命題對一切nN成立.,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,4,3,解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形,故n03.,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時,歸納奠基中n0的取值應(yīng)為A.1B.2C.3D.4,答案,解析,1,2,4,3,解析當(dāng)n1時,n12,故左邊所得的項為1aa2.,A.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3,答案,解析,1,2,4,3,解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除,當(dāng)nk1時,34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_.,答案,解析,81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1),5634k1),1,2,4,3,證明(1)當(dāng)n1時,左邊1,右邊1,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時,等式成立,即13(2k1)k2,那么,當(dāng)nk1時,13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以當(dāng)nk1時等式成立.由(1)(2)可知,等式對任意正整數(shù)n都成立.,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明13(2n1)n2(nN).,證明,規(guī)律與方法,1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意的問題(1)第一步中的驗證,對于有些問題驗證的并不是n1,有時需驗證n2,n3.(2)對nk1時式子的項數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障.(3)“假設(shè)nk時命題成立,利用這一假設(shè)證明nk1時命題成立”,這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié),對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清,推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范.,2.判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題是否正確(1)要看有無歸納奠基.(2)證明當(dāng)nk1時是否應(yīng)用了歸納假設(shè).3.與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中關(guān)鍵問題是從當(dāng)nk1時的表達(dá)式中分解出nk時的表達(dá)式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式,這樣才能得出結(jié)論成立.,本課結(jié)束,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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